Introduction à la modélisation Modéliser les molécules

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Introduction à la modélisation!
maria barbi!
quelques idées de physique !
pour la modélisation des systèmes biologiques !
Modéliser les molécules biologiques!
distance moyenne entre
macromolécules de
l’ordre de leur taille "
⇒ interactions !
⇒ énergie ! !
(see http://mgl.scripps.edu/people/goodsell)!
ADN : 2 nm diamètre !
énergie!
énergie d’un oscillateur!
EP = ½ K x2 !
Ec = ½ m v2!
x!
X&
énergie!
dans un solide : des oscillateurs couplés!
approximation"
harmonique!
dans une molécule "
(d’eau)!

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dissipation!
mais il y a dissipation… !
(frottement, viscosité)!
où va l’énergie ?!
agitation thermique!
et pourquoi alors ça bouge sans arrêt ? !
mouvement d’agitation thermique d’une molécule"
(simulation)!
température!
• les particules ne sont jamais à repos : elle possèdent de l’énergie "
(cinétique, et/ou potentielle si elles sont liées (solide)) !
• l’énergie dissipée en chaleur est transformée en cette forme d’énergie "
«$désordonnée$»!
• la température est un mesure du degré d’agitation des particules :"
c’est à dire de cette énergie désordonnée!
(gaz)!
théorème d’équipartition de l’énergie!
plus précisément (systèmes à N grand) :!
Théorème d’équipartition de l’énergie!
«$à l’équilibre, chaque degré de liberté quadratique contribue !
à l’énergie moyenne du système par ½ kBT$» !
énergie cinétique de translation : ! < ½ m vx2 > = ½ kBT,!
!!!!!!!!!! < ½ m vy2 > = ½ kBT, …!
énergie cinétique de rotation : ! ! < ½ I ω2 > = ½ kBT,!
énergie potentielle de vibration : ! < ½ K x2 > = ½ kBT, … !
kB = constante de Boltzmann = 1.38 x 10-23 J/K!
T = 27 + 273.1 = 300.1 K !
kBT = 4.1 x 10-21 J$!
approximation"
harmonique…!

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vitesse d’une molécule d’eau!
Estimation vitesse d’une molécule d’eau dans un verre d’eau :!
<½ m v2 > = < ½ m (vx2 + vy2 + vz2)> = 3/2 kBT !
→ √< v2 > = √(kBT/3 m) ~ 200 m/s !
m = 18 u ; 1 u = 1 Dalton = 1/NA = 1.66 10-24 g = 1.66 10-27 kg!
collisions!
taille d’une molécule ~ 0.2 nm!
distance moyenne entre 2 molécules ~(1/densité moléc.)1/3 ~0.3 nm!
vitesse v ~ 200 m/s = dx/dt!
→ temps entre deux collisions dt ~ dx/v ~ 10-12 s = 1 ps!
(1g/cm3)/(M/NA)!
chaleur équilibre thermique!
collisions → transfert d’énergie → équilibre → équipartition"
!!!!! (chaleur) !
conservation mv!
mouvement Brownien!
Les collisions successives génèrent un mouvement désordonné!
des (macro-)molécules :!du solvant : !
Mouvement de sphères (20 nm de diamètre) "
de latex fluorescentes dans de l'eau.!

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mouvement Brownien!
la trajectoire reste désordonnée à toutes les échelles supérieures!
même trajectoire «$échantillonnée$»!
sur 32 pas, 256 pas, and 2048 pas!
séparation d’échelle!
macro-molécule R ~ 20 nm :!
section ~ 400 nm2!
molécule d’eau r ~ 0.2 nm :!
section ~ 0.04 nm2 !
rapport des sections ~ 104!
~ 104 collisions / ps!
entre les molécules d’eau et!
la macro-molécules!
1 collision / τ ~10-16 s !
on peut calculer le temps caractéristique T des fluctuations de"
quantité de mouvement de la macro-molécule : tel que !
<∆(MV)2> ≈ <(MV)2> :!
N <(meauv)2> ~N meau kBT ≈ M kBT .!
on trouve : N = T / τ ~ M/meau ~ (R/r)3 ~ 106 : séparation d’échelle!
!!!! (T ~ 10-10 s) !!
marche aléatoire!
conséquence :!
si on observe le mouvement sur des échelles de temps ∆t >> Τ, !
les vitesses successives sont décorrélées, indépendantes
(direction et module).!
Un modèle approché : marche aléatoire!
x!
t!
vitesses aléatoires!
trajectoire erratique!
(1D)!
∆t&
x(t+∆t)=x(t)+v(t)∆t!
marche aléatoire!
conséquence :!
si on observe le mouvement sur des échelles de temps ∆t >> Τ, !
les vitesses successives sont décorrélées, indépendantes
(direction et module).!
Un modèle encore plus approché : marche aléatoire sur réseau!
x!
t!
∆t!
a!
des pas de longueur unitaire a!

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probabilités!
probabilité d’arriver en x au temps t = !
probabilité de faire n pas vers la droite sur N=t/∆t pas au total,!
avec m = x/a = n–(N-n) = N – 2n, !
! n = (N+m)/2!
P(x,t) = P(n,N) = !
probabilités!
probabilité d’arriver en x au temps t = !
probabilité de faire n pas vers la droite sur N=t/∆t pas au total,!
avec m = x/a = n–(N-n) = N – 2n, !
! n = (N+m)/2!
P(x,t) = P(n,N) = !
loi binomiale loi normale (gaussienne)!
€
N!
n!N−n
( )
!
1
2
#
$
% &
'
(
N
N>>m
) → ) ) 2
πNexp −m2 2N
#
$
%
&
'
(
probabilités!
probabilité d’arriver en x au temps t = !
probabilité de faire n pas vers la droite sur N=t/∆t pas au total,!
avec m = x/a = n–(N-n) = N – 2n, !
! n = (N+m)/2!
P(x,t) = P(n,N) = !
€
N!
n!N−n
( )
!
1
2
#
$
% &
'
(
N
N>>m
) → ) ) 2
πNexp −m2 2N
#
$
%
&
'
(
loi binomiale loi normale (gaussienne)!
largeur :
σ = √2N!
loi normale (gaussienne)!
passage au continu : x = ma, t=N∆t!
P(x,t) = !!!!!!avec !D = a2/2∆t !
!!!!!!!!!! ! coefficient de diffusion !
€
1
4πDt exp −x2 4Dt
$
%
&
'
(
)
la «$largeur$» de P(x,t) augmente avec le temps, son max diminue !
«$largeur$» = σ = √2Dt mesure !
de la distance à laquelle on peut!
trouver la particule au temps t !
€
P(x,t)=1
2π σ
2exp −(x−x0)2
2 σ
2
%
&
'
(
)
*