Exercices sur la géométrie vectorielle Exercice 1 ABC DE FG H est un cube. On appelle I le centre de la face BCGF . −−−→ −−→ → − Le point M est défini par la relation M A + 2M I = 0 . Démontrer que les points B, M et H sont alignés. − → − → − → Exercice 2 Dans un repère (O; i ; j ; k )de l’espace, on donne les points A(5; 0; 0), B (2; −1; 1),C (10; 1; −2) et D(3; 2; 1). −−→ −−→ On définit I le milieu du segment [BC ],L le point tel que 3 AL = AD et G le centre de gravité du triangle BC D. −−→ −−→ −−→ 1. Démontrer que les vecteurs ( AB , AC , AD ) forment une base de l’espace. −−→ −−→ −−→ 2. Dans le repère (A, AB , AC , AD ), démontrer que les droites (AI ) et (GL) sont parallèles. Exercice 3 ABC D est un tétraèdre. I et J sont les milieux respectifs des arêtes [BC ] et [AD]. G est le centre de gravité du triangle BC D.On pose : → − −−→ −−→ −−→ u = AB + AC + AD → − −→ −−→ On se propose de démontrer de deux façons que les vecteurs u , I J et DG sont coplanaires. −→ −−→ −−→ −−→ Première méthode : 1. (a) Exprimez le vecteur I J en fonction des vecteurs AB , AC et AD . −−→ −−→ −−→ −−→ (b) Exprimez le vecteur DG en fonction des vecteurs AB , AC et AD . → − −→ −−→ 2. En déduire deux nombres réels a et b tels que : u = a I J + b DG .Conclure. −−→ −−→ −−→ Deuxième méthode : On munit l’espace du repère (A, AB , AC , AD ). 1. (a) Déterminez les coordonnées des points I , J et G dans ce repère. → − −→ −−→ (b) En déduire les coordonnées des vecteurs u , I J et DG . 2. Conclure. − → − → − → Exercice 4 Dans un repère (O; i ; j ; k )de l’espace, on considère les droites d et ∆ dont une équation paramétrique est : x y d: z = = = 1+t x 2 − 3t , t ∈ R et ∆ : y 3 − 3t z = = = s −3 − 3s , s ∈ R 1−s Etudier la position relative de ces deux droites. Exercice 5 Même exercice que le précédent avec : x y d: z = 2 + 3t x = −1 − t , t ∈ R et ∆ : y = 1+t z = = = s +1 2s − 3 , s ∈ R 2−s 1 → − Exercice 6 On considère la droite d passant par le point A(0; 2; 3) et de vecteur directeur u 1 et la droite d ′ passant par 1 le point B (2; 0; −1) et C (4; −2; 2). Etudier la position relative de ces deux droites. Exercice 7 On considère la droite ∆ et le plan P dont les représentations paramétriques sont données ci-dessous : x y ∆: z = −1 + 2t x = t y , t ∈ R et P : = 2+t z = −1 + 3s − u = s +u , s ∈ R, u ∈ R = 1 + s + 2u 1. Démontrer que ∆ coupe P . 2. On appelle S le point d’intersection de ∆ et P . Déterminer les coordonnées de S. 1