mecanique : acceleration - Univ

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1 : Définition :
L’accélération caractérise les variations de la vitesse. Dans le langage courant,
c’est une grandeur scalaire, qui traduit les variations de la valeur de la vitesse en fonction
de la date ou de la durée. Comme la vitesse s’exprime en mètre par seconde (m/s ou m.s-
1) et la durée en seconde (s), l’accélération a pour unité le mètre par seconde par seconde
[(m/s)/s ou m.s-2]. Entre deux dates t1 et t2, on peut donc, comme on a défini précédem-
ment une vitesse moyenne, définir une accélération moyenne :
12
12
moy tt
vv
a−
−
=
Exemple : si la vitesse d’un mobile passe de v1 = 5m.s-1 à v2 = 10m.s-1, en 5 se-
condes, l’accélération moyennedu mobile est : amoy = (10-5)/5 = 1m.s-2.
Mais, de même que la vitesse moyenne est une information insuffisante pour carac-
tériser le mouvement d’un mobile, et qu’il est nécessaire de définir un vecteur vitesse, on
va définir un vecteur accélération.
2 : Accélération dans un repère cartésien
Soit un mobile repéré par ses équations horaires x(t), y(t), z(t). De même que le
vecteur vitesse caractérise la variation du vecteur position d'un mobile, le vecteur accélé-
ration traduit la variation du vecteur vitesse :
→→→
→→
→
++=== k
dt²
d²z
j
dt²
d²y
i
dt²
d²x
dt²
OMd²
dt
vd
a
Avec la notation des mécaniciens définie au chapitre vitesse :
→→→→
++= k.zj.yi.xa 
où le double cercle placé au-dessus d’une grandeur indique une dérivée seconde par rap-
port au temps.
MECANIQUE : ACCELERATION

COURS DE MECANIQUE – accélération
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Un mobile dont le vecteur accélération est constant est dit uniformément accéléré.
Exercice résolu
Enoncé :
les équations horaires d’un mobile sont :
x = 2t + 5
y = 0
z = -5t² +3t +12
Déterminez son vecteur vitesse instantanée.
Solution :
Le mouvement se déroule dans le plan Oxz (y = 0 ⇒
⇒⇒
⇒ dy/dt = 0) ; le vecteur vitesse est donc
situé dans ce plan et s’obtient par dérivation des équations horaires x(t) et z(t):
( )
→→→→→→
+−+=+−==+= k310ti2v;310t
dt
dz
;2
dt
dx
;k
dt
dz
i
dt
dx
v
l’accélération s’obtient en dérivant une seconde fois :
→
→→
→
→
→→
→
→
→→
→
−
−−
−=
==
==
==
=k10.
dt
vd
a
alors que la valeur et l’orientation de la vitesse varient toutes deux dans le temps, le vecteur
accélération de ce mouvement est constant (valeur constante de 10m.s-2, direction constante
selon Oz, vers le bas). Ce mouvement est uniformément accéléré.
3 : Accélération dans un mouvement curviligne
Soit un mobile repéré par sa trajectoire et son abscisse curviligne. Au lieu de définir
le vecteur accélération par ses coordonnées cartésiennes,
comme ci-dessus, on préfère alors distinguer (Fig. 1) :
- l'accélération tangentielle, de valeur :
a
dv
dt
d
s
dt
s
T
oo
= = =
²
²
- l'accélération normale, de valeur :
R
²v
aN= ,
où R est le rayon de courbure de la trajectoire.
L’accélération tangentielle traduit les variations de valeur de la vitesse sur le trajet : si elle
est de même sens que la vitesse, le mouvement est accéléré, sinon il est ralenti. L’accélé-
ration normale traduit les variations de direction de la vitesse. Si un mouvement est curvi-
ligne, il existe une accélération normale dans ce mouvement, même s’il est uniforme.
Figure 1

COURS DE MECANIQUE – accélération
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Exercice résolu
Enoncé : un mobile se déplace sur une courbe ; au point P, sa vitesse vaut v = 5m.s-1, et son
accélération normale aN = 10m.s-2 ; quel est le rayon de courbure de la trajectoire au point P ?
Solution :
Puisque R
²v
aN=, on a 52
10
25 ,
a
²v
R
N
=== m.
Conclusion : On peut caractériser certains mouvements par leur accélération:
Mouvement uniforme : l'accélération tangentielle est nulle : aT = 0, donc la
vitesse a une valeur constante le long de la trajectoire. Il peut quand même y avoir une
accélération, mais elle est alors normale à la trajectoire : a = aN.
Mouvement uniformément varié : le vecteur accélération est constant :
a
cons
te
→  →
=
tan