Centrale Physique PSI 2004 — Corrigé

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Centrale Physique PSI 2004 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Kevin Lewis (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent
Fourmond (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).
Le sujet porte sur l’étude et la caractérisation d’un plasma d’argon créé par une
onde de choc.
• On aborde dans la première partie quelques aspects fondamentaux du comportement d’un plasma. Sous l’hypothèse d’un couplage faible, on établit l’existence
d’un mode propre d’oscillations du plasma. On discute également la validité de
cette hypothèse.
• La deuxième partie étudie une onde de choc se propageant dans le milieu, ce
qui provoque son ionisation partielle. Le modèle d’ionisation adopté suit la loi
de Saha.
• Enfin, la troisième partie présente une méthode interférométrique de mesure de
la densité électronique du plasma créé par l’onde de choc précédente.
Ce problème intéressant, original et peu calculatoire est d’une difficulté moyenne.
Il passe en revue de très nombreuses parties du programme de la filière PSI. Les cours
d’électromagnétisme, de thermodynamique (notions de physique statistique), de mécanique des fluides (bilans), de thermochimie et d’optique ondulatoire sont en effet
nécessaires. Ce type d’énoncé qui nécessite de rédiger proprement de nombreuses
questions parfois proches du cours, tout en étant rapide, est très fréquent au concours
Centrale-Supélec. Il n’est pas indispensable ici de lire la totalité de l’énoncé en détail
dès le début de l’épreuve, car la structure du problème est simple ; les parties sont
relativement indépendantes les unes des autres et sont clairement séparées.
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Indications
Première partie
I.A.2.b On suppose que le système est stationnaire. Écrire l’équation reliant le potentiel électrostatique et la densité volumique de charge pour r 6= 0.
I.A.2.c Utiliser le développement limité du sinus hyperbolique en 0.
I.B.1 L’incompressibilité se traduit par la conservation du volume du fluide.
I.B.2 Analyser les symétries et les invariances. Appliquer le théorème de Gauss à
un volume adapté.
I.B.4 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à un électron en M.
I.B.6 Calculer le libre parcours moyen électron–ion ℓ∗ ∼ 1/(σeff ne ), puis la fréquence caractéristique des collisions électron–ion afin d’effectuer une comparaison.
Deuxième partie
II.A.1 Écrire la composition des mouvements.
II.A.2 Considérer un système fermé. Écrire successivement la conservation de la
masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie totale.
II.B.5 L’énergie interne totale est la somme des énergies internes des constituants.
II.B.8 Écrire la constante d’équilibre de la réaction :
Ar ⇋ Ar+ + e−
Utiliser la relation
d∆r S◦
Cte
=
dT2
T2
Utiliser les questions II.B.1, 2 et 3 et l’égalité
n02
1 − α2
=
ne2
α2
A ne peut pas être exprimé en fonction de puissances entières d’unités : donner la dimension de AT2 −5/2 à la place.
Troisième partie
III.A.1 Montrer que le quotient des normes des forces magnétique et électrique vaut
Fm /Fe = v/c, où v est la vitesse de la particule chargée plongée dans le
champ électromagnétique.
III.A.4 Établir l’équation d’onde puis passer en notation complexe pour déterminer
la relation de dispersion.
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I.
A.
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Quelques généralités sur les plasmas
Étude de l’écart local à la neutralité : longueur de Debye
I.A.1 On suppose avec ces expressions que les populations électronique et ionique
obéissent à une statistique de Boltzmann. Les états d’énergie électrostatique élevée
sont moins probables que les états de plus faible énergie ; on suppose le plasma en
équilibre thermique.
Ep
n(q) = ne exp −
kBT
où Ep = qV est l’énergie potentielle de la particule de charge q dans le potentiel V.
Il est très important de bien voir que la nature du potentiel V(r) n’est
pas liée à l’ion argon, que l’on a simplement pris comme origine du référentiel
d’étude. Au contraire, V(r) est caractéristique du milieu.
Il est également important de remarquer le lien fait entre l’échelle microscopique étudiée ici et l’échelle mésoscopique caractérisée par la densité
volumique ne . Autrement dit, comme on s’intéresse dans la première partie
à des phénomènes microscopiques, on supposera que ne est indépendante de
r, ce qui n’interdira pas par la suite une variation macroscopique de ne .
I.A.2.a En se plaçant toujours à un rayon r non nul, on écrit que la charge totale
est la somme des contributions ionique et électronique :
eV(r) eV(r) ρc (r) = en+ + (−e)n− = e(n+ − n− ) = e ne exp −
− exp
kB T
kBT
soit encore
ρc (r) = −2e ne sh
eV(r)
kBT
I.A.2.b On est dans une situation électrostatique. Ceci implique que l’équation
pour le potentiel se résume à l’équation de Poisson
ρc (r)
∆V(r) +
=0
ε0
2e ne
eV
Ainsi,
∆V(r) −
sh
=0
ε0
kB T
I.A.2.c Dans cette approximation on a, puisque sh x ∼ x,
x→0
2
ρc (r) = −
2ne e V(r)
kB T
2ne e2
V=0
ε0 k B T
soit, en explicitant le laplacien et en remarquant que V ne dépend que de r,
L’équation de Poisson devient
∆V −
1 d2 (rV(r))
2ne e2
−
V(r) = 0
r
dr2
ε0 k B T
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Avec le changement de variable suggéré u(r) = rV(r), il vient
d2 u
2ne e2
(r)
−
u(r) = 0
dr2
ε0 k B T
On vérifie que (ne e2 )/(ε0 k B T) est homogène a l’inverse du carré d’une longueur,
ce qui permet de conclure quant à l’homogénéité de l’équation.
En effet, ne e/ε0 ayant la dimension d’un champ électrique divisé par une
longueur d’après l’équation de Maxwell et Gauss, ne e2 /(ε0 k B T) est de dimension [eE]/([k B T]ℓ), où ℓ est une longueur et [X] désigne la dimension de
la grandeur X. On déduit du principe fondamental de la dynamique que [eE]
est une énergie par unité de longueur ; [k B T] étant une énergie, on conclut.
r
ε0 k B T
On pose donc
λD =
2ne e2
L’équation précédente se réécrit alors
d2 u
1
u(r) = 0
(r) −
dr2
λD 2
r
r
et s’intègre selon
u(r) = A1 exp
+ A2 exp −
λD
λD
r
A1
r
A2
r
ε0 k B T
d’où V(r) =
exp
+
exp −
avec
λD =
r
λD
r
λD
2ne e2
I.A.2.d La condition V(∞) = 0 impose
A1 = 0
Par ailleurs, le potentiel au voisinage de l’origine est imposé par l’ion argon :
e
V(r) ∼
r→0 4πε0 r
e
Ceci implique
A2 =
4πε0
En conclusion, pour r 6= 0,
V(r) =
e e−r/λD
4πε0
r
Le potentiel est donc celui d’un ion argon écranté par les charges environnantes,
l’écrantage se traduisant par la multiplication du potentiel coulombien par le facteur e−r/λD . Ceci permet de comprendre qu’au-delà de quelques longueurs de Debye,
le potentiel de l’ion n’est plus sensible : on dit qu’il est totalement écranté.
On ne perdra pas de vue que cette expression du potentiel n’est valide que
dans l’hypothèse de la question I.A.2.c.
I.A.3 La densité volumique totale s’écrit
2nee2
ε0
V(r) = − 2 V(r)
kBT
λD
En utilisant l’expression du potentiel trouvé à la question précédente,
ρc (r) = −
ρc (r) =
−e e−r/λD
r
4πλD 2
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