UMP – ENSA Oujda 2021/2022 Mécanique du point TD N°1 On utilise un repère orthonormé cartésien R muni d’une origine et d’une base : R (O, i , j , k ) . I. - ⃗ et 3i − 6j + 4k ⃗ . Que pouvez en déduire concernant l’angle entre Calculer le produit scalaire de 8i⃗ + 2j − 3k ces deux vecteurs. II. ⃗⃗⃗ respectivement. On donne : Déterminer les vecteurs unitaires 𝑢 ⃗ et 𝑣 ⃗⃗⃗ portés par les vecteurs a⃗⃗ et b ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ a⃗⃗ = 2i + 3j + k , b = 3i − 5j + 9k III. IV. V. On donne le point P(1,2,3), trouver la distance du point P à l’origine au point M(3,-1,5) au plan xOy à l’axe Oz (faire une projection de P sur le plan xOy) à l’axe Oy (faire une projection de P sur le plan xOz) à l’axe Ox (faire une projection de P sur le plan yOz) En utilisant le produit scalaire, montrer que pour tout triangle de sommets ABC, on la relation : ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖² = ‖𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖² + ‖𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖² − 2‖𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖‖𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 , où 𝜃 est l’angle 𝐵𝐶𝐴 ̂ ‖𝐴𝐵 VI. VII. ⃗ et B ⃗ , déterminer : ⃗ = 2i⃗ − 3j + 6k ⃗⃗⃗ = 3i + 2j − 3k Étant donné les vecteurs A ⃗ ⃗ Les normes des vecteurs A et B La longueur de la différence de ces deux vecteurs ⃗ - 3B ⃗ Le vecteur 2A - Dans le repère ci-dessous sont représentés 4 vecteurs. Déterminer les coordonnées de ces vecteurs. - Reproduire la figure sur le cahier et déterminer graphiquement la quantité vectorielle : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A1 B1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A2 B2 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ A3 B3 Retrouver ce résultat en utilisant un calcul analytique. On considère la figure ci-contre où : AE=4cm et AC=2cm. Associer au schéma un repère R(A,𝑖,𝑗). Déterminer les produits scalaires : ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐸 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐷 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐴. ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐷𝐸 𝑎 VIII. IX. Soit un plan P passant par A (𝑥𝐴 , 𝑦𝐴 , 𝑧𝐴 ) et de vecteur unitaire normal 𝑛⃗ (𝑏 ) , donner l’équation du plan P. 𝑐 ⃗ = 5𝑖 + 5𝑗. Calculez: Soient les vecteurs : 𝐴 = 3𝑖 + 2𝑗⃗ – ⃗⃗⃗𝑘 et 𝐵 ⃗⃗⃗ a) Le produit vectoriel 𝐴 𝐵. ⃗ . b) L’aire du parallélogramme défini par 𝐴 et 𝐵 ⃗⃗⃗ = 2𝑖 + 𝐶𝑦 𝑗 + 𝐶𝑧 𝑘⃗ pour qu’il soit parallèle à 𝐵 ⃗. c) Les valeurs des composantes 𝐶𝑦 et 𝐶𝑧 du vecteur 𝐶 Dans l’espace muni d’un repère orthonormée directe R (O, i , j , k ) , on considère les points A(0,1,2) et B(1,1,0) et C(1,0,1). a) Déterminer les coordonnées du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐶 et vérifier que les points A et B et C sont non alignés. b) Calculer la surface du triangle ABC. c) Déterminer une équation cartésienne du plan ( ABC) 4 −1 XI. Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs 𝑢 ⃗ ( 2 et 𝑣 ( 3 . Déterminer, de deux manières −2 4 différentes, un vecteur orthogonal à 𝑢 ⃗ et 𝑣 . X. XII. XIII. On considère un triangle ABC de côtés a, b et c et d’angles α, β, γ. a) Montrer que : a² = b² +c² − 2bc cosα 1 𝑐 b) Montrer que l’aire du triangle est 2 bcsinα ; en déduire que : 𝑠𝑖𝑛𝛾 = 𝑏 𝑠𝑖𝑛𝛽 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛𝛼 Déterminer les composantes de la force ⃗⃗⃗ 𝐹 dans les deux directions données par ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐴 et ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝐵. Exercices supplémentaires I. Soient les vecteurs : a = 2i + 3 j + k , b = 3i − 5 j + 9k et c qui joint le point P1(3,4,5) au point P2(1,-2,3). a) Trouver la longueur de chacun de ces vecteurs b) Montrer que a et b sont perpendiculaires c) Trouver l’angle minimum entre a et c puis entre b et c II. ⃗ et 𝑉 ⃗ de l'espace, montrer que le produit scalaire de 𝑈 ⃗ et 𝑉 ⃗ est le nombre défini par : Soient deux vecteurs 𝑈 2 2 2 1 ⃗ .𝑉 ⃗ = (‖𝑈 ⃗ ‖ + ‖𝑉 ⃗ ‖ − ‖𝑈 ⃗ −𝑉 ⃗‖ ) 𝑈 2 III. On donne 4 vecteurs sur le quadrillage ci-contre. ⃗ 2, ⃗⃗⃗ ⃗ 3, ⃗⃗⃗ ⃗4 a) Calculer ⃗⃗⃗ 𝑉1 . 𝑉 𝑉1 . 𝑉 𝑉1 . 𝑉 ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗4 b) Calculer 𝑉1 𝑉2, 𝑉1 𝑉3 , 𝑉1 𝑉 ⃗3 c) Dessiner le vecteur ⃗⃗⃗ 𝑉5 = (⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉2 ⃗⃗⃗ 𝑉1 ) 𝑉
