Chapitre 1

Chapitre 1
M´ ECANIQUE
1.1. Lois de composition des vitesses et accélérations ★
On considère deux référentiels.
Le premier, noté (R)et lié au repère (O,x,y,z), est qualifié d’absolu.
Le second, noté (R′)et lié au repère (O′,x′,y′,z′), est qualifié de relatif.
On note #– v(M)/R et #– v(M)/R′, d’une part, et #– a(M)/R et #– a(M)/R′, d’autre part,
les vitesses et accélérations d’un point matériel Mdans ces deux référentiels.
1. Étude de la loi de composition des vitesses
1.a. Rappeler la loi de composition des vitesses pour le point M, entre (R)et (R′),
reliant les vitesses :
absolue #– va(M)déf. =#– v(M)/R ;
relative #– vr(M)déf. =#– v(M)/R′;
d’entraînement en Mdu mouvement de (R′)dans (R), notée #– ve(M).
Après avoir rappelé la définition du point coïncident Mc, identifier le terme corres-
pondant à la vitesse de Mcdans (R).
1.b. On étudie le cas particulier où (R′)est en translation (pas nécessairement
uniforme ni rectiligne) par rapport à (R). On note #– v0=#– v(O′)/R. Que devient
#–
ve(M)dans ce cas ? Simplifier alors la loi de composition des vitesses et conclure.
1.c. On étudie maintenant le cas particulier où (R′)est en rotation uniforme, de
vitesse angulaire ω, autour de l’axe (Oz)fixe dans (R)et de vecteur unitaire #– uz.
Expliciter #– ve(M)en faisant intervenir le point H, projeté orthogonal du point M
sur l’axe de rotation (Oz), ainsi que la base cylindrique (#– ur,#– uθ,#– uz)attachée à
l’axe (Oz).
2. Étude de la loi de composition des accélérations
2.a. Rappeler la loi de composition des accélérations appliquée au point Mentre
les deux référentiels (R)et (R′). Cette loi lie quatre termes que l’on prendra soin
de nommer, mais que l’on ne cherchera pas à expliciter à ce stade.
2.b. On se place à nouveau dans le cas particulier de la question 1.b. On définit
#–
a0
déf.
=d#–
v0
dt=#–
a(O′)/R. Expliciter alors l’accélération de Coriolis ainsi que l’accé-
lération d’entraînement.
2.c. Effectuer le même travail dans le cas particulier de la question 1.c. On fera
notamment apparaître le vecteur # – HM et on utilisera le vecteur rotation #– Ω = ω#– uz
ainsi que #– vr(M).
3. Le référentiel (R)étant considéré comme galiléen, on cherche à établir l’expres-
sion de la force d’inertie d’entraînement appliquée au point Mde masse mdans le
référentiel (R′).
3.a. Expliciter la force d’inertie d’entraînement dans le cas correspondant à une
translation pure de (R′)dans (R)(cas de la question 1.b).
© 2014 Pearson France – Physique PC-PC* – Vincent Renvoizé

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Chapitre 1. Mécanique
3.b. Expliciter la force d’inertie d’entraînement dans le cas correspondant à une
rotation pure de (R′)dans (R)(cas de la question 1.c).
Corrigé
1.a. La loi de composition des vitesses entre (R)et (R′)est
#–
va(M) = #– vr(M) + #– ve(M).
Le point coïncident Mcest le point dont la vitesse est nulle dans (R′), c’est-à-dire
#–
vr(Mc) =
#–
0, et situé au même endroit que le point Mà chaque instant, que ce
dernier se déplace ou non.
Attention Différence entre Met son point coïncident Mc
Il ne faut pas confondre Met Mc, son point coïncident : Mest un point matériel
alors que Mcn’est que le point géométrique confondu avec Mà un instant donné.
De ce fait, si # – OM =
# –
OMcà chaque instant, dans tout référentiel où Mse déplace,
#–
v(M)6=#– v(Mc).
En appliquant la loi de composition des vitesses à Mcet en considérant que Mest
confondu avec Mc, on obtient #– va(Mc) = #– ve(Mc)⇒#– va(Mc) = #– ve(M),car la
vitesse d’entraînement ne dépend que du lieu où on la calcule. La vitesse du point
coïncident dans (R)est donc la vitesse d’entraînement en Mdu fait du mouvement
relatif de (R′)par rapport à (R).
