Sciences Industrielles pour l’Ingénieur Centre d’Intérêt 8 : TRANSMETTRE l'énergie – Aspect STATIQUE Compétences : MODELISER MODELISATION DES ACTIONS MECANIQUES (sans frottement) COURS Modéliser une action mécanique TP Entraînement sur cours 1 avec correction TD Autonomie 1- CISAILLE On donne le système de cisaillage ci-dessous : le bras porte-lame (3) exerce son action sur une pièce (2) reposant sur la table (6) en G. Le levier ADF (5) exerce son action sur le bras porte-lame (3) par l'intermédiaire d’une barre (4). L’action verticale au point F est de 300 N. Déterminer, par les 3 moyens du cours, le vecteur 𝑦 moment de la force 𝐹𝑒𝑥𝑡 5 au point A. F 500mm 𝐹𝑒𝑥𝑡 5 200 mm D 5 30° 4 1 A 30° Rq : aucune mesure ne doit être prise sur ce dessin. Les éléments nécessaires seront calculés à partir des données de cette figure. 3 150 B 2 100 E C 𝑥 G 280 Correction : Méthode 1 : 𝑀𝐴,𝐹𝑒𝑥𝑡 5 = AF𝐹𝑒𝑥𝑡 5 = 700. cos 30° . x + 700. sin 30° . y ∧ −300. y = 606,218. x ∧ −300. y = −181,9. z 𝑒𝑛 𝑁. 𝑚 Méthode 2 : 𝑀𝐴,𝐹𝑒𝑥𝑡 5 = AF . 𝐹𝑒𝑥𝑡 5 . sin 60° selon −z (3 doigts de la main droite) = 0,7 . 300 . 3 . (−z) = −181,9. z 2 𝑒𝑛 𝑁. 𝑚 Méthode 3 (bras de levier) : 𝑀𝐴,𝐹𝑒𝑥𝑡 5 = 0,606218. 𝐹𝑒𝑥𝑡 5 . −z = −181,9. z 2- STABILITE D'UNE GRUE On se propose de déterminer la masse du contrepoids à installer pour assurer la stabilité de la grue POTAIN MD208A. La figure 1a représente la grue à vide. En première approche, on utilise la modélisation de la figure 1b dans laquelle on retrouve : 4 - la force F qui est la charge maxi en bout de flèche (Fmaxi = 2.10 N) ; - la force Q (lest de contre-flèche). On notera sa norme : Q et son point d’application : Q ; - les forces G1 et G2 qui correspondent aux lests de base ; - la force G3 liée à la masse de la grue (hors lest et charge), rapporté au point G 3 5 (G3 = 2.10 N). CPGE TSI – Lycée P.-P. Riquet – St-Orens de Gameville -1- 𝑒𝑛 𝑁. 𝑚 Sciences Industrielles pour l’Ingénieur béton 3 -2 À partir des dimensions de la figure 1b, et sachant que la masse volumique du béton est de 2222 kg/m et la gravité g = 10 m.s : 1/ Déterminer, au point d’application de chaque force, le torseur (forme vectorielle détaillée) associé à chacun des 5 vecteurs force cités dans l’énoncé. 2/ Déterminer, au point G3, le torseur (forme vectorielle détaillée) associé à chacun des 5 vecteurs force cités dans l’énoncé. 3/ En déduire Q et la masse du contrepoids pour assurer la stabilité de la grue (pas de rotation autour de (G3, 𝑧)). (Rq : on n’a pas tenu compte dans ce problème des réactions du sol en A et B, dont les moments en G 3 se compensent). Correction : Unités des résultats : Résultantes en Newton et Moments en N.m. On note la pesanteur T (terre). −2. 