CHAMP ÉLECTROSTATIQUE CHAMP GRAVITATIONNEL

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CHAMP ÉLECTROSTATIQUE
CHAMP GRAVITATIONNEL
I. ÉLECTROMAGNÉTISME
On appelle électromagnétisme l’étude de l’ensemble des phénomènes liés aux interactions entre particules
chargées. L’objet d’étude le plus général est un ensemble D de particules en mouvement par rapport à un
référentiel donné, désigné sous le nom de distribution de charges de courants. Le but est de prédire l’évolution
de D au cours du temps.
La théorie actuelle de l’électromagnétisme résout le problème :
• Une particule donnée de vitesse v
G dans le référentiel
ℜ
et de charge q subit de la part du champ
électromagnétique une force de Lorentz :
Force de Lorentz : ^
F
qE qv B=+
G
GG
G
• La théorie est complétée par un système d’équations aux dérivées partielles, dites équations de Maxwell
(voir cours de deuxième année) permettant de calculer le champ électromagnétique
()()
()
,, ,EMt BMt
GG
.
I.1 Situation en régime non permanent
La distribution D variable dans le temps est la source du champ électromagnétique
()()
()
,, ,EMt BMt
GG
. On
a un couplage reliant le champ électrique et le champ magnétique.
I.2 Situation en régime permanent
En régime permanent, le couplage disparaît. On peut donc étudier le champ électrique permanent, appelé
champ électrostatique indépendamment du champ magnétique permanent, appelé champ magnétostatique.
On a donc dans ce cas deux branches bien distinctes de l’électromagnétisme, qui s’étaient développées avant
la synthèse proposée par Maxwell.
• L’électrostatique étudie le champ électrique permanent créé par des charges fixes dans un
référentiel donné : charges déposées sur des isolants : bâton de verre ou d’ébonite frotté, charges
présentes à la surface de conducteurs en équilibre…
• La magnétostatique étudie le champ magnétique permanent créé par des courants permanents ou
des aimants permanents.
L’électrostatique est l’étude du champ électrique en régime permanent (on dit aussi stationnaire,
indépendant du temps) : 0
E
t
∂=
∂
G
.
II. QUELQUES PROPRIÉTÉS DE LA CHARGE ÉLECTRIQUE
II.1 Conservativité
La charge électrique est une grandeur scalaire positive ou négative. L’ensemble des expériences
d’électromagnétisme indique que la charge totale d’un système isolé reste constante au cours du temps.
II.2 Invariance
La charge électrique est invariante, c'est-à-dire qu’elle ne dépend pas du référentiel.

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II.3 Quantification
III. FORCE ÉLECTROSTATIQUE ET FORCE GRAVITATIONNELLE
III.1 Force électrostatique et champ électrostatique
Soit D une distribution de charges immobiles.
Soit un point matériel de charge q. Il subit une force électrostatique :
(
)
,fqEDM=
G
G
()
,EDM
G
est appelé le champ électrostatique créé par la distribution D au point M.
III.2 Force gravitationnelle et champ gravitationnel
Soit D une distribution de masses immobiles.
Soit un point matériel de masse m. Il subit une force gravitationnelle :
(
)
,fmADM=
G
G
()
,
A
DM
G
est appelé le champ gravitationnel créé par la distribution D au point M.
Nous allons étudier dans la suite du cours comment calculer le champ électrostatique et le champ gravitationnel
pour une distribution quelconque.
IV. CHAMP ÉLECTROSTATIQUE ET CHAMP GRAVITATIONNEL
IV.1 Champ électrostatique
a) Champ créé par une distribution constituée d’une charge ponctuelle
Soit une charge Q en un point K. Soit un point M de charge q. La force électrostatique exercée par la
charge Q sur la charge q vaut : 2
0
4
K
M
qQ
fu
KM
πε
→
=
G
G
.
On définit le champ électrostatique créé par la distribution D :
()
,f EDM q
=
G
G
Cette charge Q créée donc un champ électrostatique en tout point M de l’espace (sauf en K où le modèle
de la charge ponctuelle n’est pas adapté).
()
23
00
,44
KM
QQKM
EDM u
K
MKM πε πε
→
==
J
JJJG
GG loi de Coulomb
On note r la distance entre K et M,
K
M
u→
G
le vecteur unitaire dirigé de K vers M.
K
M
charge > 0 Q
KM
KM
u→
G
K
M
charge < 0 Q
KM
()
EM
G
()
EM
G
Le champ électrostatique
diverge à partir de la
charge positive Q.
Le champ électrostatique
converge vers la charge
négative Q.
KM
u→
G

