Chapitre V – Trigonométrie 1 Angles orientés

Chapitre V – Trigonométrie
1 Angles orientés
Définition 1. et Propriété
J
M
Soit M un point image du réel x par enroulement de la droite réelle sur le cercle
trigonométrique C.
•
L’angle orienté (OI , OM ) a pour mesures, en radians, x + k × 2 π avec k ∈ Z.
•
L’angle orienté (OI , OM ) possède une mesure unique dans l’intervalle ] − π ; π].
Cette mesure s’appelle la mesure principale de l’angle orienté.
x
x
I
O
La longueur de l’arc IM est égale à x.
Remarque.
Un angle géométrique est toujours positif. Un angle orienté dépend de l’orientation choisie, il peut être négatif.
Exemple 1. Mesures d’un angle orienté
(OA , OB ) =
Qv
A
π
3
5π
(OA , OB ) = − 3
=
π
3
π
3
Ici (OA , OB ) = (u
Q , Qv ) =
•
π
3
−2π
La mesure principale de l’angle orienté (OA , OB ) est :
π
(OA , OB ) = 3
C’est l’unique mesure de (OA , OB ) appartenant à l’intervalle ] − π ; π].
•
O
−
5π
3
I
Q
u
π
3
Exemple 2. Déterminer la mesure principale des angles
74 π
6
B
L’angle (OA , OB ) a une infinité de mesures, en radians,
on aurait pu écrire :
π
(OA , OB ) = 3 + k × 2 π avec k ∈ Z.
•
74 π
6
et −
81 π
4
86 π
37
≈ 6,17
(il y a un peu plus
6
2π
74 π
74 π
72 π
π
d’où 6 − 6 × 2 π = 6 − 6 = 3
=
74 π
)
6
de 6 fois 2 π dans
La mesure principale de l’angle orienté
74 π
6
est donc
π
3
.
− 4
43
86 π
= − 4 = −10,75
(il y a presque −11 fois 2 π dans − 4 )
2π
86 π
86 π
88 π
π
d’où − 4 + 11 × 2 π = − 4 + 4 = 2
La mesure principale de l’angle orienté −
86 π
4
est donc
π
2
.
Propriété 1. Relation de Chasles avec les angles
Pour tous vecteurs non nuls Qu, Qv, w
Q :
Q , Qv ) + (v
Q ,w
Q ) = (u
Q ,w
Q)
(u
Exemple 3. On considère l’hexagone régulier direct AB CDEF inscrit dans le cercle trigonométrique de centre O.
Donner la mesure principale, en radians, des angles orientés :
(OA ; FO)
•
(OA ; FO) = (OA ; OC ) =
•
(AO ; DE ) = (AO ; DO ) + (DO ; DE ) = (OD ; OA) + (DO ; DE ) = π −
→
•
(DO
π
; DE ) = − 3
(AO ; DE )
(DE ; FD ) = (DE ; FA) + (FA ; FD ) = (DE ; DC ) +
π
3
=
2π
3
,
D
π
2
=
2π
3
+
π
2
=
4π
6
+
3π
6
π
2
=
7π
6
ou
(FA ; FD ) =
en effet, A C D F est un quadrilatère dont les diagonales ont la même
longueur et se coupent en leurs milieux, c’est donc un rectangle
→
(DE ; DC ) = 2 ×
2π
3
Propriété 2. Pour tous vecteurs non nuls Qu, Qv :
Q ,u
Q ) = −(u
Q , Qv )
(v
(−u
Q , −v
Q ) = (u
Q , Qv )
(−u
Q , Qv ) = (u
Q , Qv ) + π
A
O
−5 π
6
→
=
B
C
car ODE est un triangle équilatéral direct
π
3
(DE ; FD )
2π
3
E
F
1re S1
Chapitre V – Trigonométrie
2 Trigonométrie
Définition 2.
