T-PL
Exercices sur les oscillateurs harmoniques n°2
1- L'équation horaire du mouvement d'un oscillateur mécanique rectiligne et horizontal est donné par la
relation suivante : x = 3cos 20*t + 4
⎛
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
avec x en cm et t en s.
a- Donner la période, la fréquence et l'amplitude des oscillations.
b- Donner l'expression de la vitesse et de l'accélération de l'oscillateur en fonction du temps.
c- Calculer les valeurs des amplitudes de la vitesse et de l'accélération.
d- Calculer la vitesse et l'élongation pour t = 0 et t = 4s
e- Calculer l'énergie de l'oscillateur, la masse en mouvement étant de m = 0,1 kg.
2- Un solide S est assimilé à un point matériel de masse m peut glisser sans frottement sur une tige
horizontale AB. Le solide est fixé à un ressort à spires non jointives de masse négligeable et de raideur k
L'autre extrémité du ressort est fixée en A à un support.
a- Donner l'expression la plus générale pour l'abscisse x en fonction du temps t ;
b- calculer l'abscisse de G et la valeur algébrique de la vitesse pour t = 0 dans les trois cas suivants :
φ = 60°, φ = 90° et φ = - 60°. On représentera le vecteur vitesse sur un schéma.
On donne : Xm.cos φ = 5 cm et ω = 2 rad.s-1
c- Exprimer l'énergie mécanique Em du système (ressort + solide) à l'instant t = 0 en fonction de Xm
et k.; puis en fonction de m, ω et Xm.
d-Donner la norme du vecteur vitesse lorsque le ressort passe par sa position d'équilibre.
e- Donner les positions du solide lorsque la vitesse s'annule.
3- On considère le même dispositif que dans l'exercice précédent. On veut déterminer les équations
horaires dans diverses conditions portant sur les valeurs de l'abscisse et de la vitesse à l'instant t = 0.
Compléter le tableau suivant et écrire dans chaque cas x(t) et x( .
t)
&
4- Un ressort à spires non jointives de raideur k, dont l'axe est horizontal, est fixé en un point A. L'autre
extrémité est accrochée à un mobile auto-porteur de masse M, se déplaçant sans frottement sur une table
horizontale. La position du centre d'inertie du mobile est repérée par son abscisse x .
a- Le mobile est dans sa position de repos au moment où il est heurté par un deuxième mobile de masse
M' = 0,5M La vitesse v' de celui-ci a la direction de l'axe des abscisses. Au moment du choc, les deux
mobiles restent collés ensemble. Calculer la vitesse de l'ensemble juste après le choc (conservation de la
quantité de mouvement).
b- Donner l'équation différentielle de l'oscillateur constitué par le ressort et les deux masses accolées.
c- En prenant l'instant origine des temps juste après le choc, quelle est l'énergie mécanique de
l'oscillateur ? (On suppose que pour t = 0, x0 = 0 et v0 = ). En déduire l'amplitude du mouvement.
0
x
&
d- Etablir l'équation horaire du mouvement.
Application numérique : k = 10 N.m-1 ; M = 100 g et v' = 1,5m.s-1