Éléments de cours

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ÉLEMENTS DE COURS
Relations pour les gaz parfaits
Pour un gaz parfait polytropique,
de lois d’état p = ρ r T et e = Cv T , la
√
vitesse du son est c = γ r T avec γ = Cp /Cv et Cp = Cv + r. L’entropie,
définie par la relation de Gibbs de = T ds − p d (1/ρ), vérifie la relation
s = sref + Cv Ln (p ρ−γ ). L’enthalpie est h = e + p/ρ = Cp T = c2 /(γ − 1) et
c2
l’enthalpie totale est H = h + 21 U 2 = γ−1
+ 21 U 2 .
Approximation quasi-1D pour une tuyère
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n
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Ωfuselage
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444444444
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444444444
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444444444
xs
xc
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444444444
Ωchambre xe
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444444444
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444444444
Ωtuyere
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444444444
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444444444
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444444444
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x
Dans le cadre de l’approximation quasi-1D dans une tuyère de section lentement variable A(x), le régime stationnaire de l’écoulement est décrit par les
champs de température T (x), de pression p(x), de masse volumique ρ(x) et
de vitesse u(x). Le nombre de Mach est alors M (x) = u(x)/c(x) où c est la
vitesse du son.
Dans une région où l’écoulement est homoentropique, on note T0 , p0 et ρ0
les température, pression et masse volumique “d’arrêt” mesurés en des points
réels ou fictifs (transformation adiabatique) où la vitesse est nulle. Ces valeurs
représentent les caractéristiques du gaz dans la chambre de combustion.
M
g(M)
p
1
K/Ac
1
p/p0
Mc
pa/p0
K/As
Ms
K/Ae
Me
Me Ms
Mc
1
M
xe
xc
xs
x
xe
xc
xs
x
2
PCM-XINP thu-acpc5 (2004), O. Thual July 10, 2005
Dans la région où l’écoulement est adiabatique, c’est-à-dire en amont d’un
éventuel choc, les “lois de Saint-Venant” suivantes sont vérifiees
T
= f (M )−1 ,
T0
γ
p
= f (M ) 1−γ
p0
et
1
ρ
= f (M ) 1−γ
ρ0
(1)
2
avec f (M ) = 1 + γ−1
2 M . En exprimant que le débit ṁ = ρ u A est constant,
le nombre de Mach est solution de l’équation implicite
ṁ
ṁ 1
=
g(M ) =
ρ0 c0 A
p0
γ+1
− 2(γ−1)
avec g(M ) = M f (M )
s
r T0 1
γ A
(2)
. On note Γ(γ) = g(1).
Relations de saut
On considère une surface de discontinuité dont la normale N est orientée de la
région 1 vers la région 2. On note W = W N la vitesse de propagation de cette
surface, (U 1 , ρ1 , p1 , ...) et (U 2 , ρ2 , p2 , ...) les champs situés respectivement dans
la région 1 et la région 2. On note [[b]] = b2 − b1 le saut du champ b à travers
la surface de discontinuité.
2
U
W
1
Ut
N
Un
On note alors v1 = (U 1 − W ) · N et v2 = (U 2 − W ) · N . La relation de saut du
bilan de masse s’écrit alors ρ1 v1 = ρ2 v2 . On note m cette valeur commune.
Dans le cas où m = 0, la seule relation est l’égalité des pressions p1 = p2 .
Dans le cas où m 6= 0, c’est-à-dire lorsque le fluide traverse la surface de
discontinuité, on suppose que m > 0, quitte à changer l’orientation de N si
ce n’est pas le cas initiallement. Les relations de saut s’écrivent alors
ρ1 v1 = ρ2 v2 =: m > 0
p1 + ρ1 v12 = p2 + ρ2 v22 et [[U − W ]] ∧ N = 0
p1 1 2
p2 1 2
e1 +
+ v1 = e2 +
+ v
ρ1 2
ρ2 2 2
3
s2 > s1 .
(3)
Pour un gaz parfait polytropique, les relations de saut entraı̂nent :
p2
p1
ρ2
ρ1
T2
T1
M1
2γ
(M 2 − 1)
γ+1 1
(γ + 1)M12
2(M12 − 1)
=
= 1+
2 + (γ − 1)M12
2 + (γ − 1)M12
2
2(γ − 1)(M1 − 1)(γM12 + 1)
= 1+
(γ + 1)2 M12
> 1 > M2 .
= 1+
Dans le cas particulier
d’un choc droit stationnaire (W = 0) on a T01 = T02
p02
2
et p01 = π M1 , γ avec
2γ
π(X1 , γ) = 1 +
(X1 − 1)
γ+1
[2 + (γ − 1)X1 ][2 γ X1 + 1 − γ]
(γ + 1)2 X1
γ
1−γ
.
(4)