Exercice 1 : bille sur cerceau, analyse en terme de systèmes

M ASTER (MS)2 SC - V IBRATIONS NON LINÉAIRES
TD 2
Exercice 1 : bille sur cerceau, analyse en terme de systèmes dynamiques
On considère une bille de masse m coulissant sur un cerceau de rayon a, lui-même animé
d’un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe Oz, de vitesse angulaire Ω, comme
représenté ci-dessous.
Ω
a
θ
m
1. Donnez les équations du mouvement de la bille.
2. Mettez le système au premier ordre et donnez ses points fixes. Montrer qu’il existe une
pulsation critique Ωc qui distingue deux régimes différents.
3. Analysez la stabilité des points fixes trouvés à la question précédente, et représentez les
portraits de phase associés aux deux régimes.
4. Lorsque la vitesse de rotation du cerceau est plus grande que la vitesse critique Ωc ,
calculez la pulsation des oscillations libres au voisinage de la nouvelle position stable.
5. Représentez qualitativement les plans de phase du même système auquel on a ajouté un
amortissement visqueux.
Exercice 2 : Calcul de la période des oscillateurs non linéaires et introduction aux méthodes perturbatives
1. On souhaite dans un premier temps trouver une formulation pour le calcul de la période
des oscillateurs non linéaires. On considère un oscillateur sous la forme générique :
Ẍ = −
∂V
∂X
(1)
avec X une variable fonction du temps, et V (X) un potentiel que l’on spécifiera plus tard.
En remontant à l’équation de conservation de l’énergie et en intégrant entre deux points
d’annulation de la vitesse (appelés points tournants), déduisez-en une formule générique
pour la période des oscillations.
2. Dans le cas linéaire, V (X) = 12 ω02 X 2 , avec ω0 la pulsation propre de l’oscillateur. Montrez que l’on retrouve bien la période attendue. On pourra utiliser le changement de variables
√
2E
X=
sin θ,
(2)
ω0
pour résoudre l’intégrale.
3. On considère le cas d’un oscillateur de Duffing, dont le potentiel s’écrit désormais :
V (X) = 12 X 2 + 41 εX 4 , avec ε 1. Donnez la période des oscillations en fonction de
l’amplitude du mouvement.
4. On cherche désormais des solutions en temps à l’équation de Duffing :
Ẍ + X + εX 3 = 0.
(3)
Introduisez un développement de la forme :
X(t, ε) = X0 (t) + εX1 (t) + ε2 X2 (t) + ...,
(4)
identifiez les termes selon les ordres de ε et résolvez le problème à l’ordre 1. La solution
est-elle convenable ?
5. Afin de pallier aux problèmes détectés à la question précédente et liés à un premier
développement naïf, nous allons introduire la méthode des échelles mutliples, qui définit
plusieurs échelles de temps :
t0 = t
t1 = εt
t2 = ε2 t, ...
(5)
(6)
(7)
et une solution sous la forme :
X(t, ε) = X0 (t0 , t1 , ...) + εX1 (t0 , t1 , ...) + ε2 X2 (t0 , t1 , ...) + ...,
(8)
Introduisez ces développements dans l’équation du mouvement, en prenant soin de recalculer
la dérivée par rapport au temps. Identifiez les ordres selon les puissances de ε et résolvez en
faisant attention à définir une condition de solvabilité afin que la solution trouvée soit uniformément valide en temps. Concluez en comparant la fréquence des oscillations trouvées,
que l’on pourra comparer à la période calculée à la question 3.