UMP – ENSA Oujda 2021/2022
Mécanique du point TD N°1
On utilise un repère orthonormé cartésien R muni d’une origine et d’une base : R
( , , , )O i j k
.
I. Étant donné les vecteurs
et
, déterminer :
- Les normes des vecteurs
et
- La longueur de la différence de ces deux vecteurs
- Le vecteur 2
- 3
II. Calculer le produit scalaire de
et
. Que pouvez en déduire concernant l’angle entre
ces deux vecteurs.
III. Déterminer les vecteurs unitaires
et
portés par les vecteurs
et
respectivement. On donne :
,
IV. On donne le point P(1,2,3), trouver la distance du point P
- à l’origine
- au point M(3,-1,5)
- au plan xOy
- à l’axe Oz (faire une projection de P sur le plan xOy)
- à l’axe Oy (faire une projection de P sur le plan xOz)
- à l’axe Ox (faire une projection de P sur le plan yOz)
V. En utilisant le produit scalaire, montrer que pour tout triangle de sommets ABC, on la relation :
, où est l’angle
VI. Dans le repère ci-dessous sont représentés 4 vecteurs.
- Déterminer les coordonnées de ces vecteurs.
- Reproduire la figure sur le cahier et déterminer graphiquement la quantité vectorielle :
+
+
- Retrouver ce résultat en utilisant un calcul analytique.
VII. On considère la figure ci-contre où : AE=4cm et AC=2cm.
Associer au schéma un repère R(A,,).
Déterminer les produits scalaires :
VIII. Soit un plan P passant par A et de vecteur unitaire normal
, donner l’équation du plan P.
IX. Soient les vecteurs :
et
. Calculez:
a) Le produit vectoriel
.
b) L’aire du parallélogramme défini par et
.
c) Les valeurs des composantes et du vecteur
pour qu’il soit parallèle à
.
X. Dans l’espace muni d’un repère orthonormée directe R
( , , , )O i j k
, on considère les points A(0,1,2) et B(1,1,0)
et C(1,0,1).
a) Déterminer les coordonnées du vecteur
et vérifier que les points A et B et C sont non alignés.
b) Calculer la surface du triangle ABC.
c) Déterminer une équation cartésienne du plan ( ABC)
XI. Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs
et
. Déterminer, de deux manières
différentes, un vecteur orthogonal à
et.
XII. On considère un triangle ABC de côtés a, b et c et d’angles α, β, γ.
a) Montrer que : a² = b² +c² − 2bc cosα
b) Montrer que l’aire du triangle est
bcsinα ; en déduire que :
XIII. Déterminer les composantes de la force
dans les deux directions données par
et
.
Exercices supplémentaires
I. Soient les vecteurs :
23a i j k= + +
,
3 5 9b i j k= − +
et
c
qui joint le point P1(3,4,5) au point P2(1,-2,3).
a) Trouver la longueur de chacun de ces vecteurs
b) Montrer que
a
et
b
sont perpendiculaires
c) Trouver l’angle minimum entre
a
et
c
puis entre
b
et
c
II. Soient deux vecteurs
et
de l'espace, montrer que le produit scalaire de
et
est le nombre défini par :
III. On donne 4 vecteurs sur le quadrillage ci-contre.
a) Calculer
,
,
b) Calculer
,
,
c) Dessiner le vecteur
1
/
2
100%
