Sujets de bac : Probabilités

Sujets de bac : Probabilités
Sujet n°1 : Sportifs de haut niveau – septembre 1999
Une urne contient quatre boules rouges, quatre boules blanches et quatre boules noires.
On prélève simultanément quatre boules dans l’urne. Les prélèvements sont supposés équiprobables.
1) Calculer la probabilité d’un prélèvement unicolore.
2)
a. Quelle est la probabilité d’un prélèvement bicolore composé de boules rouges et blanches ?
b. Démontrer que la probabilité d’un prélèvement bicolore est 3) Déduire des résultats précédents la probabilité d’un prélèvement tricolore.
4) Quelle est la probabilité d’avoir exactement deux boules rouges sachant que le prélèvement est bicolore ?
Sujet n°2 : extrait de France – juin 2009
Un sac contient 10 jetons indiscernables au toucher : 7 jetons blancs numérotés de 1 à 7 et 3 jetons noirs numérotés
de 1 à 3. On tire simultanément deux jetons de ce sac.
1)
a. On note l’évènement « obtenir deux jetons blancs ». Démontrer que la probabilité de l’évènement
est égale à .
b. On note l’évènement « obtenir deux jetons portant des numéros impairs ». Calculer la probabilité
de .
c. Les évènements et sont-ils indépendants ?
2) Soit la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de jetons blancs obtenus lors de ce tirage
simultané.
a. Déterminer la loi de probabilité de .
b. Calculer l’espérance mathématique de .
Sujet n°3 : extrait d’Asie – juin 2007
Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation. Chaque
jouet produit par l’entreprise est soumis à deux contrôles : d’une part l’aspect du jouet est examiné afin de vérifier
qu’il ne présente pas de défaut de finition, d’autre part sa solidité est testée. Il s’avère, à la suite d’un grand nombre
de vérifications, que :
• 92% des jouets sont sans défaut de finition ;
• parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95 % réussissent le test de solidité ;
• 2 % des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles.
On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note :
• l’évènement : « le jouet est sans défaut de finition » ;
• l’évènement : « le jouet réussit le test de solidité ».
1) Construction d’un arbre pondéré associé à cette situation.
a. Traduire les données de l’énoncé en utilisant les notations des probabilités.
b. Démontrer que c. Construire l’arbre pondéré correspondant à cette situation.
2) Calcul de probabilités.
a. Démontrer que 0,934.
b. Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu’il soit sans défaut de finition. (On
donnera le résultat arrondi au millième)
3) Étude d’une variable aléatoire B. Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 10€,
ceux qui n’ont pas satisfait au test de solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un bénéfice de 5€. On
désigne par B la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté.
a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire B.
b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire B.
Sujet n°4 : Amérique du Nord – juin 2007
Un joueur débute un jeu au cours duquel il est amené à faire successivement plusieurs parties.
La probabilité que le joueur perde la première partie est de 0,2. Le jeu se déroule ensuite de la manière suivante :
• s’il gagne une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,05 ;
• s’il perd une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilité de 0,1.
1) On appelle : l’évènement « le joueur perd la première partie » ; l’évènement « le joueur perd la
deuxième partie » ; l’évènement « le joueur perd la troisième partie ».
On appelle la variable aléatoire qui donne le nombre de fois où le joueur perd lors des trois premières parties.
On pourra s’aider d’un arbre pondéré.
a. Quelles sont les valeurs prises par ?
b. Montrer que la probabilité de l’évènement 2 est égale à 0,031 et que celle de l’évènement
3 est égale à 0,002.
c. Déterminer la loi de probabilité de .
d. Calculer l’espérance de .
2) Pour tout entier naturel non nul, on note l’évènement : « le joueur perd la -ième partie »,
l’évènement contraire, et on note la probabilité de l’évènement .
a. Exprimer, pour tout entier naturel non nul, les probabilités des évènements ! et
! en fonction de .
b. En déduire que ! 0,05 # 0,05 pour tout entier naturel non nul.
3) On considère la suite $ définie pour tout entier naturel non nul par : $ % &.
a. Montrer que $ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b. En déduire, pour tout entier naturel non nul, $ puis en fonction de .
c. Calculer la limite de quand tend vers #∞.
Sujet n°5 : Antilles Guyane – juin 2001
Les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
Un joueur achète 10 euros un billet permettant de participer à un jeu constitué d’un grattage suivi d’une loterie. Il
gratte une case sur le billet. Il peut alors gagner 100 euros avec une probabilité de ( ou bien ne rien gagner.
) désigne l’évènement : « Le joueur gagne au grattage ».
Il participe ensuite à une loterie avec le même billet.
À cette loterie, il peut gagner 100 euros, ou 200 euros, ou bien ne rien gagner.