J
sin (x)
Si M un point du cercle trigonométrique C tel que x soit une mesure en radian de
l’angle orienté (OI , OM ), alors dans le repère (O; OI , OJ ),
•
•
M
x
le cosinus de x : cos (x) est l’abscisse de M
cos (x) I
O
le sinus de x : sin (x) est l’ordonnée de M
Le cosinus d’un angle orienté (u
Q , Qv) est le cosinus d’une mesure, en radians, de
cet angle orienté. De même pour le sinus.
Valeurs particulières du cosinus et du sinus
π
π
π
π
x
0
6
4
3
2
√
√
1
3
2
cos (x)
1
0
2
2
2
√
√
1
2
3
sin (x)
0
1
2
2
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
2
J
π
3
√
3
2
√
2
2
π
4
π
0
O
−
= 1 − cos2
2π
3
or sin
2π
5
> 0 car
2π
5
q
√
π
∈ 0; 2 donc sin 2 π = + 5 + 5 =
8
5
q
√
2π
5
!2
5−1
4
√
5−2 5 +1
= 1−
√ 16
10 + 2 5
=
16
√
5+ 5
=
8
= 1−
√
5+ 5
√
2 2
.
2
I
3
2
−
√
2π
2π
5−1
Exemple 4. Sachant que cos 5 =
, calculer sin 5 .
4
2π
2π
On sait que cos2 5 + sin2 5 = 1 on en déduit donc que
2
2
3π
4
Propriété 3. propriétés élémentaires du sinus et du cosinus
Pour tout x ∈ R et pour tout k ∈ Z,
cos (x + 2 k π) = cos (x)
cos2(x) + sin2 (x) = 1
sin (x + 2 k π) = sin (x)
2π
5
1
2
√
−
−
√
5π
6
−
sin2
+
π
6
1
2
−
π
2
−
π
6
π
4
π
3
−1 6 cos (x) 61
−1 6 sin (x) 61
1re S1
Chapitre V – Trigonométrie
Propriété 4. propriétés des angles associés
Pour tout réel x,
cos (−x) = cos (x)
sin (−x) = −sin (x)
cos (π − x) = −cos (x)
sin (π − x) = sin (x)
π−x
x
cos (π + x) = −cos (x)
sin (π + x) = −sin (x)
x
x
−x
π+x
π
− x = sin (x)
2
π
sin
− x = cos (x)
2
cos
π
+ x = −sin (x)
2
π
sin
+ x = cos (x)
2
π
2
cos
π
2
−x
+x
x
Exemple 5. Sachant que cos
•
7π
5
=
5π
5
d’où
•
9π
10
=
5π
10
d’où
2π
5
=
√
x
5−1
,
4
calculer cos
7π
5
2π
2π
=π+ 5
5
√
2π
2π
5−1
7π
cos 5 = cos π + 5 = −cos 5 = − 4
+
4π
π
2π
=2+ 5
10
9π
π
sin 10 = sin 2
+
=
et sin
9π
10
.
(on a décomposé
+
= cos
2π
5
=
√
pour obtenir une somme faisant intervenir
2π
)
5
1− 5
4
(on a décomposé
2π
5
7π
5
√
9π
10
pour obtenir une somme faisant intervenir
2π
5
soit
4π
)
10
5−1
4
3 Formules d’addition et de duplication
Propriété 5. Formules d’addition
cos (a − b) = cos a cos b + sin a sin b
cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b
13 π
Exemple 6. Calculer sin 12 .
13 π
π • sin 12 = sin π + 12 = −sin
4π
3π
π
π
π 12
= 12 − 12 = 3 − 4
π
(étant donné le dénominateur égal à 12, on a décompose 12 pour obtenir une somme faisant intervenir
π π
π
−
= sin
sin
4
3
12
π
π
π
π
cos
− sin
cos
= sin
4
4
3
3
√
√
√
3
2
2 1
=
×
−
×
2
2
√2
√2
6− 2
=
4
√
√
− 6+ 2
13 π
On en déduit donc que sin
=
4
12
or
•
π
12
sin (a − b) = sin a cos b − sin b cos a
sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a
=
4π
12
et
π
4
=
3π
)
12
Dans cet exemple, on aurait pu aussi utiliser les formules de linéarisation de la propriété 7.
