Rappels : les équations de Maxwell

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Cours Electromagnétisme – Ondes
Licence de Physique
Contenu et Méthodologie
Après un rappel des équations de Maxwell dans les milieux et les conditions aux interfaces, nous abordons le phénomène
de propagation et les caractéristiques de l’onde électromagnétique dans un milieu diélectrique non chargé. On étudie ensuite le
comportement de l’onde électromagnétique à l’interface deux diélectriques (l.h.i). Les lois de Snell-Descartes, les formules de
Fresnel et leur interprétation seront établies et discutées. Les aspects énergétiques à l’interface sont analysés à travers le
comportement des coefficients de transmittance et de réflexion. On abordera sous forme d’applications les ondes évanescentes
à travers des exemples exploités notamment en microscopie, effet Tunnel optique et effet Goos-Hanchen. Le comportement
des ondes dans un conducteur et dans un plasma sera analysé prenant en compte les phénomènes d’absorption et de dispersion
ainsi que l’effet de peau. La notion de pression de radiation sera introduite à la fois par un raisonnement ondulatoire et
corpusculaire.
Enfin, la dernière partie de ce cours est dédiée à une introduction de la formulation tensorielle des équations de Maxwell dans
le cadre de la relativité restreinte.
Lois générales de l’électromagnétisme dans les milieux
Préambule
Lorsqu’on s’intéresse à l’action du champ électromagnétique sur une particule chargée, l’interaction est exprimée par la
force de Lorentz )BvE(qF
!
!
!! !"# , fonction des champs vrais
$
%
B,E
!!
. La nécessité d’introduire les champs intermédiaires
$
%
H,D
!!
ne se justifie que lorsqu’on s’intéresse au champ électromagnétique dans la matière polarisée ou aimantée. Le recours à ces
champs intermédiaires est dictée par l’utilisation d’une théorie du champ moyen pour écrire les équations de Maxwell qui
sont les formulations du champ électromagnétique dans un espace mésoscopique où le champ est considéré comme uniforme.
A cette échelle, la matière est considérée comme ayant une répartition continue. Autrement, en explicitant le champ à une
échelle atomique voire moléculaire, il y a une discontinuité de la matière et de même pour le champ.
Ceci revient à formuler les équations de Maxwell de façon similaire dans un milieu polarisé ou aimanté que dans un milieu
dépourvu de ces effets.
En effet, dans une matière polarisée, les charges de polarisations (liés) apparaissent au niveau atomique et moléculaire. Une
description correcte de ces charges nécessite l’expression des champs à l’échelle atomique ou moléculaire. De même dans le
cas de matériaux magnétiques, il existe des courants d’aimantation à l’échelle atomiques ou moléculaires. Pour éviter de
travailler à l’échelle atomique avec toutes les complications introduites par la discontinuité de la matière et donc du champ, les
champs intermédiaires permettent de contourner cette difficulté.
Rappels : les équations de Maxwell
Les équations de Maxwell expriment des relations entre champs moyens uniformes dans un volume mésoscopique et
exprimés en fonction de
$
%
B,E
!!
et
$
%
H,D
!!
.
Ce sont des formulations locales reliant le champ électromagnétique à ses sources.
Les formulations intégrales correspondantes permettent de mieux cerner le contenu de ces équations. Dans le cas des
régimes stationnaires on annule toutes les dérivées par rapport au temps. Le champ électrique et magnétique ne sont plus
interdépendants.
Equation de Maxwell-Gauss
Sa formulation intégrale découle du théorème bien connu de Gauss et vérifié par le champ électrique E
!
:
&& '
#
)S( 0
)S.(int
Q
Sd.E
!
!

