1 Théorème de Brauer Théorème 1. Soit K un corps de

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Théorème de Brauer
Théorème 1. Soit Kun corps de caractéristique quelconque. Deux permutations σ1et σ2sont
conjuguées dans Snsi et seulement si P(σ)et P(σ2)sont conjuguées dans GLn(K)ie :
∃τ∈Sntel que σ2=τ◦σ1◦τ−1⇐⇒ ∃ Q∈GLn(K)tel que P(σ2) = QP (σ1)Q−1
Démonstration. :
Etape 1 : Supposons σ1et σ2conjuguées dans Sn. L’application Sn−→ GLn(K)
σ7−→ P(σ)étant un
morphisme de groupe (cf rappels 1,2), pour τ∈Sntel que σ2=τ◦σ1◦τ−1, on a :
P(σ2) = P(τ◦σ1◦τ−1) = P(τ)P(σ1)P(τ−1) = P(τ)P(σ1)P(τ)−1
Ainsi, P(σ2)et P(σ1)sont conjuguées dans GLn(K).
Etape 2 : Supposons maintenant qu’il existe Q∈GLn(K)tel que P(σ2) = QP (σ1)Q−1et
montrons que σ2et σ1sont conjuguées dans Sn.
Méthode 1. Il s’agit de montrer que les décompositions en cycles à supports disjoints de σ1et
σ2sont du même type,ie font intervenir le même nombre de k-cycles pour kparcourant [[1, n]],
les 1-cycles étant les points fixes de la permutation.
Notation 1. Soit dk(σ)le nombre de k-cycles figurant dans la décomposition de σ∈Snen un
produit de cycles à supports disjoints deux à deux.
Objectif de la preuve : Il s’agit donc de montrer que pour tout k∈[[1, k]], dk(σ1) = dk(σ2).
On remarque que pour tout m∈N,P(σm
2) = (QP (σ1)Q−1)m=QP (σ1)mQ−1=QP (σm 1)Q−1
et donc que pour tout m∈N,P(σm
2)et P(σm 1)sont également conjuguées. Intéressons nous aux
cycles des décompositions de σm
1et σm 2et montrons que :
∀m∈N,
n
P
k=1
(k∧m)dk(σ1) =
n
P
k=1
(k∧m)dk(σ2).
[B-R] Lemme 1. Soit ψun k-cycle de Sn. Alors, pour m∈N,ψmest le produit de k∧mcycles à
supports disjoints, tous de longeurs k
k∧m.
Démonstration. ψest conjugué au k-cycle (1,2, . . . , k), il suffit donc de montrer le résultat pour le
k-cyle (1, . . . , k). Soit donc x∈ {1,...k}et notons cmle cycle de la décomposition de (1, . . . , k)m,
contenant x. On souhaite montrer que cmest un cycle de longeur k
k∧mie est d’ordre k k∧m. Alors,
(1, . . . , k)est sans point fixe dans [[1, k]], et cmest sans point fixe vue comme une permutation
de son support, on a donc pour x∈[[1, k]] et i∈N:
ci
m=Id ⇐⇒ ci m(x) = x⇐⇒ (1, . . . , k)mi(x) = x⇐⇒ (1, . . . , k)mi =Id.
(1, . . . , k)étant d’ordre k, par définition de l’ordre d’un élément, ceci est équivalent à :
k|mi ⇐⇒ k
k∧m|iet donc ord(cm) = k k∧m.
Appliquons le lemme précédent. Chaque cycle de longeur kde σ1, se décompose en un produit de
k∧mcycles dans σm
1. Ainsi, le nombre de cycles à support disjoints dans σm 1est
n
P
k=1
(k∧m)dk(σ1)
et de même pour σm
2.
Soit v∈V=Knet soit B= (e1, . . . , en)la base canonique de Kn. Introduisons alors l’action de
Snsur Kndéfinie par :
Sn×Kn−→ Kn
(σ,
n
P
i=1
xiei)7−→
n
P
i=1
xieσ(i)
Pour une permutation φ, on note Vφ={v∈V|φ(v) = v}=Fix(φ).