104 . y 1/ τTCharge = 0 F τTLestbase 1 0 Q −(3.1.1,5).2222.10. y = −Q. y τTLestCF = 0 𝐺1 τTLestbase 0 𝐺1 0 𝐺3 −399960. y = −2. 105 . y τTGrue = 2 −399960. y = 𝐺2 0 2/ Le calcul des moments au point G3 s’effectue par la formule du bras de levier : −2. 104 . y τTCharge = 0 F −Q. y τTLestCF = Q 0 −2. 104 . y = 𝐺3 𝐺3 F − 2. 104 . y −Q. y = 𝐺3 𝐺3 Q − Q. y = 𝐺3 = 𝐺3 −2. 104 . y = −63.2. 104 . z −Q. y ; τTLestbase 15. Q. z 1 𝐺3 −2. 104 . y −1,26. 106 . z 𝐺3 −399960. y ; τTLestbase 2 . 399960 . z = 2 = 𝐺3 3/ En faisant le total des moments en G3 = 0, on trouve Q = 84000 N soit 8400 kg pour le contrepoids nécessaire. CPGE TSI – Lycée P.-P. Riquet – St-Orens de Gameville -2- −399960. y −2 . 399960 . z Sciences Industrielles pour l’Ingénieur 3- CABESTAN Le schéma ci-dessous représente un cabestan (treuil) : il est constitué de deux manivelles solidaires d’un tambour (t) d’axe (O, z), sur lequel s’enroule un câble tendu. - Les mains exercent, aux extrémités des manivelles notées, deux forces 𝐹1 et 𝐹2 parallèles et de même intensité 100 N. - Le câble exerce, en A, sur le tambour, une force 𝐹𝑐𝑡 verticale. - L’ensemble des autres forces s’exerçant sur le treuil est équivalent à une force 𝑅 exercée en O. y F2 d = 30 cm x z On cherche la force disponible au niveau de la corde, c'est-àdire la norme de 𝑭𝒄𝒕 . 𝐹𝑐𝑡 F1 Main 1 1/ Déterminer le vecteur moment au point O de chacun des 2 vecteurs forces 𝐹1 et 𝐹2 . 2/ Déterminer le torseur statique de l’A.M. exercée par la main 1 sur la manivelle. Vous l’exprimerez en son point d’application (noté F1) puis au point O sous une forme vectorielle détaillée. 3/ Sachant que la somme vectorielle des moments des 4 actions mécaniques au point O est nulle, déterminer 𝐹𝑐𝑡 (on donne OA = 6,5 cm). Correction : 1/ Bras de levier : 𝑀O ,𝐹1 = 𝑀O ,𝐹2 = −30. z en N.m R main 1manivelle = 𝐹1 = −100. x 2/ τmain 1manivelle = 𝐹1 M𝐹1 ,main 1manivelle = M𝐹1 ,𝐹1 = 0 3/ Après calcul, on trouve Fct = −923. y 𝐹1 = −100. x = O M𝑂,𝐹1 = −30. z en N et N.m en N 4- VEHICULE RENVERSE Dans le cadre de la préparation au rallye Paris/Dakar, on cherche à déterminer l'effort nécessaire à deux pilotes pour relever un véhicule de 1 500 kg renversé. On décide d’adopter les 2 modèles suivants (distances en mètres) : CPGE TSI – Lycée P.-P. Riquet – St-Orens de Gameville -3- Sciences Industrielles pour l’Ingénieur Modèle 1 : Modèle 2 : Le poids du véhicule est modélisé par une répartition de forces locales. Le poids du véhicule est modélisé globalement par un glisseur au centre de gravité : G. y 2 35° 2 𝐵21 35° 1 𝐵21 1 Sol 0 x Données et notation : Sol 0 𝒑 𝑷 0,3 2 𝐵21 = 𝑋𝐵 . 𝑥 + 𝑌𝐵 . 