Équations de Maxwell, formes différentielles et relativité restreinte

Équations de Maxwell, formes différentielles et relativité
restreinte
J. Parizet
6 février 2012
L’invariance des équations de Maxwell dans un changement de variables (c’est à dire de repère),
obtenue à l’aide des formes différentielles liées au champ électromagnétique conduit naturellement
à la forme de Minkowski sur l’espace-temps et donc à la relativité restreinte.
Dans l’espace affine euclidien orienté de dimension trois E3, rapporté à un re-
père orthonormé direct R3(O,⃗ i,⃗ j,⃗ k), un champ électromagnétique Cde vecteurs
(−→ E,−→ B), de classe C2au moins, vérifie les équations de Maxwell1à l’instant tau
point M(x,y,z),
rot−→ E+
∂
−→
B
∂ t=0,div−→
B=0 (1)
et, en supposant le champ dans le vide
rot−→ B− ε
0
µ
0
∂
−→
E
∂ t=
µ
0−→
J,div−→ E=
ρ
ε
0(2)
où (−→ J, ρ )sont les densités de courant et de charge électriques, ε
0,
µ
0)les permit-
tivité électrique et perméabilité magnétique.
Vérifions que ε
0
µ
0est l’inverse du carré de la vitesse de la lumière dans le vide2.
Lorsque −→ J et ρ sont nuls, le champ électromagnétique est une onde. Avec le la-
placien △: rot(rot−→ E) = −−→ grad (div−→ E)−△−→ E , compte-tenu de (1) et (2)
△−→ E−
ε
0
µ
0
∂
2−→
E
∂ t2=0 ou avec le d’alembertien −→
E=0
De manière analogue (ou en changeant −→ E en −→ B ) : −→ B=0.
1selon les notations de Semay et Silvestre-Brac (Relativité restreinte Dunod 2005) page 235
2ibidem page 236
1

Les deux champs de vecteurs se propagent à la vitesse c=1/√ ε
0
µ
0, la vitesse de
la lumière.
Les opérateurs rotationnel, divergence, gradient,... relèvent traditionnellement de
l’analyse vectoriel, mais plus naturellement de la différentiation des formes diffé-
rentielles.
Formes différentielles et analyse vectorielle
Á partir des champs de vecteurs −→ U et −→ V , dépendant éventuellement du temps,
définissons les formes différentielles de degré un et deux
Ω1(−→ U) = Uxdx +Uydy +Uzdz,Ω2(−→ V) = Vxdy ∧dz +Vydz ∧dx +Vzdx ∧dy
et celle de degré trois à partir de la fonction f:Ω3(f) = f dx ∧dy ∧dz.
Remarquons les relations3
Ω1(−→ U)∧Ω1(−→ V) = Ω2(−→ U×−→ V),Ω1(−→ U)∧Ω2(−→ V) = Ω3(−→ U·−→ V)
Supposons ces champs de vecteurs et la fonction indépendants du temps et considé-
rons les dérivées extérieures des formes qu’ils définissent : on retrouve les relations
de l’analyse vectorielle puisque
d f =Ω1(−−→ grad f),dΩ1(−→ U) = Ω2(rot−→ U),dΩ2(−→ V) = Ω3(div−→ V)
ainsi par exemple
dΩ1(f−→ U) = d f ∧Ω1(−→ U) + f dΩ1(−→ U)⇒rot(f−→ U) = −−→ grad f×−→ U+frot−→ U
dΩ2(f−→ U) = d f ∧Ω2(−→ U) + f dΩ2(−→ U)⇒div(f−→ U) = −−→ grad f·−→ U+fdiv−→ U
et dΩ2(−→ U)×−→ V) = dΩ1(−→ U)∧Ω1(−→ V)=dΩ1(−→ U)∧Ω1(−→ V)−Ω1(−→ U)∧dΩ1(−→ V)
s’écrit div−→ U×−→ V=rot−→ U·−→ V−−→ U·rot−→ V.
Si les champs dépendent aussi du temps, la différentiation faire apparaitre les déri-
vées partielles par rapport à celui-ci,
dΩ1(−→ U) = Ω2(rot−→ U)−Ω1
∂
−→
U
∂ t∧dt ,dΩ2(−→
V) = Ω3(div−→ V) + Ω2
∂
−→
V
∂ t∧dt
1. Formes différentielles exprimant les équations de Maxwell
Le champ électromagnétique C(−→ E,−→ B), avec les densités (−→ J, ρ ), définit les formes
différentielles de degré deux et trois
Ω=Ω1(−→ E)∧dt +Ω2(−→ B)
Ω=Ω1(−→ B)∧dt − ε
0
µ
0Ω2(−→
E)
Ω3(−→ J, ρ ) = Ω2(−→ J)∧dt −Ω3( ρ )
Les équations de Maxwell que vérifie le champ s’expriment selon les différentielles
3×désignant le produit vectoriel, ∧le produit extérieur
2