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M
d q
volume d τ
D
K
KM
K
M
u→
G
0
ε
est la permittivité du vide. 12
09
18,84 10
36 10
επ
−
==× F.m-1.
b) Champ créée par une distribution constituée de N charges ponctuelles
Les charges q1, q2…qN. sont situées aux points K1, K2…KN .
Soit un point M de charge q. La force électrostatique exercée par la charge Q sur la charge q vaut :
12
12
22
01 0 2
...
44
KM K M
qq qq
fu u
KM KM
πε πε
→→
=++
GGG
.
On en déduit que :
()
,
f
EDM q =
G
G
()
10
4i
N
i
K
M
ii
q
EM u
KM
πε
→
=
=∑
G
G
On utilise le théorème de superposition pour le champ électrique.
c) Champ créé par une distribution volumique de charges
Souvent on considère une distribution macroscopique constituée d’un très grand nombre de
particules. Si considère un volume mésoscopique d
τ
de l’ordre de grandeur de 1 µm3. C’est un
infiniment petit à notre échelle macroscopique mais il contient un grand nombre de particules. On va
donc dans ce cas définir un champ électrostatique qui est la moyenne du champ électrostatique réel.
Soit D une distribution volumique de charges. On considère un petit élément de volume d
τ
de charge dq.
On définit
ρ
la densité volumique de charges : d
d
q
ρ
τ
=.
Le champ créé en M par la charge dq vaut :
()
2
0
d
d4
K
M
q
EM u
KM
πε
→
=
G
G
.
ATTENTION : dE
G est une notation. Ce n’est pas la différentielle de E
G.
C’est simplement la contribution de dq au champ électrostatique au point M.
Le champ créé par D vaut :
()
22
00
dd
44
K
MKM
DD
q
EM u u
KM KM
ρτ
πε πε
→→
==
∫∫∫ ∫∫∫
G
G
G
On utilisera soit les coordonnées cartésiennes dddd
x
yz
τ
=
, cylindriques
()( )()
ddddrr z τθ = ou
sphériques
()( )( )
dddsindrr r
τ
θθϕ =.
Méthode de calcul utilisée dans les exercices :
• Prévoir la direction du champ électrostatique avec des arguments de symétrie
• Faire un schéma clair et écrire la loi de Coulomb :
()
2
0
d
d4
K
M
q
EM u
KM
πε
→
=
G
G
• Projeter et intégrer les projections de dE
G
.
d) Champ créé par une distribution surfacique de charges :
Les charges surfaciques sont une approximation lorsque les charges sont sur une très faible épaisseur.
d1) Calcul du champ électrostatique
Soit D une distribution surfacique de charges. On considère un petit élément de surface dS portant la
charge dq. On définit
σ
la densité surfacique de charges : d
d
q
S
σ =.
Le champ créé en M par la charge dq vaut :
()
2
0
d
d4
K
M
q
EM u
KM
πε
→
=
G
G
.