𝑦 Coordonnées des points : A(0, 0, 0) B(0.3, 2, 0) G(0.8, 1, 0) en mètres. Les actions mécaniques aux points A, B et G sont des glisseurs. -2 Gravité : g = 10 m.s Pour cette étude, on se place à la limite de relevage, c'est-à-dire que la force exercée par les 2 pilotes est tout juste suffisante pour commencer à faire basculer le véhicule, qui n’est donc en contact avec le sol qu’au point A. 1/ Pour le modèle 1, exprimer les 2 torseurs (réduits au point A sous forme vectorielle détaillée) associés aux 2 actions mécaniques globales qui s’exercent aux points : - B : point d’attache de la corde et représentant l’action des pilotes sur la corde. Ce torseur sera seulement fonction de XB, - G : centre de gravité du véhicule de masse M = 1 500 kg. 2/ Pour le modèle 1, sachant que 𝑀𝐴,21 + 𝑀𝐴,𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 1 = 0, déterminer 𝐵21 . 3/ Pour le modèle 2, exprimer le torseur (réduit au point A sous forme vectorielle détaillée) associé à l’action mécanique due à la gravité, définie par la pression linéique : 𝑝 = − 𝑎𝑥 + 𝑏 . 𝑦 où a et b sont des constantes. 4/ Sachant que les 2 torseurs modélisant l’action mécanique due à la gravité sur les modèles 1 et 2 sont statiquement identiques, déterminer les constantes a et b. Correction : 𝑋𝐵 . 𝑥 + 0,7. 𝑋𝐵 . 𝑦 = 0,21. 𝑋𝐵 − 2. 𝑋𝐵 .𝑧 1/ τ21 = 𝐴 −𝑚. 𝑔. 𝑦 τ 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 1 = 𝐴 −𝐴𝐺 ∧ 𝑚. 𝑔. 𝑦 = 𝐴 𝐴 𝑋𝐵 . 𝑥 + 0,7. 𝑋𝐵 . 𝑦 −1,79. 𝑋𝐵 .𝑧 −15000. 𝑦 (Terre = pesanteur) −12000.𝑧 2/ XB = -6704 N et YB = -4693 N, donc 𝐵21 3/ τ 𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 1 = 𝐴 𝑀𝐴,𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 1 = unités à préciser = 8183 𝑁. 2,3 𝑑𝐹𝑀 = 0,3 2,3 𝑑𝐹𝑀 = 0,3 (𝑦 2,3 𝑝. 𝑑𝑥 . 𝑦 0,3 𝑅𝑇𝑒𝑟𝑟𝑒 1 = − 2,3 𝐴𝑀 0,3 + 𝑥. 𝑥 ) ∧ −(𝑎. 𝑥 + 𝑏). 𝑦. 𝑑𝑥 ∧ = 𝐴 −(2,6 . 𝑎 + 2 . 𝑏). 𝑦 −(2,6 . 𝑏 + 4,05 . 𝑎) . 𝑧 4/ 15000 = 2,6 . a + 2 . b et 12000 = 2,6 . b + 4,05 . a conduisent après résolution à b = 22052,2 N/m et a = -11194 N/m. CPGE TSI – Lycée P.-P. Riquet – St-Orens de Gameville -4- Sciences Industrielles pour l’Ingénieur 5- MECANISME ELEVATEUR (d'après sujet concours) c -d a 1/ Déterminer le moment du vecteur force 𝐹 au point 04. 2/ Exprimer { 𝜏 effort F5} au point Q. 3/ Déterminer (forme vectorielle détaillée) le torseur statique associé aux actions mécaniques transmissibles par chacune des 3 liaisons. Correction : 1/ 𝑀04 ,𝐹 = 04 𝐴 𝐹 = 𝑏. 𝑥5 + 𝑎. 𝑦5 + 𝑐. 𝑧5 ∧ −𝐹. 𝑧5 = 𝑏. 𝐹. 𝑦5 − 𝑎. 𝐹. 𝑥5 2/ 𝑀𝑄,𝐹 = 𝑀04 ,𝐹 + 𝐹 ∧ 04 𝑄 et 𝐹 ∧ 04 𝑄 = 𝐹 ∧ −𝑑 . 𝑥2 = 𝐹. 𝑑. 𝑦2 donc 𝜏𝑒𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝐹5 = 𝑄 −𝐹. 𝑧5 𝑏. 𝐹. 𝑦5 − 𝑎. 𝐹. 𝑥5 + 𝐹. 𝑑. 𝑦5 y2 = y 5 ) 3/ Liaison pivot entre 4 et 2 : 𝜏42 = 𝑂4 𝑋42 . 𝑥2 + 𝑌42 . 𝑦2 + 𝑍42 . 𝑧2 (on peut aussi l'exprimer dans B4) 𝐿𝑂4 42 . 𝑥2 + 𝑀𝑂4 42 . 𝑦2 Entre 5 et 2 : liaison pivot glissant ; entre 5 et 4 : liaison hélicoïdale … voir cours pour les torseurs. CPGE TSI – Lycée P.-P. Riquet – St-Orens de Gameville -5- (car