extérieures des deux premières formes
dΩ=0,d Ω= µ
0Ω3(−→
J, ρ )
car avec
dΩ1(−→ E) = Ω2(rot−→ E)−Ω1
∂
−→
E
∂ t∧dt ,dΩ2(−→
B) = Ω3(div−→ B) + Ω2
∂
−→
B
∂ t∧dt
on a
dΩ=Ω2(rot−→ E)−Ω1
∂
−→
E
∂ t∧dt∧dt +Ω3(div−→
B) + Ω2
∂
−→
B
∂ t∧dt
soit dΩ=Ω2rot−→ E+
∂
−→
B
∂ t∧dt +Ω3(div−→
B) = 0 selon (1).
De manière analogue
d Ω=Ω2rot−→ B− ε
0
µ
0
∂
−→
E
∂ t∧dt −
ε
0
µ
0Ω3(div−→
E) =
µ
0Ω3(−→
J,
ρ )selon (2).
Conséquences
•La différentielle extérieure de la différentielle extérieure d’une forme est nulle :
d2 Ω= µ
0dΩ3(−→
J,
ρ ) = 0 ou dΩ3(−→ J, ρ ) = 0 soit
div−→ J+
∂ ρ
∂ t=0 (équation de conservation)
•Une forme extérieure de différentielle extérieure nulle est localement la différen-
tielle extérieure d’une forme extérieure. Puisque dΩest nulle, il existe une forme
de degré un Ω1(−→ A,a) = Ω1(−→ A)−adt telle que Ω=dΩ1(−→ A,a): on en déduit −→ E
et −→ B à l’aide des potentiels vecteur et scalaire −→ A et a
−→
E=−−−→ grad a−
∂
−→
A
∂ t,−→
B=rot−→ A (3)
−→
A et avérifient une équation du second ordre. Á partir de la relation rencontrée
écrite avec le vecteur −→ A : rot(rot−→ A) = −−→ grad (div−→ A)−△−→ A et de l’expression de
rot−→ B
−→ A+
µ
0−→
J=−−→ grad div−→ A+
ε
0
µ
0
∂ a
∂ t
et avec celle de div−→ E
a+
ρ
ε
0=
∂
∂ tdiv−→
A+
ε
0
µ
0
∂ a
∂ t
Si div−→ A+1
c2
∂ a
∂ t=0 (
ε
0
µ
0=1/c2) – jauge de Lorentz –−→
A et avérifient
−→ A+
µ
0−→
J=0,a+
ρ
ε
0=0.
On peut choisir les potentiels de sorte que la condition de Lorentz soit satisfaite
3

