Arithmétique

DM n°10 – 1èreS – 2010/2011
Exercice 1
Une urne contient n jetons dont 5 rouges alors que les autres sont verts (n 5).
On prélève successivement et sans remise deux jetons de l’urne au hasard.
1- Dans cette question, on suppose n = 8. Calculer les probabilités des
évènements suivants :
A : « le premier jeton est rouge et le deuxième est vert » ;
B : « un jeton est rouge et l’autre est vert » ;
C ; « les deux jetons sont rouges » ;
D : « les deux jetons sont de la même couleur ».
2- Dans cette question, n désigne un entier quelconque strictement supérieur à
5. On appelle
la probabilité que les deux jetons tirés soient de couleurs
différentes.
déterminer l’entier n pour lequel la probabilité
la valeur de .
est maximale. Préciser alors
Exercice 2
On considère l'équation : x2 + px + q = 0.
Les coefficients p et q sont obtenus en jetant deux dés.
Quelle est la probabilité que l'équation admette deux racines réelles ?
Exercice 3
Pour une mise de 2 €, un joueur choisit un numéro compris entre 1 et 6, lance
deux dés cubiques bien équilibrés et observe combien de fois son numéro est
« sorti ». Le joueur gagne 13 € si son numéro sort sur chaque dé, 5 € s’il
n’apparait que sur un seul et rien sinon. Dans tous les cas, il perd sa mise.
On désigne par X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur, à
l’issue d’un lancer.
1- a- Déterminer la loi de probabilité de X.
b- Calculer l’espérance E(X) et l’écart type σ(X).
c- Interpréter E(X) et indiquer si ce jeu est équitable. Si ce n’est pas le cas,
préciser à combien il faudrait fixer la mise pour qu’il le devienne.
2- L’organisateur envisage de minorer la mise et les deux gains prévus de 1 €.
On désigne par Y le gain algébrique du joueur dans ces nouvelles conditions.
a- Déterminer la loi de probabilité de Y. Calculer son espérance et son écart
type.
b- Comparer avec la situation antérieure et interpréter. Doit-on s’étonner que
l’organisateur ait renoncé à cette modification ?
3- Après réflexion, l’organisateur décide de doubler la mise et les gains du jeu
initial.
a- Z est dans ce cas le nouveau gain algébrique du joueur. Déterminer sa loi de
probabilité et ses paramètres E(Z) et σ(Z).
b- Comparer avec les résultats des questions 1- et 2-, et classer les trois
stratégies dans l’ordre croissant :
 selon le gain moyen du joueur ;
 selon le degré de risque encouru par le joueur.
Exercice 4
On définit deux suites
et
par
et
, puis pour tout
1- Avec un tableur, calculer les vingt premiers termes des ces deux suites.
Quelles conjectures peut-on faire ? (Imprimer et coller votre tableau).
2- Soit
et
pour tout
.
a- Calculer .
b- Montrer que
pour tout
. Qu’en déduit-on pour la suite
?
c- Montrer que la suite
est une suite géométrique.
3- a- Exprimer
et
en fonction de et , puis en fonction de .
b- Démontrer les conjectures faites à la question 1-.