* désigne l’évènement « Le joueur gagne 100 euros à la loterie » ; * désigne l’évènement « Le joueur gagne 200
euros à la loterie » ; + désigne l’événement : « Le joueur ne gagne rien à la loterie ».
Si le joueur n’a rien gagné au grattage, la probabilité qu’il gagne 100 euros à la loterie est (, et la probabilité qu’il
gagne 200 euros à la loterie est &(.
1)
a. Faire un arbre sur lequel on indiquera les renseignements qui précèdent.
b. Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu’il n’a rien gagné au
grattage. Compléter l’arbre obtenu avec cette valeur.
c. Au bout de chaque branche, indiquer le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie,
déduction faite du prix du billet.
2) On note la variable aléatoire qui représente le gain algébrique total du joueur, après grattage et loterie,
déduction faite du prix du billet. On donne : 90 et 190 (.
a. Montrer que la probabilité que le joueur gagne 100 euros à la loterie, sachant qu’il a gagné 100
euros au grattage, est égale à (.
b. Calculer la probabilité que le joueur ne gagne rien à la loterie, sachant qu’il a gagné 100 euros au
grattage.
c. Déterminer la loi de probabilité de . Calculer l’espérance de .
Correction sujets de bac : Probabilités
Sujet n°1 : sportifs de haut niveau – septembre 1999
1) On tire simultanément 4 boules dans une urne qui en contient 12 donc il y a -
. tirages possibles, soit 495
car -
.
!
!!
00(0&
00
495. Ces tirages sont supposés équiprobables.
Si un tirage est unicolore, cela signifie qu’il ne contient que des boules blanches (-. tirages possibles, soit 1 tirage),
ou que des boules rouges (1 tirage possible) ou que des boules noires (1 tirages possibles). Cela donne donc trois
tirages unicolores sur les 495 possibles.
3
1
12345467 495
165
2)
a. Pour comptabiliser le nombre de tirages bicolores rouges et blancs, on peut utiliser deux méthodes :
tirer 4 boules parmi les 8 rouges et blanches mais retirer les tirages unicolores ou compter le nombre de tirage de 1
boule blanche et 3 boules rouges, puis ajouter les tirages de deux boules blanches et deux boules rouges puis encore
ajouter les tirages de trois boules blanches et d’une boule rouge.
!
000
1ère méthode : -. % 2 !! % 2 00 % 2 70 % 2 68
2ème méthode : -. 0 -. # -. 0 -. # -. 0 -. 4 0 4 # 6 0 6 # 4 0 4 16 # 36 # 16 68
Au final, il y a 68 tirages bicolores rouges et blancs possibles.
68
;4$<7&5=3 495
b. Il y a trois façons de prendre trois couleurs parmi rouge, blanc et noir. Les probabilités de tirages
bicolores avec les couleurs définies seront toutes égales à & d’après la question précédente donc :
68
68
495
165
3) Le tirage est soit unicolore, soit bicolore, soit tricolore.
1
68
96
32
>62345467 1 % 12345467 % 2345467 1 %
%
165 165 165
55
4) Calculons la probabilité d’avoir exactement deux boules rouges et un prélèvement bicolore. Il y a deux
possibilités : soit les deux autres boules sont blanches, soit elles sont noires. Dans les deux cas, le nombre de tirages
possibles est égal à -. 0 -. soit 36 tirages possibles.
36
72
8
2; 2345467 2 0
495 495 55
2; 2345467
8 165
6
?@ABCBDE 2; 0
2345467
55 68
17
2345467 3 0
Sujet n°2 : extrait de France – juin 2009
1)
a. Le nombre de tirages de deux jetons blancs parmi les sept jetons blancs du sac est égale à -., or
!
-. !! 0
21 donc il y a 21 façons de tirer deux jetons blancs.
(!
(0&
Le nombre de tirages total de deux jetons est égal à -(
. or -(
. !! 45.
Les tirages sont équiprobables car les jetons sont indiscernables au toucher donc
21
7
45
15
b. Le nombre de tirages de deux jetons portant des numéros impairs, sachant qu’il y a 6 jetons portant
!
0
des numéros impairs est égal à -. or -. !! 15.
15
1
45
3
c. Calculons . L’événement correspond à « obtenir deux jetons blancs portant des
numéros impairs ». Il y a 4 jetons correspondants à ceci donc il y a -. manières de tirer deux jetons blancs portant
!
des numéros impairs or -. !! 0
6.
6
2
45 15
D’autre part : 0 0 Donc 0 F et les événements et ne sont pas indépendants.
2)
a. A chaque tirage, on peut obtenir 2, 1 ou 0 jetons blancs donc G H0; 1; 2J. Nous avons déjà calculé
2 car ceci correspond à l’événement donc 2 .
Calculons 0 : on ne souhaite pas tirer de jetons blancs, il faut donc tirer deux jetons noirs parmi les 3
présents. Il y a -. possibilités de le faire, soit 3 possibilités.
