Étude pratique de fonctions somme de série

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Étude pratique de fonctions somme de série
Exercice 1 [ 00901 ] [Correction]
Pour x > 0, on pose
S (x) =
+∞
X
n=1
(a) Montrer que S est bien définie sur
Enoncés
1
(c) Étudier la limite de f en +∞.
(d) Déterminer un équivalent simple de f (x) quand x → 0+ .
Exercice 4 [ 00915 ] [Correction]
Pour x ≥ 0, on pose
1
n + n2 x
S (x) =
R∗+ .
+∞
X
n=1
(b) Montrer que S est continue.
xn
1 + x2n
(c) Étudier la monotonie de S .
(a) Pour quelles valeurs de x dans R+ , S (x) est définie ?
(d) Déterminer la limite en +∞ de S puis un équivalent de S en +∞.
(b) Former une relation entre S (x) et S (1/x) pour x , 0.
(e) Déterminer un équivalent à S en 0.
(c) Étudier la continuité de S sur [0 ; 1[ puis sur ]1 ; +∞[.
(d) Dresser le tableau de variation de S .
Exercice 2 [ 00902 ] [Correction]
Sur I = ]−1 ; +∞[, on pose
S (x) =
+∞
X
1
n=1
n
−
Exercice 5
On pose
1
n+x
[ 02837 ]
[Correction]
S (x) =
(a) Montrer que S est définie et continue sur I.
+∞
X
n=0
(b) Étudier la monotonie de S .
xn
1 + xn
Étudier le domaine de définition, la continuité, la dérivabilité de S . Donner un équivalent
de S en 0 et en 1− .
(c) Calculer
S (x + 1) − S (x)
(d) Déterminer un équivalent de S (x) en −1+ .
(e) Établir
∀n ∈ N, S (n) =
n
X
1
k=1
Exercice 6 [ 03203 ] [Correction]
Définition, continuité et dérivabilité de
k
S : x 7→
(f) En déduire un équivalent de S (x) en +∞.
Exercice 3
Soit
[ 00906 ]
n=1
[Correction]
f (x) =
+∞
X
+∞
X
√
−x n
e
n=1
(a) Quel est le domaine de définition de f ?
Étudier la continuité de f sur celui-ci.
Exercice 7 [ 02529 ] [Correction]
Montrer que
f (x) =
x
n(1 + n2 x2 )
+∞
X
1
arctan(nx)
n2
n=1
est continue sur R et de classe C1 sur R∗ .
(b) Montrer que f est strictement décroissante.
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un (x) = arctan
√
√
n + x − arctan n
(a) Étudier l’existence et la continuité de la fonction S définie sur R+ par la relation
S (x) =
+∞
X
Exercice 12 [ 03644 ] [Correction]
Pour x ∈ R, on pose
S (x) =
+∞
X
(−1)n−1
n=1
un (x)
x
n + x2
(a) Montrer que la fonction S est bien définie et étudier sa parité.
n=0
(b) Montrer que la fonction S est continue.
(b) Déterminer la limite de S en +∞.
[ 03797 ]
2
(c) Établir que S est de classe C1 sur ]0 ; +∞[.
Exercice 8 [ 03427 ] [Correction]
Pour n ∈ N et x ∈ R+ , on pose
Exercice 9
On étudie
Enoncés
(c) Déterminer la limite de S en +∞.
[Correction]
f (x) =
+∞
X
n=1
1
2
n + x2
Exercice 13 [ 00916 ] [Correction]
Pour tout x ∈ R \ {−1} et n ∈ N∗ on pose
un (x) =
(a) Montrer que f est définie et de classe C1 sur R.
(b) Donner, à l’aide d’une comparaison intégrale, un équivalent de f au voisinage de
+∞.
(c) Donner un développement limité à l’ordre 2 de f en 0. On donne
(a) Justifier que la fonction f : x 7→
(−1)n−1 xn
n 1 + xn
P+∞
n=1
un (x) est définie sur R \ {−1}.
(b) Établir que pour tout x , 0,
+∞
X
(−1)n−1
f (x) + f (1/x) =
+∞
+∞
X
X
1
1
π2
π4
et
=
=
6
n2
n4 90
n=1
n=1
n
n=1
(c) Établir que f est continue sur ]−1 ; 1[ puis que f est continue sur ]−∞ ; −1[ et
]1 ; +∞[.
Exercice 10 [ 03194 ] [Correction]
Définition, continuité et classe C1 de
x 7→
(d) Établir la continuité de f en 1.
