TS3 Révisions du 20/05 (thème : probabilités) Année 2010/2011 Ã9

TS3
Révisions du 20/05 (thème : probabilités)
Année 2010/2011
E XERCICE 1
1.
à !
9
(a) Sortons la boule noire : il y a
tirages 3 boules parmi les 9 restantes. À chacun de ces tirages on adjoint
3
à !
9
le tirage de la boule noire. Il y a donc
tirages différents de quatre boules contenant la boule noire.
3
à !
10
Le nombre de tirages possibles est
tirages. On a donc :
4
¡9¢
9!
2
9! × 4! × 6!
3
3!6!
=
=
p(N) = ¡10
=
¢
10!
3! × 6! × 10! 5
4!6!
4
(b) On a l’arbre suivant :
2
5
3
5
2.
1
2
G
1/2
G
1/6
G
N
N
G
5
6
N et N formant une partition de l’univers, on, d’après la formule des probabilités totales :
2 1 3 1 1
1
2+1 3
=
.
p(G) = p(N) × p N (G) + p(N) × p N (G) = × + × = +
5 2 5 6 5 10
10 10
3
7
(c) D’aptès la question précédente la probabilité de perdre est 1 −
=
.
10 10
1
2
1
1 10 2
p(G) ∩ p(N) 5 × 2
Il faut calculer p G (N) =
= .
=
= 57 = ×
7
5
7
7
p(G)
10
10
3
), le joueur gagne 4 − m euro(s) ;
(a) • Si le joueur gagne (probabilité de
10
2 1 1
• Si le joueur ne gagne pas mais a tiré la boule noire (probabilité de × = ), le joueur gagne ou perd 0
5 2 5
euro ;
3 5 1
• Si le joueur ne gagne pas et n’a pas tiré la boule noire (probabilité égale à × = ), le joueur a « gagné »
5 6 2
−m euro(s).
D’où le tableau de la loi de probabilité du gain X suivant :
X = xi
4−m
0
−m
3
1
1
p (X = x i )
10
5
2
3
1
1 12 − 3m − 5m 12 − 8m
(b) On a E(X ) = (4 − m) ×
+0× −m × =
=
.
10
5
2
10
10
12 3
12 − 8m
⇐⇒ 12 − 87m = 0 ⇐⇒ m =
= = 1, 50 e.
(c) On a E(X ) = 0 ⇐⇒
10
8
2
3. On répète n fois la même expérience aléatoire, de façon indépendante, dans les mêmes conditions. La probabi3
lité d’un succès, pour une épreuve, est
.
10
3
.
X suit une loi binomiale de paramètres n et p =
10
On cherche p(X Ê 1).
µ ¶n
7
p(X Ê 1) = 1 − p(X ≤ 1) = 1 −
.
10
Il faut
résoudre : µ ¶
¶
µ donc
7 n
7 n
> 0, 999 ⇐⇒
< 0, 001 ⇐⇒ 0, 7n < 0, 001 ⇐⇒ n ln 0, 7 < ln 0, 001 (d’après la croissance de la
1−
10
10
ln 0, 001
fonction ln) puis n >
≈ 19, 3.
ln 0, 7
Il faut donc jouer au moins 20 fois.
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TS3
Révisions du 20/05 (thème : probabilités)
Année 2010/2011
E XERCICE 2
Les questions 1. et 2. sont indépendantes
1.
à !
5
(a) Le tirage étant simultané le nombre de tirages est celui de 2 boules parmi 5, soit
.
2
Le nombre ce cas favorables est, les boules vertes étant retirées, égal au nombre de combinaisons de 2
boules rouges choisies parmi 3. On a donc :
¡3¢
p(X = 0) = ¡25¢ =
2
3
= 0, 3
10
¡2¢ ¡3¢
×
2×3
6
(b) On a de même p(X = 1) = 1 ¡5¢ 1 =
=
10
10
2
¡2¢
1
Enfin p(X = 2) = ¡25¢ =
.
10
2
6
1
8
4
3
+1×
+2×
=
= = 0, 8.
10
10
10 10 5
(c) Si les deux boules sont rouges X = 0 et si les deux boules sont vertes X = 2. Ces deux évènements étant
incompatibles, on obtient :
1
4
2
3
+
=
= .
p(A) = p(X = 0) + p(X = 2) =
10 10 10 5
On a donc E (X ) = 0 ×
2.
(a)
3
5
3
2 3
× =
.
5 4 10
p(C) = p(R1 ) × p R1 (V2 ) + p(V1 ) × p V1 (R2 ) =
R2
2/5
V2
3/4
R2
1
4
V2
R1
2
5
On a p(B) = p(V1 ) × p V1 (R2 ) =
3
5
V1
6
3
27
54
3 2 2 3
× + × =
+
=
=
= 0, 54.
5 5 5 4 25 10 50 100
(b) Il faut calculer :
p C (V1 ) =
p (C ∩ V1 )
=
p(C)
2
5
× 34
27
50
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=
3
10
27
50
=
3
50 15 5
×
=
=
10 27 27 9