Cours : L`oscillateur mécanique
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BTS BTP 2 ème année Les oscillateurs mécaniques 1 Introduction : l'étude des oscillateurs mécaniques fait partie de la mécanique vibratoire. Cette partie de la physique étudie les vibrations dans les solides, les fluides et dans le vide. • Les vibrations dans les solides sont importantes car elles peuvent donner lieu à des ruptures des structures et elles expliquent aussi le phénomène de propagation des sons. • Les vibrations dans les fluides amènent naturellement à l'acoustique. • Les vibrations dans le vide s'appliquent aux phénomènes lumineux et à la propagation de la chaleur par rayonnement. -I- Vibrations et oscillations : Définition : Une vibration mécanique ou une oscillation mécanique correspond à un déplacement de la matière autour d'une position d'équilibre. Remarques :1) Lorsque ce déplacement est rapide, on parle de vibration, lorsqu'il est plus lent, on parle d'oscillation mas la limite n'est pas très nette. 2) La matière se déplace localement, mais il n'y a pas de déplacement global. 3) Une particule qui vibre va pousser ses voisines et les faire vibrer à leur tour, il y a propagation de la vibration aux autres points de la matière. Le déplacement du phénomène d'un point du système à un autre point du système s'appelle une onde mécanique. Les vibrations et les oscillations sont des phénomènes périodiques. Définition : Un phénomène périodique est une répétition de séquences identiques à intervalles de temps réguliers. -II- Définitions liées aux phénomènes périodiques : Définitions Nom Unité Symbole Formule Signification T T=1/f Durée d'un motif (d'une séquence) Période seconde f ou N f=1/T Nombre de motifs en 1 seconde fréquence Hertz Position la plus éloignée de l'équilibre xmax amplitude mètre Exemples n°1 : Un pendule est écarté de 2 cm de sa position d'équilibre puis lâché sans élan. Au bout de 0,3s il arrive à la position opposée. Quelle est la période des oscillations, leur fréquence et leur amplitude. Exemplesn°2 : L'extrémité d'un ressort est étirée de 5 cm puis lâchée. Elle effectue 2,5 allers-retours en une seconde. Déterminez la période, la fréquence et l'amplitude des oscillations. Remarques :1) Pour des mouvements rapides, la fréquence est plus parlante. Pour des mouvements lents, la période est plus pratique. 2) Dans cette partie, on considère que l'amplitude reste constante mais en réalité, l'amplitude diminue au cours du temps, on dit qu'il y a un amortissement. -III- Equation horaire du mouvement d'un point. A- Observations : Si l'on produit un mouvement de va-et-vient avec la pointe d'un crayon sur une feuille de papier, on peut dire que la pointe oscille. Si la feuille de papier se déplace à vitesse constante alors une courbe en forme de sinusoïde se trace sur le papier. Le mouvement de la feuille est une façon de matérialiser le temps qui s'écoule et la courbe obtenue correspond à la position x de la pointe du crayon en fonction du temps, on la note x(t). BTS BTP 2 ème année Les oscillateurs mécaniques 2 Définition : x(t) est l'équation horaire de la position du point qui oscille. B- Expression mathématique de l'équation horaire : On montre que x(t) peut s'écrire : x(t) = xmax sin(ω.t+ϕ) Définitions : Nom amplitude Symbole xmax unité mètre pulsation ω phase ϕ radian par seconde radian formules signification Position la plus éloignée de l'équilibre. ω= 2π/T=2πf Grandeur qui convertit une durée en angle. Grandeur qui dépend du départ de l'enregistrement. Exercice n°1 : Si on considère qu'on enregistre les oscillations décrites au II au moment où on lâche l'objet, quelle est l'équation horaire de chaque mouvement? Exercice n°2 : À quel moment aurait-on du commencer l'enregistrement pour avoir une phase nulle? Même question pour avoir ϕ = π/2 ϕ = π ϕ= -π/2 -IV- Energie associée à une oscillation : A- Equations horaires de l'énergie : Une oscillation, comme tous les mouvements, ne se produit que si le système possède de l'énergie. Cette énergie se trouve sous deux formes : L'énergie potentielle Ep due à la déformation locale du solide. L'énergie cinétique Ec due à la vitesse du point qui oscille. Ep (t) = 0,5. k. x(t)2 Ec (t) = 0,5 m v(t)2 k est une constante liée à la déformation du système (en Newton par mètre) x(t) est la position du point qui oscille ( en mètre) m est la masse du point qui oscille (en kilogramme) v(t) est la vitesse du point ( en mètre par seconde) B- Equation horaire de la vitesse : La vitesse v(t) est la fonction dérivée de x(t). Si x(t) = xmax sin(ω.t+ϕ) alors on montre que v(t) = xmax.ω cos(ω.t+ϕ) BTS BTP 2 ème année Les oscillateurs mécaniques 3 C- Energie totale du système : On peut exprimer les énergies potentielle et cinétique en fonction du temps : et Ec = 0,5.m.[xmax ω cos(ω.t+ϕ)]2 Ep = 0,5.k.