chapitre iv: ondes de chocs droites

CHAPITRE IV: ONDES DE CHOCS DROITES
Nous avons soulign´e au chapitre II, ainsi qu’au chapitre III, que pour les ´ecoulements `a grande
vitesse le mod`ele continu ne permettait pas de d´ecrire la totalit´e des gammes de fonctionnement. Il
existe donc des zones o`u l’´ecoulement peut varier tr`es rapidement afin de s’adapter aux contraintes,
c’est `a dire des discontinuit´es. Exp´erimentalement, aux grandes vitesses, les visualisations optiques
mettent en ´evidence des variations de l’indice de r´efraction du milieu qui est reli´e `a la masse vo-
lumique locale. Ainsi, comme le montre la figure (1), une variation sur une longueur tr`es courte
t´emoigne d’une variation brutale de la masse volumique et de l’existence au sein de l’´ecoulement
d’une discontinuit´e. Nous allons consacrer ce chapitre `a l’´etude des discontinuit´es et de leur classi-
Figure 1: Visualisation d’un choc droit `a la sortie d’une tuy`ere de Laval.
fication. Nous supposerons l’´ecoulement adiabatique et sans efforts ext´erieurs. Nous supposerons
en outre l’´ecoulement stationnaire.
1 Ondes de chocs et surfaces de glissement.
1.1 Ecriture des ´equations de saut
Comme le montrent diff´erentes visualisations figures (1) et (4), il est raisonnable d’assimiler les
surfaces de discontinuit´es `a des surfaces infiniment minces.
Consid´erons une surface de discontinuit´e repr´esent´ee sur la figure (2) Σ(t) de vitesse propre
~
W, orient´ee par la normale ~ Ns´eparant alors le domaine de l’´ecoulement en deux sous domaines
comme vu au Chapitre I (figure(1)). Cette surface est suppos´ee purement g´eom´etrique, elle n’est le
si`ege d’aucune r´eaction chimique, ne poss`ede pas de tension superficielle on dira qu’elle est inerte.
On appelle ~ tla tangente `a la surface de discontinuit´e. Nous supposons le fluide parfait de part
et d’autre de Σ(t). On dira que la surface de discontinuit´e est stationnaire si ~ W= 0.On
indicera par 1 toutes les quantit´es juste avant la surface de Discontinuit´e et par 2 juste apr`es.
Les ´equations de saut associ´ees `a la conservation de la masse, de la quantit´e de mouvement et de
l’´energie ont ´et´e rappel´ees au chapitre I, ´equations (37), (41) et (47). Explicitons ces ´equations de
saut avec les notations indiqu´ees plus haut et dans le cadre de l’approximation du fluide parfait.
On notera unet utles composantes de la vitesse dans le rep`ere ( ~ N,~ t):
ρ1(u1n−W) = ρ2(u2n−W) = ˙m(1)
o`u ˙mest une constante repr´esentant le d´ebit massique traversant Σ et pouvant ˆetre positive,
n´egative ou nulle. La projection de l’´equation de saut de quantit´e de mouvement respectivement
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1
2
~
W
~
N
~
t
Σ(t)
Figure 2: Surface de discontinuit´e.
sur ~ Net ~ tdonne:
ρ1u1n(u1n−W) + p1=ρ2u2n(u2n−W) + p2(2)
ρ1u1t(u1n−W) = ρ2u2t(u2n−W) (3)
Enfin l’´equation de saut de l’´energie donne:
˙m(e1+u2
1
2) + p1u1n= ˙m(e2+u2
2
2) + p2u2n(4)
Il apparaˆıt clairement compte tenu de (1) que deux cas sont `a consid´erer, ˙m= 0 ou ˙m6= 0 .
