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–
+
FLUX
I. VECTEUR ÉLÉMENT DE SURFACE
I.1Vecteur élément de surface pour une surface ouverte
On considère une surface S ouverte.
En un point M de cette surface, on note dS un petit élément de surface assimilable à une partie de plan
tangent en M à S.
Sur cette portion de surface, on peut distinguer arbitrairement deux faces : signes + et –.
On définit au point M le vecteur unitaire normal dirigé de la face – vers la face +, noté n
G.
On définit alors le vecteur élément de surface :
ddSSn=
J
JG
G
L’orientation de n
G
est arbitraire dans ce cas.
I.2 Vecteur élément de surface pour une surface fermée
Pour une surface fermée, on peut toujours distinguer l’intérieur et l’extérieur. Exemple : sphère.
Dans ce cas, par convention, la face – est toujours la face intérieure et la face + est toujours la face
extérieure.
Le vecteur normal en un point M est donc orienté vers l’extérieur.
Pour une surface fermée : dd
ext ext
SSn=
J
JG
G
I.3 Vecteur élément de surface pour une surface orientée par un contour
Dans le cas d’une surface S qui s’appuie une un contour orienté, il faut utiliser la règle de la main droite
ou règle de Stokes : si l’on place la main droite de telle manière que le sens positif va vers le bout des doigts,
le pouce droit pointe dans le sens positif pour S.

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h
M
Σ
1
Σ
3
Σ
2
r
u
G
u
θ
G
z
u
G
r
u
G
O
M
r
I.4 Exemples
a) Surface d’un cylindre
On considérera dans le chapitre suivant une surface fermée : cylindre de hauteur h et de rayon r.
¾ Pour décrire la surface latérale 3
Σ
:
θ
et z varient, donc
()()
3
dddSr z θ =. Le vecteur normal orienté vers l’extérieur vaut r u
+
G
.
On a donc
()()
3
ddd
ext r
Srzu θ =
J
JG
G
.
¾ Pour décrire la surface 1
Σ: r et
θ
varient, donc
(
)
(
)
3
dddSrr
θ
=. Le
vecteur normal orienté vers l’extérieur vaut
z
u
+
G
. On a donc
()( )
1
ddd
ext
z
Srru θ =
JJG G.
¾ Pour décrire la surface 2
Σ: r et
θ
varient, donc
(
)
(
)
2
dddSrr
θ
=. Le
vecteur normal orienté vers l’extérieur vaut
z
u
−
G
. On a donc
(
)( )
2
ddd
ext
z
Srru θ =
J
JG G.
b) Sphère
On considérera dans le chapitre suivant une sphère de rayon r.
Pour décrire la surface de la sphère :
θ
et
ϕ
varient, donc
(
)
(
)
ddsindSr r
θ
θϕ =.
Le vecteur normal orienté vers l’extérieur vaut r
u
+
G
.
On a donc
()( )
ddsind
ext r
Sr r u θθϕ
JJG G.
II. FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS
II.1 Flux élémentaire
Le flux élémentaire de a
G
à travers la surface élémentaire dS
J
JG
est : ddaS
Φ
=⋅
J
JG
G
II.2 Flux à travers une surface
Le flux de a
G à travers la surface S est : d
S
aS
Φ
=⋅
∫
∫
J
JG
G
.

Q Flux (35-506) Page 3 sur 3 JN Beury
Il y a trois façons d’orienter le vecteur surface élémentaire dS
J
JG :
• Dans le cas d’une surface fermée S, la convention est d’orienter dS
J
JG
vers l’extérieur. On calcule alors
le flux sortant.
sortant dext
S
aSΦ=⋅
∫∫
J
JJJG
G
w
Le cercle rappelle qu’il s’agit d’une surface fermée.
• Dans le cas d’une surface ouverte, il n’y a pas d’orientation privilégiée. On choisit le sens que l’on veut
(cf cours de diffusion thermique avec une orientation arbitraire selon x
u
G
, intensité électrique).
• Dans le cas d’une surface S qui s’appuie une un contour orienté, il faut utiliser la règle de la main
droite : si l’on place la main droite de telle manière que le sens positif va vers le bout des doigts, le
pouce droit pointe dans le sens positif pour S.
II.3 Champ à flux conservatif
Un champ de vecteur a
G à flux conservatif est un champ de vecteur dont le flux à travers toute surface
fermée est nul
⇔ S∀ surface fermée, d0
ext
S
aS⋅=
∫∫ JJJG
G
w
⇔ Un tube de champ transporte un flux constant (voir démonstration paragraphe suivant).
II.4 Propriétés d’un champ à flux conservatif
Soit 1
Γ un contour (courbe fermée orientée).
Soient S1 et S2 deux sections d’un même tube. On appelle Slat la portion de tube de champ comprise entre ces
deux sections. La surface 12lat
SS S S=∪∪ est une surface fermée. Sur la figure, le vecteur surface
élémentaire de S dirigé par convention vers l’extérieur est égal à l’opposé du vecteur surface de S1. Le flux
de a
G sortant de S est nul, donc :
12
2
1
d0 d' d d
lat
ext lat
SSSS
aS aS aS aS⋅==⋅+⋅+⋅
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
JJG JJG JJG JJG
GGGG
w. Le flux de a
G à travers la
surface latérale est nul car cette surface est tangente aux lignes de courant par définition d’un tube de
courant. On en déduit :
12
12
0d d
SS
aS aS=− ⋅ + ⋅
∫∫ ∫∫
JJG JJG
GG
, d’où
12
12
dd
SS
aS aS⋅=⋅
∫∫ ∫∫
J
JG J JG
G
G
Le flux d’un champ à flux conservatif est le même à travers toute section d’un même tube de champ.