Lemme 2. dimK(Vφ)est le nombre de cycles dans la décomposition de φen cycles à supports
disjoints, en tenant compte des cycles de longeur 1.

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Démonstration. v=v1e1+. . . +vnenest dans Vφ=Fix(φ)si et seulement si φ(v) = vie
n
P
i=1
λieφ(i)=
n
P
i=1
λiei=
n
P
i=1
λσ−1(i)eice qui par unicité de l’éciture dans la base canonique de
V=Knéquivaut à λi=λjpour tout (i, j)tels que j=σ(i), soit donc λi=λjsi et seulement
si iet jsont dans la même orbite sous l’action de < σ > sur [[1, n]]. Ainsi, notant Ω1,Ω2,...,Ωr
les orbites de l’actions de < σ > sur [[1, n]], tout élément de Vφs’écrit donc :
α1P
i∈Ω1
ei+. . . +αrP
i∈Ωr
ei=α1ω1+. . . +αrωr
et β= (ω1, . . . , ωr)est une famille génératrice de Vφ. Elle est également libre, par liberté de
la base canonique, d’où dimK(Vφ) = r=nombre d’orbites de l’action de <φ> sur [[1, n]] soit
exactement le nombre de cycles à supports disjoints dans la décomposition de φ.
On déduit du lemme ci-dessus que :
dimK(Vσm
1) =
n
P
k=1
(k∧m)dk(σ1)et dimK(Vσm
2) =
n
P
k=1
(k∧m)dk(σ2)
Objectif : Montrons que dimK(Vσm
1) = dimK(Vσm 2). Rappelons que P(σm
2) = QP (σm 1)Q−1et
considérons l’application linéaire bijective :
uQ:Kn−→ Kn
v7−→ Qv
Notre objectif est de montrer que uQest un isomorphisme entre Vσm
1et Vσm 2. Remarquons que
v∈Vσm
1⇐⇒ Qv ∈Vσm 2. En effet :
σm
1(v) = v⇐⇒ P(σm 1).v =v⇐⇒ P(σm 2)(Q.v) = QP (σm 1)Q−1(Q.v) = Q.v ⇐⇒ σm 2(Q.v) = Q.v
Comme Qest inversible, l’application ci-dessus est donc isomorphisme entre les espaces Vσm
1
1et
Vσm
2, d’où
∀m∈N,dimK(Vσm
1) = dim(Vσm 2)et ∀m∈N,
n
P
k=1
(k∧m)dk(σ1) =
n
P
k=1
(k∧m)dk(σ2) (∗)
Notation 2. Pour σ∈Sn, on note C(σ)le vecteur colonne, dont les composantes sont les dk(σ)
pour k∈[[1, n]].
Soit la matrice symétrique A= (ai,j )1≤i,j≤n= (i∧j)1≤i,j≤n. Par (∗), on a donc AC(σ1) =
AC(σ2)et il reste à prouver que A= (i∧j)1≤i,j≤nest inversible pour avoir l’égalité C(σ1) =
C(σ2), ce qui donnera le résultat souhaité.
[Gou] Lemme 3. det(A) = ϕ(1) . . . ϕ(n)6= 0 où ϕdésigne l’indicatrice d’Euler.
Démonstration. Par les propriétés de l’indicatrice d’Euler, i∧j=P
d|i∧j
ϕ(d) = P
d|iet d|j
ϕ(d),
puisque d|i∧jsi et seulement si d|iet d|j. Ainsi, comme i, j ∈[[1, n]], les diviseurs de i∧j
sont à prendre dans [[1, n]] et on a i∧j=
n
P
k=1
ri,ksk,j où
ri,k =(ϕ(k)si k|i
0sinon et sk,j =(1si k|j 0sinon
Notant R= (ri,j )et S= (si,j ), on a donc A=RS avec par constrution :
•Rtriangulaire inférieure de déterminant le produit des termes diagonaux i.e ϕ(1) . . . ϕ(n).
•Striangulaire supérieure de déterminant le produit des termes diagonaux i.e 1.
Ainsi det(A) = det(RS) = ϕ(1) . . . ϕ(n)6= 0.
