Chapitre 4 : Variables aléatoires `a densité I

Chapitre 4 : Variables al´eatoires `a densit´e
I - G´en´eralit´es
1. Int´egrales g´en´eralis´ees.
a) G´en´eralis´ee en +∞.
Soit fune fonction continue sur IR. On d´efinit sous r´eserve d’existence Z+∞
0
f(t)dt comme
la limite limb→+∞Zb
0
f(t)dt.
Exemple : f(t) = exp(−t). On obtient Zb
0
f(t)dt =−exp(−t)b
0= 1 −exp(−b) qui tend
vers 1.
On en conclut que Z+∞
0
exp(−t)dt = 1.
Cela repr´esente l’aire totale sous la courbe de 0 `a +∞.
Contre exemple : f(t) = 1
√t+1 . On obtient
Zb
0
f(t)dt =2√t+ 1b
0´egal `a 2√b+ 1 −2 qui tend vers +∞.
Par cons´equent, l’int´egrale n’existe pas.
On utilisera plus loin la notation Z+∞
−∞
f(t)dt qui est sous r´eserve d’existence
Z0
−∞
f(t)dt +Z+∞
0
f(t)dt.
b) G´en´eralis´ee en un point o`u fposs`ede une limite `a gauche infinie.
Soit fune fonction continue sur IR+
∗telle que limt→0+ f(t) = +∞. On d´efinit sous r´eserve
d’existence Z1
0
f(t)dt comme la limite lima→0+ Z1
a
f(t)dt.
Exemple : f(t) = 1
√t. On obtient Z1
a
f(t)dt =2√t1
a´egal `a 2 −2√aqui tend vers 2.
Par cons´equent, l’int´egrale g´en´eralis´ee Z1
0
f(t)dt vaut 2.
Cela repr´esente l’aire totale sous la courbe de 0 `a 1.
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Contre exemple : f(t) = 1
t. On obtient Z1
a
f(t)dt =ln(t)1
a´egal `a −ln(a) qui tend vers
+∞. Par cons´equent, l’int´egrale n’existe pas.
2. Fonctions continues par morceaux au sens g´en´eralis´e :
D´efinition : Il existe un nombre fini (´eventuellement nul) de r´eels a1< .... < antels que
fest continue sur ] − ∞, a1[, .., ]ai, ai+1[, ..., ]an,+∞[
fposs`ede une limite `a droite et `a gauche (´eventuellement infinies) en chacun des points
ai.
On utilisera plus loin la notation Z+∞
−∞
f(t)dt qui repr´esentera l’aire totale sous la courbe
de f. Elle se calcule en ajoutant les diverses int´egrales g´en´eralis´ees
Zai+1
ai
f(t)dt,Za1
−∞
f(t)dt et Z+∞
an
f(t)dt.
Exemple fondamental admis
On trouve Z+∞
−∞
exp(−t2/2) dt =√2π.
3. Densit´es de probabilit´e.
♥D´efinition : Soit pune fonction continue par morceaux au sens g´en´eralis´e. pest une
densit´e de probabilit´e ssi les deux conditions suivantes sont v´erifi´ees :
a) En tout point tdu domaine de d´efinition p(t)≥0.
b) Z+∞
−∞
p(t)dt = 1.
Remarque : a) est l’analogue du pk≥0 du cas discret.
La condition de normalisation b) est l’analogue du Pn
k=1 pk= 1 du cas discret.
Exemples
♥Densit´e uniforme sur un intervalle [a, b] avec a < b.
C’est la fonction t−→ 1
b−a1l[a,b](t).
♥Densit´e exponentielle de param`etre θ > 0.
C’est la fonction t−→ θexp(−θt)1lIR+(t).
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♥Densit´e gaussienne centr´ee r´eduite.
C’est la fonction
t−→ 1
√2πexp(−t2
2).
Rappel : cette fonction d´ej`a vue dans le chapitre pr´ec´edent ne poss`ede pas de primitive
simplement calculable.
4. Variables al´eatoires `a densit´e.
♥ ♥ D´efinition et formule fondamentale 4.
Soit pune densit´e de probabilit´e. On dit qu’une variable al´eatoire Xposs`ede la densit´e de
probabilit´e pssi pour tous les r´eels α≤βon a la formule :
IP(α≤X≤β) = Zβ
α
p(t)dt.
Cons´equence 4.1 : si α=β, on trouve pour tout α,IP(X=α) = 0. Ce qui est
totalement diff´erent de la situation du chapitre II.
Comme [α, β] est la r´eunion disjointe ]α, β[, {α}et de {β}, on obtient IP(α≤X≤β) =
IP(α < X < β) + 0 + 0, donc dans ce chapitre, on peut remplacer les in´egalit´es larges par
des in´egalit´es strictes. Donc pour tout intervalle I, IP(X∈I) = RIp(t)dt.
Les variables al´eatoires `a densit´e font partie de la famille des variables continues par
opposition aux variables al´eatoires discr`etes du chapitre 2.