1.b. Dans le cas d’une translation de (R′)dans (R), la vitesse dans (R)de tout point
fixe dans (R′)est la même et est identique, par exemple, à #– v(O′)/R. On en déduit
que le champ des vitesses d’entraînement est uniforme,
#–
ve(M) = #– v0⇒#– va(M) = #– vr(M) + #– v0.
1.c. Dans le cas d’une rotation uniforme autour d’un axe fixe dans (R), le point
coïncident Mcdécrit un mouvement circulaire uniforme de centre Het de rayon r=
HM. La vitesse d’entraînement en Mest donc donnée par #– ve(M) = ω#– uz∧
# –
OM,
soit, puisque # – OH est colinéaire à #– uz,#– ve(M) = ω#– uz∧(
# –
OH +
# –
HM) = ω#– uz∧
# –
HM.
En définissant le vecteur rotation #– Ω = ω#– uzou en remarquant que # – HM =r#– ur, on
peut écrire #– ve(M)sous les deux formes
#–
ve(M) =
#–
Ω∧
# –
HM =rω #– uθ.
Attention Non-uniformité de #–
ve(M)
Contrairement au cas d’un mouvement de translation entre (R)et (R′),#– ve(M)
n’est pas uniforme dans le cas d’un mouvement de rotation entre ces deux
référentiels.
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Exercice 1.2. Pendule simple dans un ascenseur
2.a. La loi de composition des accélérations entre (R)et (R′)est
#–
aa(M)
| {z }
accélération absolue
=#– ar(M)
| {z }
accélération relative
+#– ae(M)
| {z }
accélération d’entraînement
+#– ac(M)
| {z }
accélération de Coriolis
.
2.b. Dans le cas d’une translation, pour laquelle #– Ω =
#–
0, l’accélération de Coriolis,
définie par #– ac(M) = 2
#–
Ω∧#– vr(M), est nulle. Tout comme le champ des vitesses
d’entraînement, le champ des accélérations d’entraînement est uniforme et la loi de
composition des accélérations se réduit à
#–
aa(M) = #– ar(M) + #– a0.
2.c. L’accélération d’entraînement se déduit du mouvement circulaire uniforme de Mc
par #– ae(M) = −rω2#– ur, soit #– ae(M) = −ω2# – HM . L’accélération de Coriolis reste
sous sa forme générale #– ac(M) = 2
#–
Ω∧#– vr(M),car il faudrait avoir des informations
supplémentaires sur le mouvement de Mdans (R′)pour expliciter davantage #– vr(M).
3. Quel que soit le mouvement de (R′)dans (R), la force d’inertie d’entraînement sur
un point de masse ms’écrit toujours #– Fie =−m#– ae(M).
3.a. Dans le cas d’une translation de (R′)dans (R), on obtient
#–
Fie =−m#– a0.
3.b. Dans le cas d’une rotation de (R′)dans (R), on obtient
#–
Fie =mω2# – HM .
Remarque La force étant dirigée radialement dans le sens qui l’éloigne de l’axe, on
parle de force axifuge. Ce terme se retrouve dans le langage courant sous la forme de
« force centrifuge », ce qui est cohérent si l’on considère que le centre évoqué ici est
le point H, centre du cercle définissant le mouvement du point coïncident.
1.2. Pendule simple dans un ascenseur ★
Un point Mde masse mest attaché à l’extrémité d’un fil inextensible et sans masse
de longueur ℓ, suspendu au plafond d’une cabine d’ascenseur par une liaison pivot
parfaite d’axe Oy (voir figure 1.2.1). Le pendule simple ainsi constitué peut osciller
librement dans le plan (xOz)autour de l’axe Oy. La cabine est en translation recti-
ligne d’accélération constante #– a0=a0
#–
uzdans le référentiel terrestre RTconsidéré
comme galiléen. On note #– gl’accélération de la pesanteur et θ(t)l’angle entre la
verticale et la direction du fil.
1. Écrire la loi du moment cinétique appliquée à Mdans le référentiel Rde la
cabine et en déduire une équation différentielle vérifiée par θ(t).
2. Donner la pulsation ωainsi que la période Tdes petites oscillations de ce pendule
autour de sa position d’équilibre.
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Chapitre 1. Mécanique
3. Comparer la période TàT0, la valeur qu’elle prend lorsque le référentiel de la
cabine est galiléen. Interpréter le cas particulier où a0=g. Que se passe-t-il si
a0> g ?
x
y
z
#
–
g
M
O
θ
ℓ
#–
a0Fig. 1.2.1. Pendule simple dans un ascenseur.