∞
X
(−1)n
n=1
n
sin
x
n
Exercice 14 [ 02835 ] [Correction]
Si x > 0 et n ∈ N∗ , soit
n x n!
k=0 (x + k)
fn (x) = Qn
Exercice 11 [ 00904 ] [Correction]
Pour t > 0, on pose
(a) Montrer l’existence de Γ(x) = limn→+∞ fn (x).
S (t) =
+∞
X
n=0
n
(−1)
1 + nt
(a) Justifier que S est définie et continue sur ]0 ; +∞[.
(b) Étudier la limite de S en +∞.
(b) Montrer
ln Γ(x) = − ln x − γx +
+∞ X
x
n=1
x − ln 1 +
n
n
(c) Montrer que Γ est une fonction de classe C1 .
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Enoncés
3
Exercice 18 [ 04070 ] [Correction]
Pour n ∈ N et x ∈ R+ , on pose
Exercice 15 [ 00905 ] [Correction]
On fixe α > 0 et on pose
α
fn (x) = e−n x et f (x) =
∞
X
fn (x)
n=0
un (x) = arctan (n + x) − arctan (n)
(a) Étudier l’existence et la continuité de la fonction S définie sur R+ par la relation
(a) Domaine de définition de f ?
(b) Continuité de f ?
(c) Étudier lim x→+∞ f (x).
S (x) =
+∞
X
un (x)
n=0
(b) Déterminer la limite de S en +∞.
Exercice 16 [ 02836 ] [Correction]
Soit α un réel. Pour tout entier n > 0 et tout réel x, on pose
un (x) =
nα x e−nx
n2 + 1
On note I le domaine de définition de
S : x 7→
∞
X
S (x) =
un (x)
n=0
(a)
(b)
(c)
(d)
Exercice 19 [ 04071 ] [Correction]
Pour x ∈ [0 ; +∞[, on pose
+∞
X
x
(−1)n−1 ln 1 +
n
n=1
Montrer que la fonction S est bien définie, de classe C1 et préciser son sens de variation.
Déterminer I.
Montrer que S est continue sur R∗+ .
A-t-on convergence normale sur R+ ?
On suppose α ≥ 2. Montrer que
∞
X
uk (1/n)
k=n+1
ne tend pas vers 0 quand n tend vers +∞.
P
La convergence de la série de fonctions un est-elle uniforme sur I ?
(e) Étudier la continuité de S sur I.
Exercice 17 [ 02971 ] [Correction]
Soit des suites réelles (an ) et (xn ) avec an > 0 pour tout n.
On suppose que la série de terme général an (1 + |xn |) converge.
On pose
∞
X
f : R → R, x 7→
an |x − xn |
n=0
Étudier la continuité et la dérivabilité de f .
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Corrections
Corrections
4
(e) La fonction t 7→
1
t(1+tx)
Z
Exercice 1 : [énoncé]
Posons
1
1
avec x > 0
fn (x) =
n + n2 x
P
(a) Soit x ∈ ]0 ; +∞[. On a fn (x) ∼ 1/n2 x donc fn (x) converge absolument.
P
On en déduit que la série fn converge simplement sur ]0 ; +∞[ et donc la fonction
P
S = +∞
n=0 fn est bien définie.
+∞
est décroissante donc par comparaison avec une intégrale
+∞
X
1
dt
un (x) ≤
≤
+
t(1 + tx) n=1
1+x
Z
1
+∞
dt
=
t(1 + tx)
Z
+∞
1
S (x) ∼ − ln(x)
x→0
1
1
≤
=O 2
n + n2 a
n
Exercice 2 : [énoncé]
1
x
= n(n+x)
est définie et continue sur ]−1 ; +∞[
(a) fn : x 7→ 1n − n+x
Soient −1 < a ≤ 0 ≤ 1 ≤ b.
(c) Chaque fn est décroissante donc la fonction S l’est aussi.
k fn k∞,[a;b] ≤
(d) Par convergence normale sur [1 ; +∞[,
+∞
X
fn (x) =
n=1
+∞
X
n=1
lim fn (x) = 0
(b) Chaque fn est croissante donc par sommation de monotonie, S est croissante.
(c)
1
x fn (x) −→ 2
x→+∞ n
x
n(1+nx) .