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Le flux du champ électrique à travers une surface fermée quelconque est proportionnel à la charge totale intérieure à cette
surface.
La formulation locale de ce théorème constitue l’équation de M-G :
0
tot
)M(Ediv '
(
#
!
C’est une équation qui relie le champ électrique à ses sources (charges de densité tot
(). Cette densité se décompose en :
liélibretotal ("(#(
dont le premier terme représente la densité de charges pouvant donner lieu à un phénomène de conduction et le second terme
traduit des charges de polarisation.
Au programme de 2ième année du DEUG, la densité de charges de polarisation a été définie par :
Pdiv
lié
!
)#( ;
P
!
étant la polarisation (densité volumique de dipôles électriques induits ou permanents).
Dans le cas d’un métal, la densité de charges libre dans un volume mésoscopique est : )" ("(#(libre et comporte aussi bien
les charges positives des noyaux que celles négatives des électrons de conduction
Ainsi l’équation de M-G peut être réécrite sous la forme :
libre0 )PE(div (#"' !!
On introduit le vecteur déplacement électrique ou induction électrique :
#D
!
PE
0
!! "'
L’utilisation de ce vecteur permet de ne plus se préoccuper de la réponse du milieu à l’action du champ électromagnétique.
L’équation de Maxwell-Gauss est donc formulée dans le cas général sous la forme :
libre
Ddiv (#
!
Unité de l’induction électrique D : C.m-2
Equation de Maxwell-Ampère (M-A)
Sa formulation intégrale découle du théorème d’Ampère exprimé en fonction du champ magnétique et en régime statique par:
&*#
)C(
Id.B "
!
!
(C ) étant un parcours fermé orienté, * la perméabilité magnétique du milieu et I le courant dans une boucle fermée.
En régime variable, il faut considérer les courants de déplacements et si le milieu comporte aussi bien des densités liées au
courant de conduction , de polarisation ou d’aimantation, la formulation locale de l’équation de M-A s’écrit :
t
E
jBrot 00tot0 +
+
*'"*#
!
!!
t
E
0+
+
'
!
est homogène à une densité de courant « densité de courant de déplacement. Ce dernier est négligeable dans un milieu
conducteur.
Conséquence de l’équation M-A
0)
t
E
j(div)Brot(div 00tot0 #
+
+
*'"*#
!
!!
permet d’établir l’équation de conservation de la charge : 0
t
jdiv tot
tot #
+
(+
"
!
.
Les grandeurs 00,'* sont relatives au vide et la densité de courant total s’exprime par :
.aimliélibretot jjjj
!!!! ""#

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La première densité de courant est relative au courant de conduction du à des charges libres. Le second terme correspond à la
densité de courant de polarisation défini par :
t
P
jlié +
+
#
!
!
relation issue de l’équation de conservation du type 0
t
jdiv lié
lié #
+
(+
"
!
.
Le troisième terme se manifeste lorsque le milieu possède une aimantation d’intensité J
!
(densité volumique de moments
magnétiques) tel que :
Jrotjaim
!! #
Le principe consiste à assimiler un moment magnétique )m( ! à celui d’une boucle de courant d’intensité i tel que sim !! #, s étant
l’aire de la boucle de courant.
L’équation de M-A peut être ré écrite sous la forme :
$%
PE
t
jJ
B
rot 0libre
0
!!!!
!
"'
+
+
"#
,
,
-
.
/
/
0
1)
*
De la même façon que pour l’équation M-G, on s’affranchit de la réponse du milieu en utilisant le vecteur excitation
magnétique H
!
:
J
B
H
0
!
!
!)
*
#
et on écrira l’équation de M-A sous la forme :
t
D
jHrot libre +
+
"#
!
!!
La dimension de H
!
est A.m-2
Equation de Maxwell-Flux (M-Flux)
Elle traduit la conservation du flux de B
!
et s’écrit : 0Bdiv #
!
équation qui exprime une propriété intrinsèque du champ B
!
sans
aucune référence au milieu.
Equation de Maxwell-Faraday (M-F)
Sa formulation découle de la relation de Faraday à la base de l’induction électromagnétique :
dt
d
d.Ee
)C(
eurelectromotinduit.m.e.f
2
)## &"
!
!
.
L’utilisation du théorème de Stokes et la permutation de la dérivation temporelle et l’intégration spatiale ( valable lorsque que
Surface et Contour sont fixes dans un repère galiléen) permet de déduire l’équation de M-F s’écrit :
t
B
Erot +
+
)#
!
!
C’est aussi une équation qui exprime une relation intrinsèque entre les champs sans aucune référence au milieu.
Récapitulatifs des Equations de Maxwell
Equations intrinsèques
$
%
B,E
!!
Equations dépendantes du milieu )H,D(
!!
M-Flux 0Bdiv #
! M-G libre
Ddiv (#
!
M-F t
B
Erot +
+
)#
!
! M-A t
D
jHrot libre +
+
"#
!
!!