La trigonométrie regroupe diverses notions liées à la

Fiche de synthèse : LA TRIGONOMÉTRIE
La trigonométrie regroupe diverses notions liées à la mesure et au calcul
des angles et des longueurs des côtés d’un triangle. Elle permet de
calculer des angles à partir de longueurs, et de calculer des longueurs à
partir d’angles.
B
Soit un triangle ABC, rectangle en A.
adjacent
hypoténuse
à ABC
C
A
Opposé à ABC
Différentes fonctions trigonométriques vont permettre de calculer les
longueurs et les angles de ce triangle :
adjacent
- Le cosinus : Cos (ABC) =
- Le sinus :
Sin (ABC) =
hypoténuse
opposé
hypoténuse
- La tangente :Tan (ABC) =
opposé
adjacent
=
=
=
AB
BC
AC
BC
AC
AB
Dans un premier temps, intéressons-nous au cosinus. Il permet de
calculer la mesure d’un angle. Pour cela, il faut connaître les longueurs du
côté adjacent et de l’hypoténuse.
Pour calculer la mesure d’un angle avec le cosinus, on utilise l’inverse du
cosinus.
Par exemple, on cherche à calculer ABC avec AB = 1 et BC = 2.
AB )
ABC = cos-1 (
BC
ABC = cos-1 (
ABC = 60°
1
2
B
)
A
C
Sur la calculatrice, il faut utiliser la touche cos-1 ou bien la touche Arccos.
Le cosinus permet également de calculer la longueur d’un côté d’un
triangle. Pour cela, il est nécessaire de connaître la mesure d’un angle et
la longueur du côté adjacent ou de l’hypoténuse.
Pour calculer la longueur d’un côté avec le cosinus, on utilise le calcul en
croix.
Par exemple, on veut calculer la mesure du côté AB avec BC = 6 et ABC = 60°.
On sait que Cos ABC = AB
BC
1
B
Donc AB = BC × cos ABC
AB = 6 × cos 60°= 3
A
C
Le calcul d’angle dans un triangle rectangle est également possible avec
la fonction trigonométrique du sinus.
Pour utiliser cette formule, il est nécessaire de connaître la longueur du
côté adjacent et la longueur de l’hypoténuse.
De la même façon que pour le cosinus, on utilise l’inverse du sinus pour
calculer la mesure d’un angle.
Par exemple, on cherche à calculer la mesure de l’angle ABC avec AB = 1
et BC = 2.
B
-1 ( AC )
Si ABC = sin
BC
1 )
donc ABC = 30°
alors ABC = sin-1 (
A
C
2
Sur la calculatrice, il faut utiliser la touche sin-1 ou bien la touche Arcsin .
A l’inverse, il est également possible de calculer une longueur à partir
du sinus.
Pour cela, il est nécessaire de connaître la mesure d’un angle et la
longueur du côté opposé ou de l’hypoténuse.
Pour calculer la longueur d’un côté, on utilise le calcul en croix.
Par exemple, on sait que BC = 4 et ABC = 30°.
Si sin ABC
1
alors
=
B
AC
BC
AC = BC × sin ABC = 4
× sin 30°
=2
A
C
Enfin, on peut utiliser la tangente pour calculer des angles au sein d’un
triangle rectangle. Pour cela, il est nécessaire de connaître les longueurs
du côté adjacent et du côté opposé.
De la même façon que pour le cosinus et le sinus, on utilisera l’inverse de
la tangente pour effectuer ce calcul.
Par exemple, on cherche à calculer la mesure de l’angle ABC avec AC = 3
et AB = 3.
B
AC )
Si ABC = tan-1 (
AB
alors ABC = tan-1 (
3
3
)
A
C
ABC = 45°
Sur la calculatrice, il faut utiliser la touche tan-1 ou bien la touche Arctan .
A l’inverse, il est possible de calculer une longueur à partir de la
tangente.
Pour cela, il est nécessaire de connaître la mesure d’un angle et la
longueur du côté adjacent ou du coté opposé.
Pour calculer la longueur, on utilise le calcul en croix.
Par exemple, on sait que AB = 5 et ABC = 45°
B
Si Tan ABC = AC
AB
1
alors
AC= AB× tan ABC = 5 × tan 45° = 5
A
C
La trigonométrie
Soit un triangle ABC rectangle en A
> Permet de calculer un angle
> Permet de calculer la
longueur d’un côté
B
adjacent
hypoténuse
à ABC
A
Cosinus
adjacent
AB
=
Cos (ABC) =
hypoténuse BC
> Nécessite :
- Longueurs du
côté adjacent et
de l’hypoténuse
B
B
A
> Nécessite :
-Un angle et
- Longueur du
côté adjacent ou
de l’hypoténuse
C
>Utilisation de
l’inverse
du cosinus
> Exemple :
AB = 1 et BC = 2
A
Opposé à ABC
Sinus
opposé
AC
Sin (ABC) =
=
hypoténuse BC
> Nécessite :
-Longueurs du
côté opposé et
de l’hypoténuse
B
C
> Utilisation du
calcul en croix
> Exemple :
BC = 6 et ABC = 60°
C
A
Tangente
opposé
AC
=
Tan (ABC) =
adjacent
AB
> Nécessite :
-Un angle et
- Longueur du
côté opposé ou
de l’hypoténuse
B
C
>Utilisation de
l’inverse
du sinus
> Exemple :
AC = 1 et BC = 2
A
> Nécessite :
-Longueurs du
côté adjacent et
du côté opposé
B
B
C
> Utilisation
du calcul en croix
> Exemple :
BC = 4 et ABC = 30°
A
> Nécessite :
-Un angle et
- Longueur du
côté adjacent ou
du côté opposé
C
>Utilisation de
l’inverse de
la tangente
Exemple :
AC = 3 et AB = 3
A
C
> Utilisation
du calcul en croix
> Exemple :
AB = 5 et ABC = 45
sin ABC
Cos ABC
Tan ABC
AC
AC
AB
=
=
=
-1 AC
AC
AB
-1
ABC
=
tan
)
( AB
BC ABC = sin (
AB
BC
)
( BC )
1
1
1
BC
1 AB = BC × cos ABC
1 AC = BC × sin ABC ABC = tan-1 3
ABC = cos-1(
ABC = sin-1 (
)
( 3 ) AC = AB× tan ABC
)
2
2
AB = 6 × cos 60° = 3
AC= BC ×sin 30°
AC = 5 × tan 45°
ABC = 60°
ABC = 30°
ABC = 45°
= 2
=5
ABC = cos-1