La série de fonctions
P
lim
+∞
X
gn (x) =
n=1
+∞
X
n=1
lim gn (x) =
x→+∞
+∞
X
n=2
donc
S (x + 1) − S (x) =
1
= 2
n
+∞
X
n=2
gn converge normalement sur R+ donc
x→+∞
2
−→ π
x→+∞ 6
S (x + 1) − S (x) =
La fonction gn croît de 0 à 1/n2 sur R+ donc
kgn k∞,[0;+∞[
b
n(n + a)
P
La série de fonction fn converge normalement sur [a ; b] et donc converge
uniformément sur tout segment inclus dans ]−1 ; +∞[.
x→+∞
On remarque
Par suite xS (x)
!
x
t +∞
1
−
dt = ln
= ln(1 + x) − ln(x)
t 1 + tx
1 + tx 1
!
P
La série de fonctions fn converge normalement sur [a ; +∞[ donc converge
uniformément sur tout segment de ]0 ; +∞[.
On peut donc conclure que S est continue.
Posons gn : x 7→
1
dt
t(1 + tx)
donc
k fn k∞,[a;+∞[
lim
+∞
Or
(b) Les fn sont continues sur R∗+ .
Soit a > 0,
x→+∞
Z
+∞
X
1
π2
=
6
n2
n=1
+∞
X1
1
1
1
−
−
−
n − 1 n + x n=1 n n + x
1
1
1
1
− −1+
=
n−1 n
x+1 x+1
(d) Quand x → −1, S (x + 1) → S (0) = 0 puis
S (x) = −
(e) S (0) = 0 et S (x + 1) − S (x) =
1
x+1
1
1
+ S (x + 1) ∼ −
x+1
x+1
donc pour tout n ∈ N,
puis
π2
S (x) ∼
x→+∞ 6x
S (n) =
n
X
1
k=1
k
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Corrections
n
P
(f) On sait nk=1 1k ∼ ln n et on sait ln(n + 1) ∼ ln n.
Puisque S (E(x)) ≤ S (x) ≤ S (E(x) + 1) on obtient
x
(a) Notons : fn : x 7→ 1+x
2n .
Pour x = 0, fn (x) = 0 donc S (x) est bien définie.
(x)
Pour x ∈ ]0 ; 1[ : fn+1
fn (x) ∼ x < 1 et S (x) est bien définie.
Pour x = 1 : fn (x) = 1/2 et S (x) n’est pas définie.
(x)
1
Pour x ∈ ]1 ; +∞[ : fn+1
fn (x) → x < 1 donc S (x) est bien définie.
P
Finalement S est définie sur [0 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[ par convergence simplement de fn
sur ce domaine.
S (x) ∼ ln E(x) ∼ ln x
Exercice 3 : [énoncé]
√
(a) Posons fn (x) = e−x n
√
P
Pour x ≤ 0, la série e−x n diverge √grossièrement.
P
Pour x > 0, n2 fn (x) → 0 donc e−x n converge absolument.
La fonction f est donc définie sur ]0 ; +∞[.
Pour a > 0,
k fn k∞,[a;+∞[ = fn (a)
P
P
et fn (a) converge donc fn converge normalement sur [a ; +∞[. Comme somme
de série de fonctions continues convergeant uniformément sur tout segment, on peut
affirmer que f est continue sur ]0 ; +∞[.
(b)
∀x ∈ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[, S (1/x) =
(c) Par convergence uniforme sur [a ; +∞[, on peut intervertir limite en +∞ et somme
infinie. Ainsi
+∞
X
lim f (x) =
lim fn (x) = 0.
n=1
x→+∞
√
(d) Par monotonie de t 7→ e−x t ,
Z n+1
e−x
√
t
dt ≤ e−x
Z
√
n
e−x
n
En sommant
Z
+∞
√
−x t
Z
0
+∞
t
dt
e−x
√
t
dt.
0
e−x
√
t
dt =
2
et
x2
f (x) ∼ +
x→0
+∞
Z
donc
Exercice 4 : [énoncé]
+∞
dt ≤ f (x) ≤
1
Z
√
n−1
e
Or
n
≤
1
2
.
x2
e−x
√
t
dt ∼
2
x2
+∞
X
n=1
+∞
X xn
1/xn
=
= S (x)
2n
1 + 1/x
1 + x2n
n=1
(c) Soit 0 < a < 1. Sur [0 ; a],
k fn k∞,[0;a] ≤ an et
+∞
X
an < 1
n=1
P
donc n≥1 fn converge normalement sur [0 ; a] et donc converge uniformément sur
tout segment de [0 ; 1[. Par théorème S est continue sur [0 ; 1[.
Par composition de fonctions continues S : x 7→ S (1/x) est aussi continue sur
]1 ; +∞[.
(b) f est somme de fonction strictement décroissante, elle donc elle-même strictement
décroissante.
x→+∞
5
(d)
fn0 (x) =
nxn−1 (1 + x2n ) − 2nx3n−1 nxn−1 (1 − x2n )
=
(1 + x2n )2
(1 + x2n )2
Chaque fn est croissante sur [0 ; 1[ et décroissante sur ]1 ; +∞[.
