DEVOIR 5 : Corrigé

1S1
08/02/2013
DEVOIR 5 : Corrigé
EXERCICE 1
Partie I : Soit V la fonction définie sur R par V ( x) = 4 x 3 − 48 x 2 + 144 x .
1. Etudier les variations de la fonction V sur R.
Dérivée : V’(x) = 12x² – 96x + 144 = 12 (x²
( – 8x + 12)
Signe de la dérivée : On calcule le discriminant ∆ = 64 – 48 = 16
Comme ∆ > 0 , la dérivée a deux racines réelles : x1 =
= 2 et x2 =
=6
Et V’ est positive à l’extérieur des racines, d’où :
Variations de f :
x
–∞
2
f '(x)
+
0
6
–
0
+∞
+
128
f
0
2. Tracer la représentation graphique de la fonction V
Partie II : Dans un carré de côté 12, on découpe dans les quatre angles des carrés de côté x pour construire le
patron d’un pavé droit sans couvercle.
1. Justifier que l’ensemble des valeurs que peut prendre x est l’intervalle [0 ; 6].
La longueur 2x représente ce qu’on enlève sur le côté, il faut donc que 0 ≤ 2 x ≤ 12 ⇔ 0 ≤ x ≤ 6
2. Montrer que le volume du pavé est donné par la formule V(x).
V = Base× Hauteur = (12 − 2 x ) × (12 − 2 x ) × x = ... = V ( x ) .
3. En déduire qu’il existe une valeur de x qui rend le volume maximal. Que vaut alors ce volume ?
V est maximum lorsque x = 2 ; le volume vaut alors 128 cm3.
EXERCICE 2:
1. a.
Soit Ω l'ensemble de tous les tirages. Déterminer le nombre de tirages possibles.
C’est un tirage sans remise, donc on a n possibilités au premier tirage et n – 1 au second, soit card Ω = n(n – 1).
b.
Calculer la probabilité de l'événement A : " les deux jetons sont de couleurs différentes ".
4
Soit l’arbre de probabilités ci-contre :
5
Pour avoir deux jetons de couleurs différentes,
différentes
P(RN) =
D’où : P(A) =
P(A) =
et P(NR) =
R
n
Tirage
1
R
5
1
N
1
R
6
1
N
5
5
N
2.
Le joueur gagne 2 euros s'il réalise A et perd 1 euro dans le cas contraire.
On note X le gain algébrique du joueur.
2. a.
Donner la loi de probabilité de X et calculer E(X).
–1
xi
5
P(X = xi)
D’où : E(X) = –1 ×
b.
×
4
− 5
+
×
−1
(
)
+2×
(
)
2
−6
=
−1
=
10 − 50
( − 1)
− 11 + 50
( − 1)
(
)
=
(
)
Déterminer la composition de l'urne pour que le jeu soit équitable. Conclure.
Il faut, pour que le jeu soit équitable, que E(X) = 0. Ce qui équivaut à :
– n² + 31n – 150 = 0 :
∆ = 31² – 4×(–1)×(–150) = 361
Le discriminant est positif, donc l’équation a deux solutions distinctes :
= 25 et
= 6.
Or le déroulement de l’expérience aléatoire impose d’avoir au moins 7 boules dans l’urne (5 rouges et 2 noires).
Conclusion : L’urne contient 25 boules.
3. a.
Étudier les variations de la fonction f définie sur
( ) = 10
Dérivée :
²
(
)(
(
)
)²
= 10
[ 5 ; +∞ [
par f ( x ) = 10
x−5
x −x
2
.
²
(
)²
Signe de la dérivée : Le dénominateur est strictement positif dans [5 ;+∞[, on étudie alors le signe de –x² + 10x –5.
∆ = 10² – 4×(–1)×(–5) = 80, les racines du numérateur sont 5 + 2√5 et 5 – 2 √5.
( ) est négative à l’extérieur des racines, d’où le tableau de variations :
x
5 + 2√5
5
f '( x )
+
+∞
−
0
√
√
f
0
b.
0
En déduire la ou les valeur(s) de n pour la quelle le joueur a le plus de chances de réaliser A. Préciser la
probabilité correspondante.
On cherche les images par f des deux entiers les plus proches de 5 + 2√5, c'est-à-dire 9 et 10.
f(10) = ≃ 0,556 et f(9) = " =
Conclusion : Si l’urne contient 9 ou 10 boules, la probabilité maximale de l’événement A sera atteinte
et P(A) = ≃ 0,556