[xmax sin(ω.t+ϕ)]2 L'énergie mécanique du système due aux oscillations est donc la somme de ces deux énergies : Eméca = Ep + Ec On voit sur l'exemple suivant que lorsque Ep diminue, Ec augmente et le calcul montre que s'il n'y a pas d'amortissement Eméca est constante en fonction du temps Eméca = Epmax = Ecmax Exemple :(exemple n°1 du II) : Un pendule est écarté de 2 cm de sa position d'équilibre puis lâché sans élan. Au bout de 0,3s il arrive à la position opposée. Représentez la position, la vitesse et les énergies potentielle et cinétique pour un enregistrement qui débute lorsqu'on lâche le pendule. BTS BTP 2 ème année Les oscillateurs mécaniques 4 D- Amortissement du mouvement : L'étude précédente suppose que l'amplitude du mouvement ne change pas au cours du temps. Pourtant nous savons que cette amplitude va diminuer et que l'oscillation va s'arrêter naturellement au bout d'un certain temps. Un système oscillant réel est toujours amorti. L'amortissement correspond à une perte de l'énergie totale du système. Cette énergie est dissipée sous forme de chaleur bien que l'effet soit trop faible pour être remarqué. D'un point de vue physique, l'amortissement se traduit par une diminution de l'amplitude. On a alors deux cas de figure : • L'amortissement est modéré et l'on observe plusieurs oscillations : On a des oscillations pseudopériodiques. • .L'amortissement est très important et le système n'a pas suffisamment d'énergie pour faire un aller-retour : on a un régime apériodique et on n'observe plus d'oscillations. Remarque : À la limite entre le régime pseudopériodique et le régime apériodique on a le régime critique. Exemples : Régime pseudo-périodique amorti. Régime apériodique. -V- Comportement des oscillateurs mécaniques. A- Période propre d'un oscillateur : Définition Un oscillateur qui oscille naturellement a toujours la même période : c'est sa période propre. La période propre d'un oscillateur dépend uniquement des caractéristiques physiques de cet oscillateur. BTS BTP 2 ème année Les oscillateurs mécaniques Exemple n°1 : Le pendule élastique : Une masse m est suspendue à un ressort. Si on écarte l'"extrémité du ressort de sa position d'équilibre, la masse se met à osciller avec une période m k k : constante de raideur du ressort ( en newton par mètre). m : masse suspendue au ressort (en kilogramme) T = 2π Exemple n°2 : Le pendule pesant : Une masse est suspendue à un fil long et fin. Si on écarte le fil de l'horizontale, l'ensemble va osciller avec une période : T = 2π L g L : Longueur du fil (en mètre). g= 9,81 N/kg : Constante de pesanteur. B- Amortissement fluide d'un oscillateur. L'oscillateur se déplace dans un fluide, par exemple l'air, qui va provoquer des frottements entraînant une perte d'énergie donc un amortissement. La force de frottement f doit s'opposer à la vitesse v et sa valeur est donnée par la formule : f(t)=δ.v(t) δ est le coefficient d'amortissement (en kilogramme par seconde) On montre que son effet fait diminuer l'amplitude des oscillations suivant la formule : xmax(t)= xmax 0e − δt 2m xmax (t) = xmaxo.e -δ.t/2m = xmaxo.e -t/τ τ Remarque : On note τ = 2m/δ (en seconde) le temps de relaxation de l'oscillateur. L'expression de l'équation horaire de la position est alors : τ x(t) = xmaxo.e-t/τsin(ω.t+ϕ) 5 BTS BTP 2 ème année Les oscillateurs mécaniques C- Oscillations forcées : Tous les solides sont capables d'osciller à leur fréquence propre s'ils sont sollicités. Ce phénomène peut être voulu et contrôlé, par exemple lorsqu'on pousse une balançoire, mais il peut être produit de façon fortuite et peut occasionner des gènes voire des dégâts. Le 7 novembre 1940, le pont de Tacoma Narrows se met à osciller sous l'action du vent, un des câbles lâche et le pont s'effondre. Lorsqu'un corps qui oscille (l'excitateur) est en contact avec un autre corps (le résonateur), il fait osciller ce deuxième corps. Le phénomène est d'autant plus important que les périodes propres des deux oscillateurs sont proches. Lorsque les deux périodes sont égales, l'amplitude du résonateur peut prendre de très grandes valeurs, surtout si l'amortissement est faible, on dit qu'il y a résonance. • Dans le cas de frottements importants, l'amplitude du résonateur ne prend jamais de grandes valeurs, on dit que la résonance est floue. • Dans le cas de frottements plus faibles la résonance est aiguë amplitude du résonateur résonance aiguë résonance floue fréquence de l'excitateur fréquence propre du résonateur 6 BTS BTP 2 ème année Les oscillateurs mécaniques 7 Travaux pratiques : Étude de la période propre de quelques oscillateurs mécaniques. Matériel : • Deux ressorts de caractéristiques différentes. • Une boîte de masses marquées. • Une potence. • Une règle. • Une série de fils de différente longueur. • Un chronomètre But : Vérifier la formule donnant la période propre d'un oscillateur mécanique. -I- Étude du pendule élastique : A- Détermination de la constante de raideur du ressort : • On suspend une masse m à un ressort, celui-ci s'allonge sans osciller. • On mesure l'allongement ∆L (différence de longueur) lorsqu'il est au repos. • La constante de raideur s'obtient par la formule : k = m.g/ ∆L Pour chaque ressort, calculez la valeur moyenne de k à partir de 3 mesures différentes, par exemple: masse en kg k en N/m ∆L en m 0,050 0,100 0,150 B- Vérification : Faire osciller le système. Mesurer le temps nécessaire pour obtenir 10 oscillations. En déduire la période propre To de l'oscillateur. Comparer avec la valeur théorique : m T = 2π k Ressort période propre théorique période propre expérimentale Ressort n°1 Ressort n°2 -II- Le pendule pesant Fabriquer un pendule pesant avec plusieurs masses différentes et vérifier qu'on obtient à chaque fois la même valeur pour la période propre. Mesurer la période propre pour des pendules de longueur différente. Comparer avec la valeur théorique : T = 2π L g Longueur du pendule période propre théorique période propre expérimentale