Par sommation de monotonie, la fonction S est croissante sur [0 ; 1[ et décroissante
sur ]1 ; +∞[.
S (0) = 0.
Quand x → 1− ,
+∞ n
X
x
2x
S (x) ≥
=
→ +∞
2
1
−x
n=1
donc lim x→1− S (x) = +∞.
Puisque S (1/x) = S (x), on obtient par composition de limites, lim x→1+ S (x) = +∞ et
lim x→+∞ S (x) = 0.
Exercice 5 : [énoncé]
Pour |x| ≥ 1, la série est grossièrement divergente.
Pour |x| < 1,
xn
∼ xn
1 + xn
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Corrections
et finalement
et donc la série est absolument convergente.
La fonction S est définie sur ]−1 ; 1[.
xn
Posons un (x) = 1+x
n.
P
un est de classe C1 , un converge simplement,
u0n (x) =
6
x→1
nxn−1
(1 + xn )2
Exercice 6 : [énoncé]
Posons
0 an−1
un ∞,[−a;a] ≤ n
∼ nan−1
1 − an
P
ce qui assure la convergence normale de u0n sur tout segment de ]−1 ; 1[.
1
Par suite la fonction S est de classe C .
1
1
S (0) = donc S (x) ∼
x→0
2
2
+∞ +∞
1 XX
(−1) p xn(p+1)
+
2 n=1 p=0
P P P p n(p+1) aussi, on peut permuter
Puisque p≥0 (−1) p xn(p+1) converge et n≥1 +∞
p=0 (−1) x
les deux sommes et affirmer
S (x) =
S (x) =
1
+
2
+∞
X
p+1
(−1) p
p=0
On a alors
x
1 − x p+1
+∞
(1 − x)S (x) =
1−x X
+
(−1) p u p (x)
2
p=0
1−x
avec u p (x) = x p+1 1−x
p+1 pour x ∈ [0 ; 1[.
La fonction u p est continue sur [0 ; 1[ et prolonge par continuité en 1 en posant
u p (1) = 1/(p + 1).
P
Le critère spécial des séries alternées s’applique à la série (−1) p u p (x) et donc
∞
X
k
(−1) uk (x) ≤ u p+1 (x)
k=p+1
x
n(1 + n2 x2 )
fn : x 7→
donc pour a ∈ [0 ; 1[,
Pour x ∈ [0 ; 1[,
ln 2
1−x
S (x) ∼ −
Sachant
2 |nx| ≤ 1 + n2 x2
on a
1
| fn (x)| ≤ 2
2n
P
On en déduit que la série de fonctions fn converge normalement sur R.
Les fonctions fn étant continue, la somme S est définie et continue sur R.
Les fonctions fn sont de classe C1 et
fn0 (x) =
1 − n2 x2
n(1 + n2 x2 )2
Soit a > 0. Pour |x| ≥ a,
1 + n2 x2
1
1
=
≤
2
2
2
2
2
n(1 + n x )
n(1 + n x ) n(1 + n2 a2 )
P
On en déduit que la série de fonctions fn0 converge normalement sur tout segment de R∗ .
La somme S est donc une fonction de classe C1 sur R∗ .
Montrons que la fonction S n’est pas dérivable en 0.
0 fn (x) ≤
+∞
X
1
1
(S (x) − S (0)) =
x
n(1 + n2 x2 )
n=1
Par comparaison avec une intégrale
1
(S (x) − S (0)) ≥
x
+∞
Z
1
dt
t(1 + t2 x2 )
∞
P
1
et une étude de variation permet d’affirmer u p+1 (x) ≤ p+2
. Ainsi, la série un converge
uniformément sur [0 ; 1] et donc sa somme est continue en 1. Cela permet d’affirmer
(1 − x)S (x) −→−
x→1
+∞
X
p=0
(−1) p
= ln 2
p+1
Par le changement de variable u = tx
1
(S (x) − S (0)) ≥
x
+∞
Z
x
dt
−→ +∞
u(1 + u2 ) x→0+
car la fonction positive u 7→ 1/u(1 + u ) n’est pas intégrable sur ]0 ; 1].
2
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Corrections
7
Soit A ∈ R+ . Il existe un rang N ∈ N tel que
Exercice 7 : [énoncé]
Posons
1
arctan(nx)
n2
Chaque fn est continue et k fn k∞ = 2nπ2 est terme général d’une série convergente.
