COURANT ÉLECTRIQUE

COURANT ÉLECTRIQUE
I. COURANT ÉLECTRIQUE
G
v
I.1 Densité volumique de courant
dS
G
n
Le courant électrique est dû à un déplacement de charges électriques.
G
v dt
conducteur orienté
arbitrairement
G
v
G
dS n
G
v dt
On considère un conducteur parcouru par un courant électrique. L’orientation est
arbitraire.
G
Soit un élément de surface dS. On définit n le vecteur normal à dS orienté dans le même sens que le
JJG
G
conducteur. Le vecteur élément de surface est dS = dS n .
On définit : n la densité volumique de porteurs de charges (mobiles),
ρ m ou ρ mobile la densité volumique de charges (m comme mobiles)
et q la charge d’une molécule. On a alors ρ m = nq .
On considère qu’on a un seul type de porteurs de charges (des électrons par exemple).
JJG
• On appelle1 d 2 q la charge qui traverse la surface d’arrivée dS pendant dt : elle est comprise dans le
JJG
G
cylindre de section dS et de longueur v dt. On a donc : d 2 q = ρ m ( v dt ) ⋅ dS .
G
G
G
On pose j = ρ m v = nqv le vecteur densité (volumique) de courant électrique.
Le terme volumique est sous-entendu.
•
G JJG
La charge dq qui traverse la surface S vaut : dq = ∫∫ d 2 q = ∫∫ j ⋅ dS dt .
S
S
L’intensité du courant électrique qui traverse S vaut : I =
dq
=
dt
G JJG
∫∫ j ⋅ dS
S
G
Unité de j : A.m-2.
Le sens du courant est le sens dans lequel se déplaceraient des charges positives.
a) Cas particulier
G
Si j est uniforme. On a I = jS avec S surface perpendiculaire aux lignes de courant. On emploie
le terme « surface d’arrivée ».
b) Généralisation avec plusieurs types de portes de charges
On rencontre souvent des exercices avec plusieurs types de porteurs de charges : plasma par exemple
constitué de cations et d’anions. L’indice 1 désigne par exemple le cation et 2 l’anion.
G
G
G
Le vecteur densité (volumique) de courant est : j = ∑ ρi vi = ni qi vi
i
ρi est la densité volumique de charges de type i en C.m-3.
•
•
1
Dans le cas du plasma, i varie de 1 à 2. Les deux types d’ions se déplacent en sens inverse ; ils
donnent alors des contributions de même sens à la densité volumique de courant car ρ1 et ρ 2 sont
de signes contraires.
Dans un métal, lors porteurs de charge sont les ions du réseau cristallin et les électrons de
G
G
conduction. La densité volumique de courant est j = ρel vel dans un référentiel lié au métal où les
ions sont fixes.
La notation d2q rappelle qu’il y a deux infiniment petits : dS et dt.
Q Courant électrique – Résistance (36-101)
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I.2 Densité surfacique de courant
Dans certains exercices, les charges se déplacent sur une très faible épaisseur. On peut considérer alors qu’on
a des courants en surface (voir cours sur les équations de Maxwell et relations de passage). On appelle σ la
densité surfacique de porteurs de charges mobiles.
G
Soit un élément de longueur dl. On définit n le vecteur normal à dl orienté dans le même sens que le
conducteur.
B
G
v
conducteur orienté
arbitrairement
σ
dl
G
n
v dt
•
•
A
G
G
On appelle d q la charge qui traverse la « ligne d’arrivée » dl. On a alors d 2 q = σ ( vdt ) ⋅ dl n . On pose
G
G
On pose js = σ v le vecteur densité surfacique de courant électrique.
G
G
On en déduit d 2 q = js ⋅ dl n dt .
2
On appelle dq la charge qui traverse la « ligne d’arrivée » AB. Il faut faire la somme des contributions
précédentes.
B G
G
dq
L’intensité du courant électrique vaut: I =
= ∫ jS ⋅ dl n
A
dt
a) Cas particulier
G
Si jS est uniforme : I = jS L avec L « ligne d’arrivée » perpendiculaire aux lignes de courant.
G
jS
L
G
jS
Dans les exercices, on aura très souvent un cylindre parcouru
par des courants surfaciques.
On a alors : I = jS 2π R avec R le rayon du cylindre.
G
jS
b) Relation entre le vecteur densité surfacique de courant et le vecteur densité volumique de courant
La méthode est la même qu’avec les charges. Il faut calculer l’intensité de deux façons :
Courant surfacique : I = jS L
Courant volumique : I = j dz L
dz
On en déduit : jS = j dz
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G
jS
L
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II. VECTEUR ÉLÉMENT DE COURANT
JJG
 G µ0 I dl ^ uGK →M
Dans de très nombreuses relations : loi de Biot et Savart  dB =

