Exercices sur les oscillateurs harmoniques n°1

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Exercices sur les oscillateurs harmoniques n°1
1- A On considère un pendule élastique horizontal idéalisé. Voici six propositions, lesquelles sont vraies ? :
1. La période des oscillations est d’autant plus grande que la masse m du solide est importante.
2. La pulsation ne dépend pas de la manière dont a été lancé le pendule.
3. Dans un satellite, ce système ne pourrait pas osciller.
4. L’énergie totale est proportionnelle au carré de l’amplitude de la vitesse.
5. L’énergie totale est proportionnelle au carré de l’amplitude des élongations.
6. L’énergie potentielle lorsque le ressort est comprimé est égale à ½.kx2.
2- Au cours d'essais, on a enregistré les oscillations d'un même
oscillateur en mouvement sur un axe (schéma ci-contre).
1- Les conditions initiales sont-elles identiques ?
2- Préciser le sens du vecteur vitesse en chacun des points
A,B, C, D et E.
3- Cet oscillateur peut-il osciller avec des périodes différentes ?
4- Pourquoi les amplitudes ne sont-elles pas égales alors qu'il
s'agit du même oscillateur ?
5- Classer ces situations par énergie mécanique croissante.
3- On considère un pendule élastique horizontal idéalisé.
On accroche au ressort de raideur k des masses
m1, m2 et m3 (respectivement schéma 1, 2, 3)
Indiquer le schéma correspondant à :
- la plus grande amplitude
- la plus grande fréquence
- la plus grande énergie.
Classer les masses par ordre croissant.
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Exercices sur les oscillateurs harmoniques n°2
1- L'équation horaire du mouvement d'un oscillateur mécanique rectiligne et horizontal est donné par la
π⎞
⎛
relation suivante : x = 3cos ⎜ 20*t + ⎟ avec x en cm et t en s.
4⎠
⎝
a- Donner la période, la fréquence et l'amplitude des oscillations.
b- Donner l'expression de la vitesse et de l'accélération de l'oscillateur en fonction du temps.
c- Calculer les valeurs des amplitudes de la vitesse et de l'accélération.
d- Calculer la vitesse et l'élongation pour t = 0 et t = 4s
e- Calculer l'énergie de l'oscillateur, la masse en mouvement étant de m = 0,1 kg.
2- Un solide S est assimilé à un point matériel de masse m peut glisser sans frottement sur une tige
horizontale AB. Le solide est fixé à un ressort à spires non jointives de masse négligeable et de raideur k
L'autre extrémité du ressort est fixée en A à un support.
a- Donner l'expression la plus générale pour l'abscisse x en fonction du temps t ;
b- calculer l'abscisse de G et la valeur algébrique de la vitesse pour t = 0 dans les trois cas suivants :
φ = 60°, φ = 90° et φ = - 60°. On représentera le vecteur vitesse sur un schéma.
On donne : Xm.cos φ = 5 cm et ω = 2 rad.s-1
c- Exprimer l'énergie mécanique Em du système (ressort + solide) à l'instant t = 0 en fonction de Xm
et k.; puis en fonction de m, ω et Xm.
d-Donner la norme du vecteur vitesse lorsque le ressort passe par sa position d'équilibre.
e- Donner les positions du solide lorsque la vitesse s'annule.
3- On considère le même dispositif que dans l'exercice précédent. On veut déterminer les équations
horaires dans diverses conditions portant sur les valeurs de l'abscisse et de la vitesse à l'instant t = 0.
& t) .
Compléter le tableau suivant et écrire dans chaque cas x(t) et x(
4- Un ressort à spires non jointives de raideur k, dont l'axe est horizontal, est fixé en un point A. L'autre
extrémité est accrochée à un mobile auto-porteur de masse M, se déplaçant sans frottement sur une table
horizontale. La position du centre d'inertie du mobile est repérée par son abscisse x .
a- Le mobile est dans sa position de repos au moment où il est heurté par un deuxième mobile de masse
M' = 0,5M La vitesse v' de celui-ci a la direction de l'axe des abscisses. Au moment du choc, les deux
mobiles restent collés ensemble. Calculer la vitesse de l'ensemble juste après le choc (conservation de la
quantité de mouvement).
b- Donner l'équation différentielle de l'oscillateur constitué par le ressort et les deux masses accolées.
c- En prenant l'instant origine des temps juste après le choc, quelle est l'énergie mécanique de
l'oscillateur ? (On suppose que pour t = 0, x0 = 0 et v0 = x& 0 ). En déduire l'amplitude du mouvement.
d- Etablir l'équation horaire du mouvement.
Application numérique : k = 10 N.m-1 ; M = 100 g et v' = 1,5m.s-1
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Problème de mécanique : Oscillateur harmonique particulier
s
Un cylindre lesté, de centre de gravité G, de masse m, flotte à la
surface de l'eau (fig. ci-contre).
La poussée d'Archimède est la force verticale dirigée vers le
haut exercée par un liquide sur le solide immergé.
Son intensité est égale à celle du poids du liquide déplacé par
la partie immergée du solide.
Le point d'application C de cette poussée d'Archimède est le centre
de gravité de la partie immergée.
On appelle :
ρ
la masse volumique du liquide
ho
la hauteur immergée
s
la section du cylindre (surface de la base)
C
h0
G
1/ Ecrire l'expression de l'intensité F de la poussée d'Archimède,
en déduire l'expression de ho en fonction de m, ρ et s.
2/ On écarte le cylindre de sa position d'équilibre (en l'enfonçant dans l'eau par exemple), écrire
l'expression de la poussée d'Archimède lorsque, à la date t, la hauteur immergée est de h(t).
Position d'équilibre
ho
G
z(t)
Position à la date t
O
G
h(t)
z
3/ On choisit l'axe vertical Oz orienté vers le bas. Son origine O coïncide avec la position du centre de
gravité du cylindre en équilibre dans l'eau. On prend comme variable de position OG = z(t).
Ecrire la relation fondamentale de la dynamique appliquée au solide et montrer que l'équation du
mouvement se met sous la forme :
ρ .g.s
&&z(t) +
z(t) = 0
m
Quelle est la nature du mouvement du solide ? Calculer sa période.
On donne : ρ = 103 kg.m-3
g = 9,81 m.s-2
m = 50 g
s = 4 cm2
4/ A la date t = 0 , l'ordonnée de G est +a et le solide est lâché sans vitesse initiale, écrire l'expression
de z(t) en fonction du temps.
Donner la position du centre de gravité G à la date t = 2 s. Donner la valeur de la vitesse de G et le
sens du mouvement. (on donne a = 1 cm)
5/ A quelles dates la partie visible (donc émergée) du cylindre est-elle la plus importante ?