Par convergence normale, on peut affirmer que f est définie et continue sur R.
Chaque fn est de classe C1 et
1
fn0 (x) =
n(1 + (nx)2 )
Pour a > 0, sur [a ; +∞[ ou ]−∞ ; −a],
N
X
fn (x) =
0 fn ∞ ≤
un (n) ≥ A
n=0
Pour x ≥ N,
S (x) ≥
N
X
N
X
un (x) ≥
n=0
un (N) ≥
n=0
N
X
un (n) ≥ A
n=0
On peut donc affirmer
S (x) −→ +∞
1
n(1 + (na)2 )
x→+∞
ce qui donne la convergence normale de la série des dérivées.
Ainsi, par convergence uniforme sur tout segment, on obtient f de classe C1 sur R∗ .
Exercice 9 : [énoncé]
(a) Posons
un (x) =
Exercice 8 : [énoncé]
(a) En vertu du théorème des accroissements finis
|un (x)| ≤
√
n+x−
√ n
√
sup
√ √
[ n; n+x]
(arctan)0 =
n+x−
1+n
√
Les fonctions un sont définies et de classe C1 sur R.
P
La série de fonctions un converge simplement sur R car un (x) ∼ 1/n2 .
On a
−2x
u0n (x) = 2
(n + x2 )2
n
donc
!
x
x
1
≤
=
O
√
√
√
n3/2
(1 + n)( n + n + x) 2 n(n + 1)
P
On en déduit que la série de fonctions un converge simplement et donc la fonction
S est bien définie.
Les fonctions un sont continue et pour tout a ∈ R+ ,
|un (x)| ≤
∀x ∈ [0 ; a], |un (x)| ≤
a
√
2 n(n + 1)
On peut donc affirmer la convergence uniforme sur tout segment de la série
qui assure la continuité de S .
(b) Montrons que S tend vers +∞ en +∞.
Remarquons que par le théorème des accroissements finis
√
√
√
√
√
2n − n
2−1
∼
un (n) = arctan 2n − arctan n ≥
√
1 + 2n
2 n
P
et il y a donc divergence vers +∞ de la série un (n).
1
n2 + x2
P
un ce
donc sur [−a ; a],
0 2a
un ∞ ≤ 4
n
P
et la série de fonctions u0n converge normalement et donc uniformément sur tout
segment de R.
On peut conclure que la fonction f est de classe C1 .
(b) La fonction t 7→ 1/(t2 + x2 ) est décroissante donc
Z +∞
Z +∞
dt
dt
≤
f
(x)
≤
2 + x2
2 + x2
t
t
1
0
Or
Z
0
+∞
dt
π
=
et
t2 + x2 2x
Z
1
+∞
dt
π
1
1
=
− arctan
x
t2 + x2 2x x
donc
f (x) ∼
x→+∞
π
2x
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Corrections
8
Exercice 11 : [énoncé]
(c) On peut écrire
n
!
!
1
1
1
x2
1 x4
1
=
=
1
−
+ 4 2
2
2
2
2
2
2
2
n +x
n 1 + x /n
n
n
n n + x2
et par convergence des sommes introduites
f (x) =
Or
+∞
+∞
+∞
X
X
1 X x2
1
4
−
+
x
2
4
4 (n2 + x2 )
n
n
n
n=1
n=1
n=1
+∞
+∞
X
X
1
1
≤
< +∞
4
2
2
n=1 n (n + x ) n=1 n6
donc
f (x) =
π2 π4 2
−
x + O(x4 )
6
90
(a) Posons fn (t) = (−1)
1+nt pour t > 0.
P
Par application du critère spécial des séries alternées, fn converge simplement sur
]0 ; +∞[ et
1
→0
kRn k∞,[a;+∞[ ≤
1 + na
pour tout a > 0.
Par converge uniformément sur tout segment d’une série de fonctions continue, S est
définie et continue sur ]0 ; +∞[.
(b) Par converge uniformément sur [a ; +∞[,
lim S (t) =
+∞
+∞
X
(−1)n
=1
t→+∞ 1 + nt
n=0
lim
Par application du critère spécial des séries alternées
1−
1
≤ S (t) ≤ 1
1+t
(c) Les fonctions fn sont de classe C1 et la série de fonctions
Exercice 10 : [énoncé]
Posons
x
(−1)n
sin
n
n
Puisque les fonctions fn sont toutes impaires, on limite l’étude à x ∈ [0 ; +∞[.
À partir d’un certain rang N x , on a x/n ≤ π/2 et alors
fn0 (t) =
fn : x 7→
sin (x/n) ∈ [0 ; 1]
P
La série numérique fn (x) vérifie alors les hypothèses du critère spécial des séries
alternées à partir du rang N x et par conséquent cette série converge.