Conclusion : Ainversible =⇒C(σ1) = C(σ2), ce qui achève de montrer le théorème.

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Rappel 1. Pour Kun corps commutatif, on note B= (e1, . . . , en)la base canonique de Kn. On
définit pour σ∈Sn, l’application linéaire :
bσ:Kn−→ Kn
ei7−→ eσ(i)
Alors, bσ∈GL(Kn)car envoie une base sur une base et on note P(σ)∈GLn(K)la matrice de bσ
dans la base canonique Bde Kn.
Rappel 2. Une matrice de permutation est composée uniquement de 0et de 1avec exactement
un seul 1par ligne et par colonne. De plus si σ∈Sn, on a P(σ) = MatB(bσ)=(ai,j )1≤i,j≤navec
ai,j = 0 si i6=σ(j)et 1sinon.
Rappel 3. Sn−→ GLn(K)
σ7−→ P(σ) = MatB(bσ)est un morphisme de groupe.
Démonstration. Soient σ1, σ2∈Snet montrons que P(σ1◦σ2) = P(σ1)Q(σ2). Or,
•P(σ1) = MatBcσ1= (ai,j )1≤i,j≤ntelle que ai,j = 1 si i=σ1(j)et 0sinon.
•P(σ2) = MatBcσ2= (bi,j )1≤i,j≤ntelle que bi,j = 1 si i=σ2(j)et 0sinon.
Notons P(σ1)P(σ2)=(ci,j )1≤i,j≤noù ci,j =
n
P
k=1
ai,kbk,j . Comme ai,k = 0 sauf pour i=σ1(k)et
bk,j = 0 sauf pour k=σ2(j), on a ai,k bk,j = 0 sauf pour i=σ1(σ2(j)). Ainsi,
ci,j = 0 si j6=σ1(σ2(i)) et ci,j = 1 sinon =⇒P(σ1)P(σ2) = P(σ1◦σ2).
[B-R]
Rappel 4. Tout élément σ∈Snest produit de cycles dont les supports sont deux à deux disjoints
et ceci de manière unique à l’ordre près des facteurs. De plus pour obtenir cette décomposition,
il suffit de faire agir < σ > sur [[1, n]] de manière usuelle.
Démonstration. Soit σ∈Sn, on peut restreindre l’action de Snsur [[1, n]] à< σ > via :
< σ > ×[[1, n]] −→ [[1, n]]
(σk, i)7−→ σk(i)
Soit Ωune orbite de [[1, n]] sous l’action de σ. Comme Ωest l’orbite d’un élément i, il existe un
entier ktel que :
Ω = {i, σ(i), . . . , σk−1(i)}avec σk(i) = i.
et l’orbite de icorrespond à un cycle (i0, . . . , ik−1)tel que i0=iet ij=σj(i)qui est un des
cycles qui intervient dans la décomposition de σen cycles à supports disjoints deux à deux. Ainsi,
la partition de [[1, n]] sous l’action de < σ > est équivalente à la décomposition de σen cycles à
supports disjoints deux à deux.
Rappel 5. Deux permutations σ1, σ2∈Snsont conjuguées si et seulement si leurs décomposi-
tions en cycles à supports disjoints sont du même type, ie dans chaque décomposition apparait le
même nombre de k-cycles pour kparcourant [[1, n]].
Rappel 6. Soit (i1, . . . , iq)un q-cycle de Sn. Alors pour tout permutation σ, on a :
σ◦(i1, . . . , iq)◦σ−1= (σ(i1), . . . , σ(iq)).
Ainsi, pour q≤n, dans Sntout q-cycle est conjugué au q-cycle (1,2, . . . , q), qui pourra servir de
q-cycle référent. De manière générale, deux q-cycles sont toujours conjugués.
Démonstration. Prendre σqui envoie iksur kpour k∈[[1, q]] et définir σsur [[1, n]] \ {i1, . . . , iq}
de sorte qu’elle envoie bijectivement cet ensemble sur [[k+ 1, . . . , n]] (il y a (n−q)! façons de le
faire).
Référence :
•Pour le calcul du déterminant à la fin de la démo, voir Gourdon.