1
3
0 45 15
La somme des probabilités est égale à 1 donc 1 1 % 0 % 2 1 % % On pouvait aussi raisonner avec le choix de un jeton blanc parmi les 7
O@
0
1
2
présents (7 choix) et le choix d’un jeton noir parmi les trois présents (3
7
7
1
0
O@ choix) et donc il y a 21 possibilités d’où 1 .
15
15
15
b. 0 0 # 1 0 # 2 0 1,5
Sujet n°3 : extrait d’Asie – juin 2007
1) Arbre pondéré
a. 0,92 0,95 0,02
b.
0,02
0,02
1
1 % 1 % 0,92 0,08
4
c.
2)
a. On utilise la formule des probabilités totales car et constitue une partition de l’univers.
# 0,92 0 0,95 # 0,08 0 0,75 0,934
b. K LK LK
(,&0(,&
(,&
M 0,936
3)
a. Le bénéfice est de 10€ si le jouet vérifie les deux tests, donc
10 0,92 0 0,95 0,874
Le bénéfice est de 5€ si le jouet vérifie le test de solidité mais pas celui de finition donc
5 0,08 0 0,75 0,06
Le bénéfice est nul si le jouet ne vérifie pas le test de
10
solidité donc 0 1 % 0,934 0,066
probabilité
0,874
5
0,06
0
0,066
b. 10 0 0,874 # 5 0 0,06 # 0 0 0,066 9,04
Sujet n°4 : Amérique du Nord – juin 2007
1)
a. Le joueur effectue trois parties. Le nombre de défaites est donc un nombre entier compris entre 0 et
3. Donc G H0; 1; 2; 3J
b.
# # 2 0,2 0 0,1 0 0,9 # 0,2 0 0,9 0 0,05 # 0,8 0 0,05 0 0,1
0,018 # 0,009 # 0,004 0,031
3 c.
O@
O@ 0,2 0 0,1 0 0,1 0,002
0
0,722
1
0,245
2
0,031
3
0,002
d.
0 0 0,722 # 1 0 0,245 # 2 0 0,031 # 3 0 0,002 0,313
2)
a. D’après l’énoncé, pour P 1 : QR ! 0,1 et QR ! 0,05.
! 0 QR ! 0 0,1 0,1
0 ! QR ! 1 % 0 0,05 0,05 % 0,05
b. Por P 1, et forment une partition de l’univers des possibles donc d’après la formule des
probabilités totales :
! !1 ! # ! 0,1 # 0,05 % 0,05 0,05 # 0,05
3)
a. Pour P 1 :
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0,05 # 0,05 %
0,05 #
%
%
S % T $
$! ! %
19
19
20 19 20
380 20
19
20 Ceci montre que la suite $ est géométrique de raison . Le premier terme est
(
1
1
1 1
14
$ %
0,2 %
%
19
19 5 19 95
Y
b. Pour tout G UV : $ $ 0 W(X
$ #
0 (RZ[
&
1
14
1
1
0 Y #
19
95 20
19
c. $ est une suite géométrique dont la raison est strictement comprise entre %1 et 1 donc elle
converge vers 0 et comme $ # & pour tout entier strictement positif , on trouve que la limite de est
&
.
Sujet n°5 : Antilles Guyane – juin 2001
1)
a.
b. On souhaite calculer \ +.
* , * et + forment une partition de l’univers d’après l’énoncé donc d’après la formule des probabilités totales :
\ * # \ * # \ + 1. Or d’après l’énoncé, \ * ( et \ * &(. Donc :
1
1
490 % 7 % 1 482
241
%
70 490
490
490
245
c. Voir l’arbre
\ + 1 %
2)
a. On veut montrer que \ * (.
D’après l’énoncé, 190 ( or, à l’aide de l’arbre, 190 ) * # ) * . D’où :
1
49
1
) * 190 % ) * 250 % 50 0 490
1
50
1
\ * 0
1
)
)
500 1
10
50
b. On veut calculer \ +.
D’après l’énoncé, 90 or, à l’aide de l’arbre, 90 ) + # ) * . D’où :
) + 90 % )
\ + )
)
c. Loi de probabilité de :
* 2
49 1
%
0
125
50 70 S 8 % 7 T 0 50 1
1
500 500
1
10
50
O@
%10
241
250
O@ %10 )
+ ) 0 \ + 290 )
* 1 4
4
0 50 5 250
90
2
125
190
1
250
49 241
49 0 241
241
0
50 245 50 0 49 0 5 250
241
2
1
4
%2410 # 360 # 190 # 1160
700
# 90 0
# 190 0
# 290 0
%
250
125
250
250
250
250
14 0 50
14
%
%
%2,8
50 0 5
5
En moyenne, on perd 2,8 euros par billet acheté.
%10 0
290
4
250