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K
M
masse m
P
KM
KM
u→
G
(
)
A
M
G
d S
d z
ddqS
σ
=
dddqSz
ρ
=
d l
d S
d l
ddql
λ
=dddqSl
ρ
=
Le champ créé par D vaut :
()
22
00
dd
44
K
MKM
DD
qS
EM u u
KM KM
σ
πε πε
→→
==
∫∫ ∫∫
G
G
G.
On utilisera soit les coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques.
Méthode de calcul utilisée dans les exercices :
• Prévoir la direction du champ électrostatique avec des arguments de symétrie
• Faire un schéma clair et écrire la loi de Coulomb :
()
2
0
d
d4
K
M
q
EM u
KM
πε
→
=
G
G
• Projeter et intégrer les projections de dE
G
.
d2) Relation entre la densité surfacique de charge et la densité volumique de charge
La méthode est de calculer la charge dq de deux manières.
En identifiant les deux expressions, on en déduit : dz
σρ
=
e) Champ créé par une distribution linéïque de charges
Les charges linéïques sont une approximation lorsque les charges sont sur un très faible volume.
e1) Calcul du champ électrostatique
Soit D une distribution linéïque de charges. On considère un petit élément de longueur dl de charge
dq. On définit
λ
la densité linéïque de charges : d
d
q
l
λ =.
Le champ créé en M par la charge dq vaut :
()
2
0
d
d4
K
M
q
EM u
KM
πε
→
=
G
G
.
On en déduit :
()
2
0
d
4
K
M
D
q
EM u
KM
πε
→
=∫
G
G
.
On utilisera soit les coordonnées cartésiennes, cylindriques ou sphériques.
Méthode de calcul utilisée dans les exercices :
• Prévoir la direction du champ électrostatique avec des arguments de symétrie
• Faire un schéma clair et écrire la loi de Coulomb :
()
2
0
d
d4
K
M
q
EM u
KM
πε
→
=
G
G
• Projeter et intégrer les projections de dE
G
.
e2) Relation entre la densité linéïque de charge et la densité volumique de charge
La méthode est de calculer la charge dq de deux manières.
En identifiant les deux expressions, on en déduit : dS
λ
ρ
=
IV.2 Champ de gravitation
On note
A
G
le champ gravitationnel créé par une masse ponctuelle. Soit une masse mK en un point P. Cette
masse créée un champ gravitationnel en tout point M de l’espace (sauf en P où le modèle de la masse
ponctuelle n’est pas adapté).
()
2
K
K
M
Gm
AM u
K
M→
−
=
G
G
G est la constante de gravitation universelle : 11 2 2
6, 67 10 N kg mG−−
=
×⋅⋅
On donne souvent le champ de pesanteur au niveau du sol : g0 = 9,81 m.s-2.

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MT désigne la masse de la terre et RT le rayon de la terre : 02
T
T
GM
gR = avec RT = 6400 km et MT = 6×1024 kg.
Dans la suite du cours, les résultats pour le champ électrostatique (théorème de Gauss…) pourront être
généralisés au champ gravitationnel en utilisant l’analogie suivante :
0
charge masse
1
4G
EA
πε
→
→−
→G
G
IV.3 Bilan
On admet les résultats suivants :
a) Approximation volumique
L’expression
()
2
0
d
4
K
M
D
EM u
KM
ρτ
πε
→
=∫∫∫
G
G
est valable même si on a des charges à l’infini.
Le champ électrostatique est défini et continu en tout point de l’espace.
b) Approximation surfacique
L’expression
()
2
0
d
4
K
M
D
S
EM u
KM
σ
πε
→
=∫∫
G
G
est valable même si on a des charges à l’infini.
Le champ électrostatique est défini en tout point de l’espace sauf sur la distribution. Le champ
électrostatique subit une discontinuité à la traversée de la surface de distribution.
Soit une surface S qui porte une densité surfacique de charge
σ
. A1 et A2 sont des points voisins de A
situés dans les domaines 1 et 2. On note
(
)
2
22
lim
AA
EEA
→
=
G
G
et
(
)
1
11
lim
AA
EEA
→
=
G
G
.
Le champ électrostatique est discontinu à la traversée de la surface de distribution :
21 12
0
EE n
σ
ε
→
−=
G
G
G
c)Approximation linéïque
L’expression
()
2
0
d
4
K
M
D
l
EM u
KM
λ
πε
→
=∫
GGest valable même si on a des charges à l’infini.
Le champ électrostatique n’est pas défini en un point où il existe une distribution linéïque de
charges ou une charge ponctuelle.
d) Comment faire si on veut rentrer dans une surface ?
L’approximation volumique est la meilleure approximation. Dans certains exercices, il est demandé
d’utiliser l’approximation surfacique. Si des difficultés mathématiques issues d’une modélisation plus
forte apparaissent, il faut alors « revenir en arrière » et changer de modélisation.
Exemple : calcul du champ créé par un plan infini. Le calcul envisagé n’a pas de sens lorsqu’on veut
connaître le champ dans le plan. Il faut alors reprendre les calculs en considérant une épaisseur e avec
une approximation volumique. Voir chapitre sur le théorème de Gauss.