– + I. VECTEUR ÉLÉMENT DE SURFACE
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FLUX I. VECTEUR ÉLÉMENT DE SURFACE I.1Vecteur élément de surface pour une surface ouverte On considère une surface S ouverte. + – En un point M de cette surface, on note dS un petit élément de surface assimilable à une partie de plan tangent en M à S. Sur cette portion de surface, on peut distinguer arbitrairement deux faces : signes + et –. G On définit au point M le vecteur unitaire normal dirigé de la face – vers la face +, noté n . On définit alors le vecteur élément de surface : JJG G d S = dS n G L’orientation de n est arbitraire dans ce cas. I.2 Vecteur élément de surface pour une surface fermée Pour une surface fermée, on peut toujours distinguer l’intérieur et l’extérieur. Exemple : sphère. Dans ce cas, par convention, la face – est toujours la face intérieure et la face + est toujours la face extérieure. Le vecteur normal en un point M est donc orienté vers l’extérieur. JJG G Pour une surface fermée : dS ext = dS next I.3 Vecteur élément de surface pour une surface orientée par un contour Dans le cas d’une surface S qui s’appuie une un contour orienté, il faut utiliser la règle de la main droite ou règle de Stokes : si l’on place la main droite de telle manière que le sens positif va vers le bout des doigts, le pouce droit pointe dans le sens positif pour S. Q Flux (35-506) Page 1 sur 3 JN Beury I.4 Exemples a) Surface d’un cylindre On considérera dans le chapitre suivant une surface fermée : cylindre de hauteur h et de rayon r. ¾ ¾ ¾ latérale Σ3 : θ et z varient, donc G dS3 = ( rdθ )( dz ) . Le vecteur normal orienté vers l’extérieur vaut +ur . JJG G On a donc dS 3ext = ( rdθ )( dz ) ur . Pour décrire la surface Pour décrire la surface Σ1 : r et θ varient, donc dS3 = ( dr )( rdθ ) . Le G vecteur normal orienté vers l’extérieur vaut +u z . On a donc JJG G dS 1ext = ( dr )( rdθ ) u z . G uz Σ1 h G uθ M Σ3 Σ2 Pour décrire la surface Σ 2 : r et θ varient, donc dS2 = ( dr )( rdθ ) . Le JJG G G vecteur normal orienté vers l’extérieur vaut −u z . On a donc dS 2 ext = ( dr )( rdθ ) u z . b) Sphère On considérera dans le chapitre suivant une sphère de rayon r. Pour décrire la surface de la sphère : θ et ϕ varient, donc dS = ( rdθ )( r sin θ dϕ ) . G Le vecteur normal orienté vers l’extérieur vaut +ur . JJG G On a donc dS ext ( rdθ )( r sin θ dϕ ) ur . G ur M r O II. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS II.1 Flux élémentaire JJG G JJG G Le flux élémentaire de a à travers la surface élémentaire dS est : dΦ = a ⋅ dS II.2 Flux à travers une surface G JJG G Le flux de a à travers la surface S est : Φ = ∫∫ a ⋅ dS . S Q Flux (35-506) Page 2 sur 3 JN Beury G ur JJG Il y a trois façons d’orienter le vecteur surface élémentaire dS : • JJG Dans le cas d’une surface fermée S, la convention est d’orienter dS vers l’extérieur. On calcule alors le flux sortant. G JJJJG Φ sortant = w ∫∫ a ⋅ dSext S • • Le cercle rappelle qu’il s’agit d’une surface fermée. Dans le cas d’une surface ouverte, il n’y a pas d’orientation privilégiée. On choisit le sens que l’on veut G (cf cours de diffusion thermique avec une orientation arbitraire selon u x , intensité électrique). Dans le cas d’une surface S qui s’appuie une un contour orienté, il faut utiliser la règle de la main droite : si l’on place la main droite de telle manière que le sens positif va vers le bout des doigts, le pouce droit pointe dans le sens positif pour S. II.3 Champ à flux conservatif G Un champ de vecteur a à flux conservatif est un champ de vecteur dont le flux à travers toute surface fermée est nul G JJJG ⇔ ∀S surface fermée, w ∫∫ a ⋅ d S ext = 0 S ⇔ Un tube de champ transporte un flux constant (voir démonstration paragraphe suivant). II.4 Propriétés d’un champ à flux conservatif Soit Γ1 un contour (courbe fermée orientée). Soient S1 et S2 deux sections d’un même tube. On appelle Slat la portion de tube de champ comprise entre ces deux sections. La surface S = S1 ∪ S2 ∪ Slat est une surface fermée. Sur la figure, le vecteur surface élémentaire de S dirigé par convention vers l’extérieur est égal à l’opposé du vecteur surface de S1. Le flux G JJG G JJG G JJG G JJG G G de a sortant de S est nul, donc : w ∫∫ a ⋅ dS ext = 0 = ∫∫ a ⋅ dS '1 + ∫∫ a ⋅ dS lat + ∫∫ a ⋅ dS 2 . Le flux de a à travers la S S1 Slat S2 surface latérale est nul car cette surface est tangente aux lignes de courant par définition d’un tube de G JJG G JJG G JJG G JJG courant. On en déduit : 0 = − ∫∫ a ⋅ dS 1 + ∫∫ a ⋅ dS 2 , d’où ∫∫ a ⋅ dS 1 = ∫∫ a ⋅ dS 2 S1 S2 S1 S2 Le flux d’un champ à flux conservatif est le même à travers toute section d’un même tube de champ. Q Flux (35-506) Page 3 sur 3 JN Beury