P
Ainsi la série de fonctions fn converge simplement sur R et donc sa fonction somme,
que nous noterons S , est définie sur R.
Les fonctions fn sont de classe C1 et
x
(−1)n
cos
fn0 (x) =
n
n2
de sorte que
0 1
fn ∞,R = 2
n
P
On en déduit que la série de fonctions fn0 converge normalement sur R et donc la
fonction S est de classe C1 sur R, a fortiori cette fonction est continue.
La série
Puisque
P
fn0 (t) est alternée avec fn0 (t) =
0 0
fn (t) − fn+1 (t) =
P
fn converge simplement.
(−1)n+1 n
(1 + nt)2
n
.
(1+nt)2
n(n + 1)t2 − 1
(1 + nt)2 (1 + (n + 1)t)2
la suite fn0 (t) décroît vers 0 à partir d’un certain rang.
Soit a > 0.
À partir d’un certain rang n0 ,
n(n + 1)a2 − 1 ≥ 0
et alors pour tout t ≥ a, on peut appliquer le critère spécial des séries alternées à
partir du rang n0 .
On a alors
n
n
≤
|Rn (t)| ≤
2
(1 + nt)
(1 + na)2
donc
n
→0
kRn k∞,[a;+∞[ ≤
(1 + na)2
P
Ainsi la série de fonctions fn0 converge uniformément sur [a ; +∞[.
Par théorème, on peut alors conclure que S est de classe C1 .
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Corrections
Exercice 12 : [énoncé]
On pose pour tout x ∈ R et n ∈ N∗
9
(b)
x
n + x2
P
P
(a) Pour tout x ∈ R, un (x) satisfait le critère spécial des séries alternées et donc un
converge simplement. La fonction S est donc bien définie, elle est évidemment
impaire.
(b) Soit a > 0. Par le critère spécial des séries alternées
a
x
≤
pour x ∈ [−a ; a]
|Rn (x)| ≤
2
n+1
(n + 1) + x
f (x) + f (1/x) =
un (x) = (−1)n−1
et donc
a
→0
n
Il y a convergence uniforme sur [−a ; a] pour tout a > 0 et donc convergence
uniforme 1 sur tout segment de R.
De plus chaque fonction un est continue donc S est continue.
(c) Par le critère spécial des séries alternées, on peut encadrer S par deux sommes
partielles consécutives
x
x
x
−
≤ S (x) ≤
1 + x2 2 + x2
1 + x2
et on peut donc affirmer S (x) −→ 0.
kRn k∞,[−a;a] ≤
+∞
X
(−1)n−1
n
n=1
! X
+∞
xn
1/xn
(−1)n−1
=
+
1 + xn 1 + 1/xn
n
n=1
(c) Soit a ∈ [0 ; 1[.
k f k∞,[−a;a] ≤
an
an
≤
1 − an 1 − a
P
donc fn converge normalement sur [−a ; a].
Par convergence uniforme d’une série de fonctions continues sur tout segment de
]−1 ; 1[, on peut affirmer que f est continue sur ]−1 ; 1[. Puisque f (x) = C te − f (1/x),
f est aussi continue sur ]−∞ ; −1[ et sur ]1 ; +∞[ par composition de fonctions
continues.
n P
x
décroît vers 0
(d) Pour x ∈ [0 ; 1], la série un (x) est alternée et la suite n1 1+x
n
n≥0
(après étude non détaillée ici) donc le critère spécial des séries alternées s’applique et
+∞
X
1
1
xn+1
uk (x) ≤
≤
n+1
n+1
k=n+1
n+11+x
puis
kRn k∞,[0;1] ≤
x→+∞
1
→0
n+1
P
La série de fonctions continues un converge uniformément sur [0 ; 1] donc f est
continue sur [0 ; 1] et donc continue à gauche en 1. Par la relation du b) on obtient
aussi f continue à droite en 1.
Exercice 13 : [énoncé]
(a) Pour x ∈ ]−1 ; 1[,
|un (x)| = o (|x|n )
P
donc un (x) est absolument convergente donc convergente.
Pour x = 1,
(−1)n−1
un (x) =
2n
P
donc un (x) converge en vertu du critère spécial des séries alternées.
Pour x ∈ ]−∞ ; −1[ ∪ ]1 ; +∞[,
!
!
(−1)n−1
1
(−1)n−1
1
un (x) =
1−
=
+o
n
1 + xn
n
|x|n
P
donc un (x) est somme d’une série convergente et d’une série absolument
convergente.