Corrigé
1. Dans le référentiel de la cabine (non galiléen car en mouvement accéléré par rap-
port au référentiel galiléen RT), le point Mest soumis aux forces suivantes dont on
détermine le moment par rapport à l’axe orienté Oy :
Méthode Moment d’une force par rapport à un axe
Pour calculer le moment scalaire d’une force #– Fpar rapport à un axe orienté ∆,
on détermine d’abord le bras de levier dqui est la distance entre la droite support
de la force et l’axe de rotation (voir figure 1.2.2), puis on écrit M∆(
#–
F) = ±d×F.
La détermination du signe dépend de la tendance qu’a cette force à favoriser une
rotation dans le sens direct par rapport à l’axe orienté (signe « plus », cas de la
figure 1.2.2) ou dans le sens indirect (signe « moins »).
∆
d
#–
F
droite support
de #– F
M
sens direct
autour de ∆
Fig. 1.2.2. Détermination du bras
de levier.
son poids #– P=mg #– uz, dont le bras de levier est ℓsin θ, et qui tend à diminuer
l’angle θlorsque celui-ci est positif (et à l’augmenter lorsqu’il est négatif). On obtient
alors MOy (
#–
P) = −mgℓ sin θ;
la tension du fil, colinéaire à celui-ci, dirigée vers le point O. Le bras de levier et
le moment associé sont nuls ;
la force d’inertie de Coriolis, qui est nulle car la cabine a un mouvement de trans-
lation dans RT;
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Exercice 1.2. Pendule simple dans un ascenseur
la force d’inertie d’entraînement #– Fi.e.=−m#– ae=−m#– a0dont le moment par
rapport à l’axe Oy se calcule comme celui du poids, au signe près,
MOy (
#–
Fi.e.) = +ma0ℓsin θ .
Remarque On peut regrouper les deux forces #– Pet #– Fi.e.pour former le poids
apparent dans la cabine #– P∗=
#–
P+
#–
Fi.e.=m(g−a0)#– uz. Le pendule oscille alors
comme s’il était soumis à une seule force autre que la tension du fil, et dont le moment
par rapport à l’axe Oy est MOy(
#–
P∗) = m(a0−g)ℓsin θ. Cette force est ici de même
direction que le poids mais d’intensité différente : en fonction de la valeur de a0,
une personne présente dans la cabine aura l’impression que la gravité a localement
augmenté (P∗> P ) ou diminué (P∗< P ).
L’application de la loi du moment cinétique par rapport à l’axe orienté Oy donne
dL∆
dt=MOy (
#–
P) + MOy (
#–
Fi.e.), soit, après simplifications,
d2θ
dt2+g−a0 ℓsin θ= 0 .(1.2.1)
2. Dans le cas des petites oscillations, θ≪1rad et donc sin θ≈θ. L’équation (1.2.1)
devient alors d2θ
dt2+g−a0 ℓθ= 0 qui, lorsque a0< g, se résout en θ(t) = Acos (ωt +φ), où
(A, φ), dont la détermination n’est pas demandée ici, dépend des conditions initiales
et où ω=rg−a0
ℓ.La période correspondante est T=2π ω= 2πsℓ g−a0
.
3. Le référentiel de la cabine est galiléen si celle-ci est en translation uniforme dans RT,
soit lorsque a0= 0. La période correspondante est T0= 2πqℓ
g.
Si a0<0(cas où la cabine monte en augmentant sa vitesse ou descend en freinant),
T < T0. La pesanteur apparente est plus forte et les oscillations du pendule sont plus
rapides que dans RT.
Si 0< a0< g (cas où la cabine monte en freinant ou descend en augmentant sa
vitesse), T > T0. La pesanteur apparente est plus faible et les oscillations sont plus
lentes que dans RT.
Si a0=g(cas par exemple où la cabine est en chute libre suite à la rupture,
heureusement très peu probable, du câble qui la retenait), T→+∞: le pendule
s’immobilise même lorsque θ6= 0. Toute valeur de θest une position d’équilibre (on
parle d’équilibre indifférent). Le point Mtout comme une personne se trouvant dans
la cabine se retrouvent en apesanteur : leur poids apparent est nul.
Le cas a0> g sort du cadre de l’étude, car θ= 0 n’est plus une position d’équilibre
et le mouvement pour une situation initiale θ= 0 n’est plus oscillatoire autour de
cette valeur. Le point M« tombe » vers le haut car la pesanteur apparente a changé
de sens. En revanche, un point Mattaché à un fil au sol de la cabine suivrait des
oscillations de période T=2π
ω= 2πqℓ a0−gautour de la verticale ascendante.
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