I) Oscillateur harmonique

Montage de physique n°12 :
Etude expérimentale d'oscillateurs en mécanique
Introduction :
Ce montage traite d’oscillateurs mécaniques. Dans une première partie, je vais illustrer les oscillations libres : tout d’abord non
amorties puis, dans un deuxième temps, amorties par frottement fluide. Dans une deuxième partie, je parlerai d’oscillations
forcées. Je vais réaliser cette étude en utilisant deux sortes d’oscillateurs : un pendule élastique vertical, puis un pendule
élastique horizontal sur banc à cousin d’air.
I)
Oscillateur harmonique

Définition : La notion d’oscillateur harmonique doit évoquer les oscillations sinusoïdales d’un point autour de sa position
d’équilibre stable. Le terme harmonique signifie que les oscillations sont purement sinusoïdales.
Les mathématiciens donnent une définition plus abstraite selon laquelle un oscillateur harmonique est un objet décrit par un
équation du type : d2x/dt2 + 2x = 0 où  est une grandeur appelée pulsation.

Description du système étudié : Le solide S de masse m peut se déplacer avec un minimum de frottements sur un banc à
coussin d’air. Ce solide est accroché à 2 ressorts identiques R et R’ de constante de raideur k. La masse des ressorts est
négligeable devant m. La position du centre d’inertie du solide sur l’axe x est repérée grâce à une cuve rhéographique de
longueur d.
Les 2 électrodes de la cuve rhéographique sont reliées aux bornes d’une alimentation symétrique fournissant une tension +5/-5V.
Un électrode liée au solide est connectée à un oscilloscope ou à la carte d’acquisition d’un ordinateur permet de repérer la
position du solide S. La position de la cuve sera telle que la tension au niveau de l’électrode du solide sera voisine de zéro.
Le logiciel d’acquisition utilisé est Synchronie.
1) Détermination de la période :
Protocole : On enregistre les données à l’aide du logiciel. Il relève, la position du mobile en fonction du temps.
La courbe nous renseigne sur la nature du mouvement : l’amplitude reste constante au cours du temps  pas d’amortissement.
Ensuite, on pourra déterminer la période sur le graphe x(t) et en utilisant le curseur disponible ou en modélisant la courbe
expérimentale. C’est un oscillateur harmonique d’équation :
x 
K
x0
m
Tout se passe comme si la solide S était accroché à un ressort unique de raideur K = 2 k  02 = (2 k/m)
La période s’exprime donc par :
Tthéorique  2
m
K
On confrontera la valeur théorique et la valeur expérimentale de la période.
Remarque : La tension que l’on visualise représente en fait la tension recueillie à l’électrode reliée au solide S. Cependant, le
déplacement réel du solide xR(t) est proportionnel à x(t).
2) Energies :
On tracera après avoir défini ces différentes grandeurs :
Ec 
1
mv ²  f (t)
2
;
1
E m  kx ²  g (t)
2
;
Em 
1
1
mx ²  kx²  h(t)
2
2
On constate que l’énergie mécanique reste constante au cours du temps, elle se conserve.
Le système est conservatif : pas de forces de frottements ici.
L’énergie mécanique se conserve en l’absence de frottements et se décompose en 2 termes : l’énergie cinétique et l’énergie
potentielle s’échangent au cours du mouvement.
L’échange entre ces 2 formes d’énergie se décrit à l’aide du graphe ci-dessous :
Remarque : L’énergie potentielle de l’oscillateur est elle-même décomposée de 2 termes : une énergie potentielle de pesanteur
et une énergie potentielle élastique proportionnelle à l’allongement du ressort.
Ici, le mouvement étant horizontal, l’énergie de potentielle de pesanteur est nulle en choisissant une référence convenable.
3) Portrait de phase :
Le portrait de phase est donné par le tracé de v = f(x) ; Pour un oscillateur harmonique, on obtient :
Le diagramme obtenu montre que le système étudié est conservatif car la trajectoire des phases est fermée.
Le sens de parcours de ce diagramme de phase est dans le sens des aiguilles d’une montre : (à t = 0, le solide est étiré, puis, on
le lâche).
II)
Oscillations amorties par frottement fluide

Montage : Le solide S possède sur sa partie supérieure une plaque de cuivre qui passe dans l'entrefer d'un électroaimant
alimenté par un courant d'intensité I constante. Les courants induits (courants de Foucault) dans la plaque de cuivre créent une
force de frottement proportionnelle à la vitesse du solide : amortissement fluide : f = - h v.
Pour une vitesse donnée cet amortissement est d'autant plus grand que I est grand.
On pourra également simuler ces frottements fluides par une voile (en papier) que l’on fixera sur le mobile.