1.2 D´efinition des surfaces de glissement ˙m =0
La surface de discontinuit´e n’est alors pas travers´ee par de la mati`ere, on a
ρ1(u1n−W) = ρ2(u2n−W) = 0 →u1n=W=u2n(5)
Dans ce cas (2) devient
p1=p2(6)
L’´equation (3) ne permet pas de conclure quoi que ce soit sur les vitesses tangentielles `a la travers´ee
de la surface de discontinuit´e. L’´equation (4) est redondante avec (6). Une surface de discontinuit´e
non travers´ee par la mati`ere est appel´ee surface de glissement ou de contact. Un exemple
typique est la surface du jet de sortie d’une tuy`ere. La surface de glissement est stationnaire, elle
s´epare l’air au repos des gaz brˆul´es, elle est repr´esent´ee par des pointill´es sur la figure (3). Les
fluides glissent l’un sur l’autre avec des vitesses tangentielles arbitraires et la pression est la mˆeme
de part et d’autre de la surface de glissement (6) ce qui avait ´et´e exploit´e auparavant au chapitre
II pour discuter de l’influence de la pression de sortie.
gaz brˆul´es
atmosph`ere
patm
ps
Figure 3: Visualisation d’un jet `a la sortie d’une tuy`ere.
A la travers´ee d’une surface de glissement ou de contact la pression se conserve ainsi
que les vitesses normales, les vitesses tangentielles sont quelconques, la surface n’est
pas travers´ee par de la mati`ere.
35

Figure 4: Simulation en soufflerie de l’entr´ee dans l’atmosph`ere martienne du futur orbiteur de la
mission ”retour d’´echantillons martien”, ONERA
1.3 Les ondes de choc ˙m 6=0
Consid´erons le cas o`u ˙m6= 0 la surface de discontinuit´e Σ(t) est travers´ee par de la mati`ere, le
d´ebit massique `a la travers´ee de Σ n’´etant pas nul.
On appelle onde de choc, une surface de discontinuit´e travers´ee par de la mati`ere.
Les ´equations (2), (3), (4) deviennent alors:
˙m u1n+p1= ˙m u2n+p2(7)
u1t=u2t(8)
Enfin l’´equation de saut de l’´energie donne en tenant compte de ce qui pr´ec`ede, du fait que u2=
u2
n+u2 tet du fait que h=e+p
ρ:
h1+(u1n−W)2
2=h2+(u2n−W)2 2(9)
Les ondes de choc correspondent physiquement `a des zones de l’´ecoulement o`u les diff´erentes
quantit´es subissent de fortes variations sur des distances de l’ordre du libre parcours moyen λ
(cf Chapitre I). Dans cette r´egion, les gradients ´etant forts, malgr´e une viscosit´e faible, les effets
dus `a la viscosit´e ne peuvent plus ˆetre n´eglig´es, cela conduit `a des irr´eversibilit´es de sorte qu’`a la
travers´ee d’un choc l’entropie ne peut qu’augmenter. L’´equation de saut associ´ee `a l’entropie a ´et´e
rappel´ee au chapitre I, ´equation (56). Nous supposerons l’´ecoulement adiabatique. Cette ´equation
s’´ecrit en utilisant la d´efinition de ˙mdonn´ee en (1):
˙m(s2−s1)>0 (10)
Il est clair que dans le cas d’une surface de glissement on ne peut rien conclure sur l’entropie. Par
contre pour une onde de choc, on voit que l’on obtient si ˙m > 0 ( la surface de discontinuit´e est
alors travers´ee de (1) vers (2)):
(s2−s1)>0 (11)
Si ˙m < 0, la mati`ere traverse la surface de discontinuit´e de (2) vers (1) on a s1> s2, ce qui indique
que la r´egion avant le choc est la r´egion (2) et la r´egion apr`es le choc la r´egion (1). Les chocs peu-
vent avoir des g´eom´etries tr`es diff´erentes, ils peuvent ˆetre perpendiculaires `a l’´ecoulement amont,
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Figure (1), courbes Figure (4) attach´es ou non `a l’obstacle.
Dans ce chapitre nous nous limiterons aux chocs perpendiculaires `a l’´ecoulement amont, ou choc
droit. Dans ce cas la vitesse amont est uniquement dirig´ee selon la normale et nous la noterons
~u1. Compte tenu de (8), on en d´eduit que comme u1t= 0, alors u2t= 0; par cons´equent `a l’issu du
choc l’´ecoulement est ´egalement perpendiculaire au choc comme repr´esent´e sur la figure (5).
2 Le choc droit
~u1~u2
1 2
~
N
Σ
Figure 5: Le choc droit.