Propriété 6. Formules de duplication
cos (2 a) = cos2 a − sin2 a
cos (2 a) = 2 cos2 a − 1
cos (2 a) = 1 − 2 sin2 a
Exemple 7. Sachant que cos
•
π
3
4π
5
=2×
2π
5
cos
2π
5
4π
5
=
√
5−1
,
4
= 2 cos2
calculer cos
sin (2 a) = 2 sin a cos a
4π
5
.
(ceci nous incite à utiliser une formule de duplication car ici on connaît a et on cherche 2 a)
!2
√
√
√
√
5−1
2π
5−2 5 +1
6−2 5 8
−1=2
−1=2×
−1=
− = −1 − 5
5
4
16
8
8
4
3
1re S1
Chapitre V – Trigonométrie
Propriété 7. Formules de linéarisation (conséquences directes des formules de duplication)
cos2 a =
Exemple 8. Calculer cos
•
2×
3π
8
=
3π
4
d’où
3π
8
.
3π
8
> 0 car
3π
8
et
sin2 a =
1 − cos (2 a)
2
(ceci nous incite à utiliser une formule de linéarisation car ici on connaît cos (2 a) et on cherche cos (a))
cos2
or cos
1 + cos (2 a)
2
3π
8
1 + cos (2 ×
=
2
π
∈ 0; 2 donc
cos
3π
)
8
3π
8
1 + cos (
=
2
=+
r
3π
)
4
√
1−
=
2
2
2
=
√
√
2− 2 1 2− 2
× =
2
4
2
√
p
√
2− 2
2− 2
=
4
2
4 Équations trigonométriques
Propriété 8. Soit a un nombre réel,
cos (x) = cos (a) ⇔ x = a + k × 2 π
ou
x = −a + k × 2 π
a
avec k ∈ Z
−a
sin (x) = sin (a) ⇔ x = a + k × 2 π
ou
x = π − a+k ×2π
avec k ∈ Z
π −a
a
Exemple 9. Pour résoudre une équation trigonométrique, on se ramène à une équation du type sin (a) = sin (b) ou cos (a) = cos (b).
À l’aide du cercle trigonométrique, on trouve les solutions dans ] − π ; π] puis on ajoute les multiples de 2 π.
•
◦
◦
•
√
3
2
dans R puis dans l’intervalle ] − π ; π] :
√
π
2π
3
⇔ x = − + k × 2 π ou x = −
+k ×2π
sin (x) = −
3
3
2
Résoudre sin (x) = −
avec k ∈ Z
n
o
L’ensemble des solutions sur R est S = − π3 + k × 2 π ; − 23π + k × 2 π ; k ∈ Z .
n
o
2π
π
L’ensemble des solutions sur ] − π ; π] est S = − 3 ; − 3 .
π
Résoudre cos 2 x + 6 = sin (x) dans R puis dans l’intervalle ] − π ; π] :
π
π
π
cos (2 x + ) = sin (x) ⇔ cos (2 x + ) = cos
−x
remarquez la ruse
6
6
2
π
π
π π
− x + k × 2 π avec k ∈ Z
⇔ 2 x + = − x + k × 2 π ou 2 x + = −
6
2
6 2
π π
π
π
⇔ 3x= − +k ×2π
ou 2 x + = − + x + k × 2 π avec k ∈ Z
2 6
6
2
3π π
3π π
− +k ×2π
ou
x=−
− − x + k × 2 π avec k ∈ Z
⇔ 3x=
6
6
6
6
π
2π
⇔ 3x= +k ×2π
ou
x=−
+ k × 2 π avec k ∈ Z
3
3
2π
2π
π
ou
x=−
+ k × 2 π avec k ∈ Z
⇔ x= +k×
9
3
3
n
o
π
2π
2π
◦ L’ensemble des solutions sur R est donc S = 9 + k × 3 ; − 3 + k × 2 π ; k ∈ Z .
◦
o
n
2π
5π π 7π
.
L’ensemble des solutions sur ] − π ; π] est S = − 3 ; − 9 ; 9 ; 9
4
−
2π
3
π
−3
π
9
−
2π
3