Mesures et exploitation : On va travailler sur l’enregistrement d’un régime pseudo périodique. On procède de la même
manière que pour l’oscillateur harmonique puis, on modéliser la courbe :
x(t )  Ae

t
T
 2

cos t     cte
T

La courbe qui représente les variations de x en fonction du temps est donnée ci-dessous :
1) Etude dynamique :
a) Pseudo-période :
On parle de pseudo-période lorsque l’amplitude des oscillations varient au cours du temps. Ici, les oscillations diminuent
(existence de frottements). A l’aide de la représentation graphique ou grâce à la modélisation, on peut ainsi déterminer la
pseudo-période.
Pseudo période : T =
Il faut comparer cette pseudo-période à la période propre de l’oscillateur : T0 =
Théoriquement, on doit avoir : T > T0
En effet, si on assimile les 2 ressorts à un seul ressort de constante de raideur K (= 2k), et un frottement fluide caractérisé
par un coefficient h, on a :
x 
h
K
x  x  0  x  2.x  0 ².x  0
m
m
avec
2 
h
m
où  caractérise l’amortissement du système


soit
x(t )  Ae t . cos 0 ²   ²t  Ae t . cost 
d’ou
0
T

T0
0 ²   ²
Cependant, si l’amortissement est faible, c’est à dire  << 0, alors T = T0
b) Détermination du coefficient de frottement, h :
Ici, on est en présence de frottements fluides : c’est à dire des frottements qui sont proportionnels à la vitesse. A partir de la
modélisation, on peut avoir accès à la valeur de  qui est lié au coefficient de frottement par : h/m = 2   h = 2m
c) Décrément logarithmique :
On définit le décrément logarithmique par :
  Ln
x(t )
h
 T 
T
x(t  T )
2m
On peut donc accéder au coefficient d’amortissement fluide : h =
d) Facteur de qualité :
On introduit souvent cette grandeur qui permet de caractériser l’amortissement :
Q
 0T  0

2
2
Q varie en fonction de 1/  Plus l’amortissement est faible, plus le facteur de qualité est grand.
Le degré d’amortissement du système permet également de caractériser le régime du système :

Q < 0,5  apériodique.

Q = 0,5  critique

Q > 0,5  pseudo-périodique
2) Diagramme de phase :
On trace v = f(x) et on obtient les graphes suivants :
Dans ce cas, la trajectoire de phase n’est pas fermée. Toutes les trajectoires possibles convergent, semblent attirés par le
point (0 ; 0).
L’énergie mécanique ne se conserve pas  le système n’est pas conservatif (car existence d’une force de frottement fluide).
III)
Oscillations forcées (pendule élastique forcé)
La réalité est telle que des frottements s’exercent toujours sur un système donné et diminuent l’amplitude des oscillations. Pour
observer des cycles se répétant identiques à eux-mêmes, il est nécessaire d’entretenir le mouvement en fournissant un énergie
capable de compenser les pertes. On parle d’oscillations forcées.
On utilise toujours le même protocole, mais cette fois-ci, on fixera un moteur à l’une des extrémités du solide S.

Théorie :
L’équation est donc :
Soit :
mx  2x  0 ² x  X a0 ² sin t 
x(t )  X () cost   
; Xa étant l’amplitude maximale des oscillations.
On démontre que l’amplitude X et la phase  sont données par :
X ( ) 
0 ² X a
0 ²   ²   4 ² ²
et
tan  
2
 ²  0 ²

Expérience :
On augmente progressivement la fréquence de rotation du moteur et on observe l’amplitude des oscillations forcées.

Xa
On trace sous Regressi le graphe : X= f()
On détermine la fréquence de résonance et la bande passante.
On remarquera que :

Si f0 : XXa : il n’y a plus d’oscillations, le déplacement est celui imposé à l’extrémité du ressort.

Si ff0 : X passe par un maximum d’amplitude ; c’est ce que l’on appelle la résonance.

Si f : X0 : l’oscillateur a une inertie trop importante pour pouvoir suivre le mouvement.

Rq : Si on n’a pas assez de temps, on pourra seulement faire une étude qualitative :
On augmente progressivement la fréquence du moteur et on remarquera que pour une fréquence particulière (la fréquence de
résonance) l’amplitude des oscillations est max.
On obtient les graphes suivants pour l’amplitude et la phase :
Conclusion :
Les oscillateurs mécaniques sont très présents dans la nature. Les cellules ciliées de l’oreille en sont un bon exemple. Mais
depuis tous temps l’homme utilise les oscillateurs dans de nombreux domaines : amortisseur de voiture, caisse de résonance
d’instruments de musique, balanciers d’horloge…
Questions :

Pour le pendule élastique, vous écrivez E m
1
1
 mx ²  kx²  h(t) ,
2
2
le terme
1
kx²
2
comprend l’énergie potentielle
élastique seule ou l’énergie potentielle élastique et l’énergie potentielle de pesanteur ?

Comment expliquer le freinage lorsqu’on fait passer un champ B dans la plaque de cuivre ?

Comment se calcule le facteur de qualité dans le I.2) ?

Pour les oscillations forcées, vous avez étudié la résonance en amplitude. Est ce que la fréquence de résonance varie si on
change le facteur de qualité ?

Est-elle égale à la fréquence propre de l’oscillateur ?

Si on fait l’analogie avec un résonateur électrique, à quoi correspond l’amplitude ?

Quelle grandeur faut-il étudier si on veut avoir une résonance fixe ?

Quels autres oscillateurs mécaniques connaissez-vous ?

Comment appelle t on un pendule qui n’est pas simple ?

Calculez l’expression de T d’un pendule composé ?