On supposera pour simplifier l’´enonc´e que le choc est stationnaire et par cons´equent West nul.
Dans le cas inverse, il faut remplacer u1par v1=u1−Wet u2par v2=u2−Wdans tout ce qui
suit et les r´esultats sont inchang´es. Pour comprendre ce qui se passe lors de la travers´ee d’un choc
droit, nous allons consid´erer le cas du gaz parfait polytropique. Il est possible de d´emontrer les
r´esultats suivants dans le cas d’une loi de comportement tr`es g´en´erale, le lecteur se reportera au
chapitre IX de ” Fluid Mechanics” de Landau et Lipshitz. Dans le cas d’un choc droit stationnaire,
les ´equations de saut deviennent:
ρ1u1=ρ2u2(12)
ρ1u2
1+p1=ρ2u2 2+p2(13)
h1+u2
1
2=h2+u2
2
2(14)
s2> s1(15)
p=ρRT (16)
Afin d’aller plus loin nous allons supposer que le fluide peut ˆetre mod´elis´e par le mod`ele du
gaz parfait polytropique. On rappelle que pour un gaz parfait polytropique dh =CpdT avec Cp
constante, on a alors h=CpT+qfo`u qfest appel´e l’enthalpie de formation, et qfne d´epend que
du fluide. D’autre part lorsque le gaz est parfait et polytropique on a la vitesse du son d´efinie par
c2=γRT .
L’´equation (14) s’´ecrit :
CpT1+M2
1c2
1
2=CpT2+M2
2c2
2
2(17)
CpT1+M2
1γRT1
2=CpT2+M2
2γRT2
2(18)
37

T2
T1
=Cp+1
2γRM 2
1
Cp+1
2γRM 2
2
(19)
Or nous avons vu au chapitre I que R=Cp−Cv, on obtient alors:
T2
T1
=2 + (γ−1)M2
1
2 + (γ−1)M2
2
(20)
L’´equation (12) s’´ecrit:
ρ1M1pγRT1=ρ2M2pγRT2(21)
Compte tenu de (20), on d´eduit de (21):
ρ1
ρ2
=M2
M1 2 + (γ−1)M2
1
2 + (γ−1)M2
2!1
2
(22)
L’´equation (13) s’´ecrit:
p1+γp1M2
1=p2+γp2M2 2(23)
p2
p1
=1 + γM2
1
1 + γM2
2
(24)
La loi d’´etat permet d’obtenir une ´equation ne faisant intervenir que M1et M2. En effet on a :
p2
p1
=Rρ2T2
Rρ1T1
(25)
Compte tenu de (20) et de (22), on obtient l’´equation suivante:
M2
11 + γ−1
2M2
1
1 + γM2
12=M2
21 + γ−1
2M2
2
1 + γM2
22(26)
Cette ´equation est une ´equation du second degr´e pour M2
2, elle admet la solution triviale M2 2=M2 1,
la seconde solution vaut:
M2
2=2 + (γ−1) M2
1
1−γ+ 2γM2
1
(27)
On peut donc d´eduire de (20), (22) et (24):
T2
T1
=2 + (γ−1)M2
1 1−γ+ 2γM2
1
(γ+ 1)2M2
1
(28)
ρ1
ρ2
=u2
u1
=γ−1
γ+ 1 +2
(γ+ 1)M2
1
(29)
p2
p1
=1−γ+ 2γM2
1
1 + γ(30)
Pour un gaz parfait polytropique, nous avons vu au chapitre I ´equation (22) que la variation
d’entropie entre deux ´etats caract´eris´es par les variables d’´etat (T1, ρ1) et (T2, ρ2) pouvait s’expliciter
sous la forme:
∆s=s2−s1=Cvln T2
T1ρ2 ρ11−γ!(31)
et ce qu’il y ait ou non irr´eversibilit´e dans le syst`eme. En effet sest une fonction d’´etat ne d´ependant
pas du chemin suivi pour la calculer. Par contre le choc est un processus irr´eversible, il faut donc
rajouter un principe d’´evolution, rappel´e plus haut: l’entropie augmente `a la travers´ee du choc.
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