1. Une étude des variations de la fonction x 7→ x/((n + 1) +
uniforme sur R.
x2 )
permet aussi d’établir qu’il y a convergence
Exercice 14 : [énoncé]
(a)
!
!
1
1
+ ln(n + 1) − ln(x + n + 1) = O 2
ln fn+1 (x) − ln fn (x) = x ln 1 +
n
n
P
La série ln fn+1 (x) − ln fn (x) converge donc la suite (ln fn (x)) converge puis ( fn (x))
converge vers un réel strictement positif.
(b)


n
n
X
X



ln Γ(x) = lim  x ln n +
ln k −
ln(x + k)
n→+∞
avec x ln n +
Pn
k=1
ln k −
Pn
k=0
k=1
k=0
ln(x + k) = x ln n − ln x −
Pn
k=1
ln 1 + kx .
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Or la série
O 1/n2 et
Px
n
Corrections
− ln 1 + nx est absolument convergente car de terme général en
n
X
x x
− ln 1 +
= x ln n + γx + o(1) −
ln 1 +
k
k
k
k=1
10
(c) Après étude des variations de la fonction,
kun k∞,R+ = sup |un (x)| = un (1/n) ∼
x∈R+
n X
x
k=1
1
n3−α
Il y a convergence normale si, et seulement si, α < 2.
(d) On peut écrire
donc
ln Γ(x) = − ln x − γx +
+∞ X
n=1
x
x − ln 1 +
n
n
∞
X
k=n+1
P
(c) Posons fn (x) = nx − ln 1 + nx pour x > 0 et n ≥ 1. fn est C1 , fn converge
P 0
x
0
simplement et fn (x) = n(n+x) ce qui permet d’affirmer fn converge normalement
sur tout segment[a ; b] ⊂ R∗+ .
Exercice 15 : [énoncé]
P
(a) Si x ≤ 0, la série numérique fn (x) diverge grossièrement.
P
2
2 ln n−xnα
Si x > 0 alors n fn (x) = e
→ 0 donc fn (x) est absolument convergente.
P
Ainsi fn converge simplement sur ]0 ; +∞[. f est définie sur ]0 ; +∞[.
(b) Les fonctions fn sont continues.
P
P
Pour a > 0, k fn k∞,[a;+∞[ = fn (a) et fn (a) converge donc fn converge
normalement sur [a ; +∞[. Par convergence uniforme sur tout segment, on peut
affirmer que f est continue.
(c) Par convergence uniforme sur [a ; +∞[, on peut intervertir limite en +∞ et somme
P
infinie. Ainsi lim x→+∞ f (x) = +∞
n=0 lim x→+∞ fn (x) = 1.
uk (1/n) =
∞
∞
∞
1 X kα e−k/n 1 X k2
1 X −k/n
−k/n
≥
e
≥
e
n k=n+1 k2 + 1
n k=n+1 k2 + 1
2n k=n+1
Or par sommation géométrique
∞
1
1 e−(n+1)/n
1 X −k/n
→
e
=
2n k=n+1
2n 1 − e−1/n
2e
P
donc ∞
k=n+1 uk (1/n) ne peut tendre vers 0 quand n → +∞.
S’il y avait convergence uniforme sur R+ alors
∞
∞
X
X
0≤
uk (1/n) ≤ sup uk (x) → 0
x∈R+ k=n+1
k=n+1
ce qui vient d’être exclu.
(e) Si S est continue en 0 alors par sommation de terme positif
0≤
∞
X
uk (1/n) ≤ S (1/n) → S (0) = 0
k=n+1
ce qui est encore à exclure.
Exercice 16 : [énoncé]
P
(a) Pour x < 0, un (x) −→ −∞ donc un (x) diverge grossièrement.
n→+∞
P
Pour x = 0, un (x) = 0 donc un (0) converge
P
Pour x > 0, un (x) = o(1/n2 ) par croissance comparée et donc un (x) converge
absolument.
On conclut I = R+
(b) Pour [a ; b] ⊂ R∗+ ,
kun k∞,[a;b] = sup |un (x)| ≤
x∈[a;b]
P
nα b e−na
n2 + 1
donc un est une série de fonctions continues convergeant normalement sur tout
segment de R∗+ . Sa somme est alors continue sur R∗+ .
Exercice 17 : [énoncé]
P
P
P
Puisque an > 0 et an (1 + |xn |) converge, les séries an et an xn sont absolument
convergentes.
Posons fn (x) = an |x − xn |.