en ajoutant à Ω1(−→ A,a)la différentielle d’une fonction convenable : fétant une
fonction de classe C2,Ω1(−→ A,a) + d f peut remplacer Ω1(−→ A,a)et la condition de
jauge de Lorentz est
div−→ A+1
c2
∂ a
∂ t+f=0
2. Changement de variables et équations de Maxwell
Cherchons un changement linéaire de variables χ :(t′,x′,y′,z′)7→(t,x,y,z)conser-
vant les équations de Maxwell, c’est à dire transformant les formes Ωet  Ωen φ
∗Ω
et φ
∗
Ωdéfinies par les mêmes vecteurs de champ, puis interprétons le résultat.
Commençons par un changement de variables spatiales (x,y,z).
a. Changement de variables spatiales
Soit d’abord le changement de deux variables, par exemple
χ :x= λ x′+ µ y′,y′= α x′+ β y′,z=z′
Ce changement correspond à un changement de base du repère de l’espace E3
−→
i′= λ
⃗
i+ α
⃗
j,−→ j′= µ
⃗
i+ β
⃗
j,−→ k′=⃗ k
Les cœfficients des formes χ
∗Ωet
χ
∗
Ωsont les composantes de vecteurs dans cette
base : χ
∗Ω=Ω1(−→
E′)∧dt +Ω2(−→ B′), χ
∗
Ω=Ω1(−→ B′′)∧dt − ε
0
µ
0Ω2(−→
E′′).
Ainsi, avec δ = λ β − αµ et en écrivant Exau lieu de Ex◦ χ ...
χ
∗Ω=Ex(
λ dx′+ µ dy′) + Ey( α dx′+ β dy′) + Ezdz′∧dt′
+Bx( α dx′+ β dy′)∧dz′+Bydz′∧( λ dx′+ µ dy′) + Bz δ dx′∧dy′
On voit apparaitre les vecteurs −→ E′et −→ B′de composantes dans (−→ i′,−→ j′,−→ k′=⃗ k)
E′
x′=
λ
Ex+
α
Ey
E′
y′=
µ
Ex+
β
Ey
E′
z′=Ez
B′
x′=
β
Bx−
µ
By
B′
y′=
λ
Bx−
α
By
B′
z′=
δ
Bz
On peut conduire le même calcul pour expliciter χ
∗
Ωet obtenir les composantes
dans la nouvelle base de −→ E′′ et −→ B′′, mais en remarquant que  Ωse déduit de Ωen
changeant −→ E en −→ B et −→ B en −−→ E/c2on obtient les relations qui donnent −→ E′′ et −→ B′′
B′′
x′=
λ
Bx+
α
By
B′′
y′=
µ
Bx+
β
By
B′′
z′=Bz
E′′
x′=
β
Ex−
µ
Ey
E′′
y′=
λ
Ex−
α
Ey
E′′
z′=
δ
Ez
Pour que χ
∗Ωet
χ
∗(
Ω)correspondent à des équations de Maxwell, c’est à dire
pour que −→ E′′ =−→ E′et −→ B′′ =−→ B′, nécessairement λ = β , α =− µ , δ =1= λ
2+
µ
2.
La trigonométrie circulaire apparait naturellement, et on peut poser
λ = β =cos θ , α =− µ =sin θ
Le changement de repère est donné par la rotation d’angle θ et d’axe issu de l’ori-
4

gine du repère dirigé par⃗ k:
−→
i′=cos θ
⃗
i+sin θ
⃗
j,−→ j′=−sin θ
⃗
i+cos θ
⃗
j,−→ k′=⃗ k
La base (−→ i′,−→ j′,−→ k′) est orthonormée directe ( δ =1).
Les composantes de −→ E′sont celles du champ électrique dans la nouvelle base et
−→
B′exprime −→ B dans cette base : vectoriellement −→ E′=−→ E,−→ B′=−→ B .
Dans cette rotation, avec χ
∗Ω3(−→
J, ρ )et ρ
∗Ω1(−→
A,a)
−→
J′=−→ J,a′=aet −→ A′=−→ A,a=a′
Un changement plus général de variables spatiales doit revenir à une rotation, ne
serait-ce pour exprimer le champ dans une base orthonormée directe. Un calcul
simple permet de le vérifier : si le changement est de la forme
x
y
z
=S
x′
y′
z′
où S =
a1
1a1 2a1 3
a2
1a2 2a2 3
a3
1a3 2a3 3
Puisque l’on est en dimension trois
dx
dy
dz
=S
dx′
dy′
dz′
⇒
dy ∧dz
dz ∧dx
dx ∧dy
=Sc
dy′∧dz′
dz′∧dx′
dx′∧dy′
où Scest la coadjointe de S (ses cœfficients sont les mineurs algébriques des cœf-
ficients correspondants de S).
En considérant les colonnes des vecteurs précédents
E′=tS E, B′=ScB et E′′=ScE, B′′ =tS B
Ainsi tS=Scsoit tS=(det S( S−1d’où det S=(det S)3/det S, étant en dimension trois
et enfin
tS=S−1avec det S=1 : S est une matrice de rotation.
b. Changement de la variable temporelle et d’une variable spatiale
Cherchons maintenant un changement linéaire de variables χ :(t′,x′,y′,z′)7→(t,x,y,z)
transformant les équations de Maxwell en des équations de Maxwell. (x,y,z)sont
les coordonnées du point M dans le repère orthonormé direct R3(O,⃗ i,⃗ j,⃗ k)de E3,
où s’exprime le champ électromagnétique à l’instant t.
Il est commode de plonger E3dans E4rapporté au repère R4(O, τ ,⃗ i,⃗ j,⃗ k)(en ajou-
tant τ à la base de R3) où (t,x,y,z)sont les coordonnées de M – E4est l’espace-
temps.
Commençons par un changement de la variable temporelle et d’une variable spa-
tiale, par exemple
χ :(t= λ t′+ µ x′,x= α t′+ β x′,y=y′,z=z′)
qui correspond au changement de repère
5