Cinématique du point Les vecteurs position, vitesse et accélération

Leçon n°2 PHR 004
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Cinématique du point
Les vecteurs position, vitesse et accélération
1 - Généralités sur le mouvement d'un point
La cinématique du point est l'analyse du mouvement en ignorant ses causes. Le mouvement
d'un point est connu lorsque qu’il est possible d’associer chaque instant avec un point de la
trajectoire:
Mouvement = Trajectoire + Equation horaire
Notre espace physique, celui dans lequel on existe, présente trois dimensions. Une trajectoire
dans cet espace, est représentée par 2 égalités:
f (x, y, z) 0
trajectoire g(x, y, z) 0
=
⎧
⇒⎨
=
⎩
Chacune d’entre elles est l’équation d’une surface. En effet la trajectoire est une courbe
définie comme l’intersection de deux surfaces.
L’équation horaire est fournie par la valeur de l’abscisse curviligne en fonction du temps:
s = s(t), qui mesure la longueur du chemin parcouru sur la trajectoire (le compteur de distance
de votre véhicule mesure une abscisse curviligne).
Mouvement connu = trajectoire + équation horaire
L’expression de la trajectoire de la courbe:
f (x, y, z) 0
g(x, y,z) 0
=
⎧
⎨
=
⎩
C

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nécessite la présence d’un système d’axes trirectangles, les équations spatiales sont ici
exprimées avec les coordonnées cartésiennes: x, y, z, projections orthogonales sur chacun des
axes.
L’équation horaire implique la présence d’une horloge qui fournit la variable temporelle t
encore nommée "date".
C
0
P
H
M
x'
y'
z'
y(5)
x(5)
z(5)
s(0)
s(5)
t = 5
Figure:1
Le repère constitué par les trois axes O x’ y’ z’ attachés à un observateur, muni d’une horloge,
constituent un référentiel (ou système référentiel).

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2 - Vecteur position
Le repère sert à définir la position du point. Le vecteur position est par définition le vecteur:
rOM=
G
JJJJG
où O est l'origine du repère et M le point à repérer.
Avec un même repère, plusieurs systèmes de coordonnées peuvent être envisagés. Le choix
des coordonnées sera gouverné par les symétries des problèmes traités. Dans la pratique les
coordonnées orthogonales seront les seules utilisées. Parmi celles-ci les plus courantes sont:
les coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques et sphériques. Donnons quelques
éléments sur leur propriétés:
2.1. Coordonnées cartésiennes
z'
y'
x'
O
P
H
M
y(t)
x(t)
z(t)
J
K
I
i
j
kr(t)
Figure: 2

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Le vecteur position est par définition:
rOM xi yjzk==++
G
JJJJG
G
GG
[2.1]
La position du point M, à chaque instant, sera exprimée à l’aide des coordonnées:
x = x(t) ; y = y(t) ; z= z(t)
ou bien avec la trajectoire et l’équation horaire:
f(x, y, z) = 0 ; g(x, y, z) = 0 et s = s(t)
2.2. Coordonnées polaires
y'
x'
O
M
y
x
JI
i
j
r
ϕ
θ
r
u
J
JG
u
θ
J
JG
Figure: 3
Dans le système de coordonnées polaires, le point M est parfaitement repéré si
- on connaît la distance OM = r
- l'angle θ que fait le segment (OM) avec l'axe (Ox)
Le point θ correspond au pôle (d'où l'appellation coordonnées polaires)
La longueur du segment r = coordonnée radiale (comme rayon)

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Dans le système de coordonnées polaires, un même et unique point peut avoir une infinité de
coordonnées → Il suffit juste d'ajouter un tour complet (2π).
Pour exprimer le vecteur position OM
JJJJG
, on introduit une nouvelle base orthonormée
()
r
u,u
θ
JJGJJG
-r
u
G
= vecteur unitaire suivant la direction de OM
J
JJJG
-u
θ
G
= vecteur unitaire r u
⊥
G
et on a :
r
OM = r u
J
JJJGG
[2.2]
Les variables cartésiennes s’obtiennent par la transformation ponctuelle:
xrcos
yrsin
=
θ
⎧
⎨
=
θ
⎩ [2.3]
La transformation inverse s’écrit:
22
rxy
y
Arc tan( )
x
⎧=+
⎪
⎨ϕ=
⎪
⎩
[2.4]
Pour les vecteurs
r
u cos i + sin j
u sin i + cos j
θ
⎧=θ θ
⎪
⎨
⎪=− θ θ
⎩
GGG
GGG
Transformation inverse
()
()
r
u cos i + sin j sin
u sin j + cos j cos
θ
⎧=θ θ×θ
⎪
⎨
⎪=− θ θ × θ
⎩
GGG
GGG