4π
KM 2

JJJG
JJG G
JJJG
JJG
dF = I dl ^ B , on définit le vecteur élément de courant : dC = I dl
dz
(
)

 , force de Laplace

On a : Idl = ( jLdz ) dl = jdτ = ( jdz )( Ldl ) = jS dS .
L
JJG
dl
JJJG
JJG G
G
L’élément de courant est : dC = I dl = jdτ = jS dS
a) Confusions fréquentes
Il ne faut pas confondre les longueurs, surfaces et volumes définis précédemment.
JJJG
JJG G
JJG
G
dC = I dl = jdτ = jS dS : dl désigne le vecteur longueur de déplacement du courant, dS est la surface de
déplacement du courant et dτ désigne le volume de déplacement du courant.
On utilise souvent les expressions simplifiées : I = j S et I = jS L.
S est la « surface d’arrivée » perpendiculaire aux lignes de courant.
L est la longueur de la « ligne d’arrivée » (penser aux cyclistes…) perpendiculaire aux lignes de courant.
III. CAS DU RÉGIME STATIONNAIRE
En régime stationnaire (on dit aussi permanent), la densité volumique de charge et la densité volumique de
courant ne dépendent pas du temps. On admet les propriétés suivantes (voir démo cours de Spé) :
En régime
permanent,
G
• j est à flux conservatif
G JJG
• Pour toute surface fermée, w
∫∫ j ⋅ dS ext = 0
S
• Un tube de champ transporte un flux constant.
On peut donc définir l’intensité d’un fil : c’est l’intensité qui traverse une section quelconque S de ce fil qui
matérialise un tube de courant. Le choix de l’orientation de S correspond au choix d’un sens positif pour I le
long du fil.
G
j3
I3
S1
Démonstration de la loi des nœuds en régime permanent.
G
¾ Méthode 1 : j est à flux conservatif.
Soit S la surface fermée définie par S1, S2, S.3 et Slat :
G JJG
G JJG
G JJG
G JJG
w
∫∫ j ⋅ dS ext = 0 = ∫∫ j1 ⋅dS 1ext + ∫∫ j2 ⋅dS 2ext + ∫∫ j3 ⋅dS 3ext + 0
S
Or I1 = ∫∫
G JJG
j1 ⋅dS 1 = −
S1
S1
∫∫
S2
S3
I1
G
j1
I2
G
j2
I3
S3
G JJG
j1 ⋅dS 1ext d’après l’orientation du conducteur :
I1
S1
G JJG
On a donc : w
∫∫ j ⋅ dS ext = 0 = − I1 + I 2 + I3
I2
S
¾
Méthode 2 : On peut utiliser le raisonnement utilisé dans le cours de thermodynamique pour les
systèmes ouverts à plusieurs entrées et plusieurs sorties.
Le système ouvert (partie commune PC) est constitué de S1, S2, S.3 et Slat. Soient dq1 la charge qui rentre
pendant dt à travers la surface S1, dq2 la charge qui sort pendant dt à travers S2 et dq3 la charge qui sort
pendant dt à travers S3.
En régime permanent, on a : −dq1 + dq2 + dq3 = 0 , d’où : − I1 + I 2 + I 3 = 0 .
On raisonne sur la charge au lieu de raisonner sur la masse.
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