Chapitre V – Trigonométrie 1 Angles orientés

Chapitre V – Trigonométrie
1 Angles orientés
Définition 1. et Propriété
Soit Mun point image du réel xpar enroulement de la droite réelle sur le cercle
trigonométrique C.
•L’angle orienté (OI , OM )a pour mesures, en radians, x+k×2πavec k∈Z.
•L’angle orienté (OI , OM )possède une mesure unique dans l’intervalle ]−π;π].
Cette mesure s’appelle la mesure principale de l’angle orienté.
La longueur de l’arc IM est égale à x.
J
O
M
x
x
I
Remarque.
Un angle géométrique est toujours positif. Un angle orienté dépend de l’orientation choisie, il peut être négatif.
Exemple 1. Mesures d’un angle orienté
•L’angle (O A , O B )a une infinité de mesures, en radians,
on aurait pu écrire :
(OA , OB ) = π
3+k×2πavec k∈Z.
(OA , OB ) = π
3
(OA , OB ) = −5π
3=π 3−2π
•La mesure principale de l’angle orienté (OA , OB )est :
(OA , OB ) = π
3
C’est l’unique mesure de (OA , O B )appartenant à l’intervalle ]−π;π].
•Ici (OA , OB ) = (u , v ) = π
3
I
A
π
3
π
3
u
v
B
O
−5π
3
Exemple 2. Déterminer la mesure principale des angles 74 π
6et −
81 π
4
74 π
6
2π=37
6≈6,17 (il y a un peu plus de 6 fois 2πdans 74 π 6)
d’où 74 π
6−6×2π=74 π
6−72 π 6=π 3
La mesure principale de l’angle orienté 74 π
6est donc π
3.
−86 π
4
2π=−43
4=−10,75 (il y a presque −11 fois 2πdans −86 π 4)
d’où −86 π
4+11 ×2π=−86 π
4+88 π 4=π 2
La mesure principale de l’angle orienté −86 π
4est donc π
2.
Propriété 1. Relation de Chasles avec les angles
Pour tous vecteurs non nuls u,v,w:
(u, v ) + (v , w) = (u , w)
Exemple 3. On considère l’hexagone régulier direct ABCDE F inscrit dans le cercle trigonométrique de centre O.
Donner la mesure principale, en radians, des angles orientés : (OA ;F O) (AO ;D E ) (DE ;FD )
•(OA ;FO ) = (OA ;OC ) = 2π
3
•(AO ;DE ) = (AO ;DO ) + (DO ;DE ) = (OD ;OA) + (DO ;D E ) = π−π
3=2π
3,
→(DO ;DE ) = −π
3car ODE est un triangle équilatéral direct
•(DE ;FD ) = (DE ;FA) + (FA ;F D) = (DE ;DC ) + π
2=2π 3+π 2=4π 6+3π 6=7π 6ou −5π
6
→(FA ;FD ) = π
2en effet, A C D F est un quadrilatère dont les diagonales ont la même
longueur et se coupent en leurs milieux, c’est donc un rectangle
→(DE ;DC ) = 2 ×π
3=2π 3
EF
A
D
C
O
B
Propriété 2. Pour tous vecteurs non nuls u,v:
(v, u ) = −(u , v )
(−u , −v) = (u , v )
(−u , v ) = (u , v ) + π

2 Trigonométrie
Définition 2.
Si Mun point du cercle trigonométrique Ctel que xsoit une mesure en radian de
l’angle orienté (OI , OM ), alors dans le repère (O;OI , OJ ),
•le cosinus de x:cos (x)est l’abscisse de M
•le sinus de x:sin (x)est l’ordonnée de M
Le cosinus d’un angle orienté (u, v) est le cosinus d’une mesure, en radians, de
cet angle orienté. De même pour le sinus.
J
I
M
sin (x)
O
x
cos (x)
Valeurs particulières du cosinus et du sinus
x0π
6
π
4
π
3
π
2
cos (x) 1 3
√
2
2
√
2
1
20
sin (x) 0 1
2
2
√
2
3
√
21
+
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
−π
6
−π
4
−π
3
π
4
−3π
4
−5π
6
−2π
3
0
J
O
π
6
2
√
2
3
√
2
I
1
2
1
2
2
√
2
3
√
2
−π
2
Propriété 3. propriétés élémentaires du sinus et du cosinus
Pour tout x∈Ret pour tout k∈Z,
cos2(x) + sin2(x) = 1 cos (x+ 2 k π) = cos (x)
sin (x+ 2 k π) = sin (x)−16cos (x)61 −16sin (x)61
Exemple 4. Sachant que cos 2π
5=5
√−1
4, calculer sin 2π
5.
On sait que cos22π
5+sin22π
5= 1 on en déduit donc que
sin22π
5= 1 −cos22π
5
= 1 − 5
√−1
4!2
= 1 −5−2 5
√+ 1
16
=10 + 2 5
√
16
=5 + 5
√
8
or sin2π
5>0car 2π
5∈0; π
2donc sin2π
5= + 5 + 5
√
8
q=5 + 5
√
q
2 2
√.
1re S1 Chapitre V – Trigonométrie
2