Comme |an |x − xn || ≤ |an | |x| + |an xn |, la série des fonctions fn converge simplement sur R.
Les fonctions fn sont continues et sur [−M ; M], k fn k∞ ≤ Man + an |xn |.
Par convergence normale sur tout segment d’une série de fonctions continues, on peut
affirmer que la somme f est continue.
Soit [α ; β] ∈ R tel que xn < [α ; β] pour tout n ∈ N.
Les fonctions fn sont de classe C1 sur [α ; β] et fn0 (x) = εan avec |ε| = 1.
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Corrections
Par convergence normale de la série des dérivées sur [α ; β], on peut affirmer que f est de
classe C1 sur tout intervalle ouvert ]a ; b[ vérifiant ∀n ∈ N, xn < ]a ; b[.
Soit a ∈ R tel qu’il existe n ∈ N vérifiant xn = a.
En considérant A = {n ∈ N | xn = a}, on peut écrire par absolue convergence
X
X
f (x) =
an |x − a| +
an |x − xn | = α |x − a| + g(x)
n∈A
11
(b) Montrons que S tend vers +∞ en +∞.
Sachant
π
∀x > 0, arctan(x) + arctan(1/x) =
2
on peut réécrire
n∈N\A
S (x) = arctan x +
avec α > 0.
P
P
α
Puisque la série an converge, pour N assez grand, +∞
k=N+1 an ≤ 2 .
On peut alors écrire
X
X
f (x) = α |x − a| +
an |x − xn | +
an |x − xn |
n∈N\A,n≥N+1
+∞
X
n=1
1
1
arctan − arctan
n
(n + x)
!
1
1
− arctan
n
(n + x)
!
Les termes sommés étant tous positifs
S (x) ≥ arctan x +
n∈N\A,n≤N
N
X
arctan
n=1
P
La fonction x 7→ n∈N\A,n≤N an |x − xn | est dérivable au voisinage de a.
Cependant, la fonction
X
ϕ : x 7→ α |x − a| +
an |x − xn |
Or, quand x → +∞
arctan x +
n∈N\A,n≥N+1
N
X
n=1
n’est quand à elle pas dérivable en a.
En effet, pour h > 0,
α α
1
(ϕ(a + h) − ϕ(a)) ≥ α − ≥
h
2
2
alors que pour h < 0,
α
α
1
(ϕ(a + h) − ϕ(a)) ≤ −α + = −
h
2
2
Ainsi, les éventuels nombres dérivés à droite et à gauche ne peuvent pas coïncider.
1
1
arctan − arctan
n
(n + x)
N
X
n=1
x→+∞
1
π X
+
arctan
2 n=1
n
arctan
1
≥A
n
et alors, pour x assez grand
arctan x +
[n;n+x]
−→
P
Puisque la série arctan 1n est une série à termes positifs divergente, pour A ∈ R
quelconque, il existe N ∈ N tel que
Exercice 18 : [énoncé]
(a) En vertu du théorème des accroissements finis
|un (x)| ≤ x sup (arctan)0 =
N
!
N
X
n=1
!
1
1
arctan − arctan
≥A
n
(n + x)
puis
x
1 + n2
S (x) ≥ A
P
On en déduit que la série de fonctions un converge simplement et donc la fonction
S est bien définie.
Les fonctions un sont continue et pour tout a ∈ R+ ,
∀x ∈ [0 ; a], |un (x)| ≤
a
1 + n2
On peut donc affirmer la convergence uniforme sur tout segment de la série
qui assure la continuité de S .
P
un ce
Exercice 19 : [énoncé]
Posons un (x) = (−1)n−1 ln (1 + x/n).
P
Pour chaque x ≥ 0, la série un (x) est alternée et (|un (x)|)n≥0 décroît vers 0. On en déduit
P
que la série un converge simplement sur [0 ; +∞[ et la fonction S est donc bien définie.
n−1
Les fonctions un sont de classe C1 et u0n (x) = (−1)
n+x . Le critère spécial des séries alternées
P 0
s’applique encore à un (x).
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Corrections
12
Pour x ∈ [0 ; +∞[
+∞
X
1
1
≤
uk (x) ≤ |un+1 (x)| =
|Rn (x)| = n
+
1
+
x
n
+
1
k=n+1
P
On en déduit que u0n converge uniformément sur [0 ; +∞].
P
Par converge uniforme de u0n , on peut affirmer que S est de classe C1 et
S 0 (x) =
+∞
X
(−1)n−1
n=1
n+x
Par le critère spécial, le signe de cette somme est celui de son premier terme et donc
S 0 (x) ≥ 0.
La fonction S est alors croissante.
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