♥Exemple et d´efinition
On dit que Xposs`ede la loi uniforme sur [a, b] avec a < b ssi Xposs`ede la densit´e de
probabilit´e uniforme sur [a, b].
Ce qui donne par exemple si a= 0, b= 2, pour I= [1,1.5], IP(X∈I) = 1
2Z1.5
1
dt =1
4.
5. Fonction de r´epartition.
Pour simplifier la pr´esentation des calculs comme dans l’exemple pr´ec´edent, on se sert de
la fonction de r´epartition.
♥D´efinition : La fonction de r´epartition de la variable al´eatoire Xde densit´e de proba-
bilit´e pest la fonction de IR dans IR
x−→ IP(X≤x) = F(x).
(C’est la mˆeme d´efinition qu’au chapitre II).
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♥ ♥ (Seconde) formule fondamentale 5.1
Si αet βsont deux r´eels tels que α≤β, IP(α≤X≤β) = F(β)−F(α).
Exemples :
a) Si Xest de loi uniforme sur [a, b] avec a < b, on trouve :
si x < a,F(x) = 0,
si a≤x≤b,F(x) = 1
b−a(x−a),
si x > b,F(x) = 1.
On trouve bien le r´esultat du paragraphe pr´ec´edent, si a= 0 et b= 2, IP(1 ≤X≤1.5) =
F(1.5) −F(1) = 1
4. C’est bien sˆur l’aire du rectangle hachur´e sous le graphe de la densit´e
p.
b) Si Xest de loi exponentielle de param`etre θ > 0,
pour x < 0, F(x) = 0,
pour x≥0, F(x) = −exp(−θt)x
0= 1 −exp(−θx).
c) La fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire gaussienne centr´ee r´eduite n’est pas
la fonction Φ du chapitre III qui figure dans les tables. Il manque le morceau de −∞ `a 0
de surface 1
2.
Donc Φ(x) = 1
2+ Ψ(x) = Rx
−∞ p(t)dt.
Alors Ψ(x) = Φ(x)−Φ(0) = IP(0 ≤Z≤x) si x≥0 et Ψ(x) = IP(x≤Z≤0) si x≤0.
6. Propri´et´es des fonctions de r´epartition.
Si Fest la fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire X`a densit´e alors,
•Fest croissante (au sens large)
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•limt→−∞ F(t) = 0 et limt→+∞F(t) = 1.
•Fest continue en tout point.
Sauf aux points `a probl`emes de p,Fest d´erivable et F′(t) = p(t).
MORALIT´ E : ON D´ ERIVE LA FONCTION DE R´ EPARTITION,
MAIS ON INT` EGRE LA DENSIT´ E DE PROBABILIT´ E.
7. M´ethode des fonctions de r´epartition
Soient une fonction num´erique φet une variable al´eatoire Xqui poss`ede une densit´e de
probabilit´e p. On d´efinit la variable al´eatoire Y=φ(X).
On veut savoir si Yposs`ede une densit´e de probabilit´e et la calculer le cas ´ech´eant.
Ce probl`eme g´en´eral d´epasse largement le niveau de ce cours. De plus, mˆeme si Yposs`ede
une densit´e de probabilit´e, il n’y a pas de formule simple pour la trouver. Nous allons nous
contenter d’exposer une m´ethode, qui repose sur l’utilisation des fonctions de r´epartition.
Elle permet de traiter un certain nombre d’exemples simples.
Premier exemple. Supposons que φest une fonction affine x−→ ux +v,uet v´etant
deux constantes r´eelles.
Proposition 7.1. a) si u > 0,Y=uX +vposs`ede la densit´e de probabilit´e qtelle que
x−→ q(t) = 1
upt−v u.
b) si u < 0,Y=uX +vposs`ede la densit´e de probabilit´e qtelle que
x−→ q(t) = −1
upt−v u.
c) si u= 0,Y=vvariable al´eatoire constante ne poss`ede pas de densit´e de proba-
bilit´e. Si c’´etait le cas, d’apr`es le corollaire 4.1 avec a=b=von aurait la contradiction
IP(Y=v) = 0 = 1.
Preuve du a)
Soit Gla fonction de r´epartition de Y: par d´efinition, pour tout nombre r´eel G(x) =
IP(Y≤x) = IP(uX +v≤x).
En raisonnant sur les valeurs num´eriques des variables al´eatoires, on trouve que uX +v≤x
´equivaut `a X≤x−v
u.
Donc G(x) = IP(X≤x−v
u). Posons z=1
u(x−v).
Par d´efinition de la fonction de r´epartition Fde X, on a F(z) = IP(X≤z) en appelant z
la variable muette. Finalement IP(Y≤x) = G(x) = F(1
u(x−v)).
On sait qu’en dehors d’un nombre fini de points `a probl`eme, la fonction Fest d´erivable de
d´eriv´ee p.
On d´erive la compos´ee Gdes fonctions x−→ z=1
u(x−v) et de z−→ F(z).
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