Propriété 4. propriétés des angles associés
Pour tout réel x,
cos (−x) = cos (x)
sin (−x) = −sin (x)
x
−x
cos (π−x) = −cos (x)
sin (π−x) = sin (x)
π−xx
cos (π+x) = −cos (x)
sin (π+x) = −sin (x)
π+x
x
cosπ
2−x=sin (x)
sinπ
2−x=cos (x)
π
2−x
x
cosπ
2+x=−sin (x)
sinπ
2+x=cos (x)
π
2+x
x
Exemple 5. Sachant que cos 2π
5=5
√−1
4, calculer cos 7π
5et sin9π
10 .
•7π
5=5π
5+2π 5=π+2π 5(on a décomposé 7π 5pour obtenir une somme faisant intervenir 2π 5)
d’où cos7π
5=cosπ+2π
5=−cos2π 5=−5
√−1
4=1−5
√
4
•9π
10 =5π 10 +4π 10 =π 2+2π 5(on a décomposé 9π 10 pour obtenir une somme faisant intervenir 2π 5soit 4π 10 )
d’où sin9π
10 =sinπ
2+2π
5=cos2π
5=5
√−1
4
3 Formules d’addition et de duplication
Propriété 5. Formules d’addition
cos (a−b) = cos acos b+sin asin b
cos (a+b) = cos acos b−sin asin b
sin (a−b) = sin acos b−sin bcos a
sin (a+b) = sin acos b+sin bcos a
Exemple 6. Calculer sin13 π
12 .
•sin13 π
12 =sinπ+π
12 =−sinπ 12 
or π
12 =4π
12 −3π 12 =π 3−π 4
(étant donné le dénominateur égal à 12, on a décompose π
12 pour obtenir une somme faisant intervenir π 3=4π 12 et π 4=3π 12 )
sinπ
12 =sinπ
3−π
4
=sinπ
3cosπ
4−sinπ 4cosπ 3
=3
√
2×2
√
2−2
√
2×1
2
=6
√−2 √
4
On en déduit donc que sin13 π
12 =−6
√+ 2
√
4
•Dans cet exemple, on aurait pu aussi utiliser les formules de linéarisation de la propriété 7.
Propriété 6. Formules de duplication
cos (2 a) = cos2a−sin2a
cos (2 a) = 2 cos2a−1
cos (2 a) = 1 −2sin2a
sin (2 a) = 2 sin acos a
Exemple 7. Sachant que cos 2π
5=5
√−1
4, calculer cos 4π
5.
•4π
5= 2 ×2π
5(ceci nous incite à utiliser une formule de duplication car ici on connaît aet on cherche 2a)
cos4π
5= 2 cos22π
5−1 = 2 5
√−1
4!2
−1 = 2 ×5−2 5
√+ 1
16 −1 = 6−2 5
√
8−8 8=−1−5
√
4
1re S1 Chapitre V – Trigonométrie
3

Propriété 7. Formules de linéarisation (conséquences directes des formules de duplication)
cos2a=1 + cos (2 a)
2et sin2a=1−cos (2 a)
2
Exemple 8. Calculer cos3π
8.
•2×3π
8=3π
4d’où (ceci nous incite à utiliser une formule de linéarisation car ici on connaît cos (2 a)et on cherche cos (a))
cos23π
8=1 + cos (2 ×3π
8)
2=1 + cos (3π
4)
2=1−2
√
2
2=2−2
√
2×1
2=2−2
√
4
or cos3π
8>0car 3π
8∈0; π
2donc
cos3π
8= + 2−2
√
4
r=2−2
√
p2
4 Équations trigonométriques
Propriété 8. Soit aun nombre réel,
cos (x) = cos (a)⇔x=a+k×2πou x=−a+k×2πavec k∈Z
a
−a
sin (x) = sin (a)⇔x=a+k×2πou x=π−a+k×2πavec k∈Z
π−aa
Exemple 9. Pour résoudre une équation trigonométrique, on se ramène à une équation du type sin (a) = sin (b)ou cos (a) = cos (b).
À l’aide du cercle trigonométrique, on trouve les solutions dans ]−π;π]puis on ajoute les multiples de 2π.
•Résoudre sin (x) = −
3
√
2dans Rpuis dans l’intervalle ]−π;π]:
sin (x) = −3
√
2⇔x=−π
3+k×2πou x=−2π 3+k×2πavec k∈Z
◦L’ensemble des solutions sur Rest S=n−π
3+k×2π;−2π 3+k×2π;k∈Zo.
◦L’ensemble des solutions sur ]−π;π]est S=n−2π
3;−π 3o.
−2π
3−π
3
•Résoudre cos 2x+π
6=sin (x)dans Rpuis dans l’intervalle ]−π;π]:
cos (2 x+π
6) = sin (x)⇔cos (2 x+π
6) = cos π 2−xremarquez la ruse
⇔2x+π
6=π
2−x+k×2πou 2x+π 6=−π 2−x+k×2πavec k∈Z
⇔3x=π
2−π
6+k×2πou 2x+π 6=−π 2+x+k×2πavec k∈Z
⇔3x=3π
6−π
6+k×2πou x=−3π 6−π 6−x+k×2πavec k∈Z
⇔3x=π
3+k×2πou x=−2π 3+k×2πavec k∈Z
⇔x=π
9+k×2π 3ou x=−2π 3+k×2πavec k∈Z
◦L’ensemble des solutions sur Rest donc S=nπ
9+k×2π 3;−2π 3+k×2π;k∈Zo.
◦L’ensemble des solutions sur ]−π;π]est S=n−2π
3;−5π 9;π 9;7π 9o.
−2π
3
π
9
1re S1 Chapitre V – Trigonométrie
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