Espaces vectoriels

Dans tout ce chapitre,
RK 
ou C (ou un sous corps de C). (Muni des lois + et naturelles)
I Définitions
A) Définition
Soit E un ensemble, muni d’une loi de composition interne et d’une loi externe
à opérateurs dans K, notée , c'est-à-dire :
vuvu EEE 
 ),(
et
uu EE  ),(
K
.
On dit que
),,( E
est un espace vectoriel sur K/un K-espace vectoriel (K-ev)
lorsque :
),(  E
est un groupe commutatif
 Pour tous
Evu ,
,
K ,
, on a :
uu
uu
vuvu
uuu
1
)()(
)(
)(
Exemples :
),,( R
,
),),,(( RRF
,
),,( C
sont des R-ev.
),],[( XK
est un K-ev.
B) Règles de calcul
Soit
),,( E
un K-ev. Alors :
(1)
E
uEu 00, 
(neutre pour du groupe
),( E
appelé le vecteur nul de E)
Démonstration :
uuuuEu  00)00(0,
.
Donc
E
u00 
(2)
EE 00, 
K
Démonstration :
EEEEE 00)00(0 
Donc
EE 00 
.
(3)
EE uuEu 0ou 00,, 
K
Démonstration :
Le sens a été vu avec (1) et (2).
Pour : Supposons que
E
u0
et que
0
.
Montrons qu’alors
E
u0
.
On introduit
1
(ce qui est possible car
0
).
Alors
uuuu   1)()( 11
d’une part,
Et
EE
u00)( 11  
d’autre part.
Donc
E
u0
(4)
)()()(,, uuuEu   K
Démonstration :
E
uuu 0))(()( 
. Donc
)()( uu 
EE
uuuu 00)())(( 
. Donc
)()( uu 
.
(5)
ununnEu  .,, Z
(A gauche de l’égalité : itération dans
),( E
; à droite : produit externe)
Démonstration :
Espaces vectoriels

Par récurrence pour les
0n
, puis la proposition (4) pour
0n
.
Ces règles permettent des écritures simplifiées :
+ pour ,
.
pour voire omis,
u
pour la valeur commune de
)(,)( uu 
et
)( u 
.
Vocabulaire :
Dans un K-ev
),,( E
, les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments
de K des scalaires.
C) Exemple important
Soit
*Nn
On munit
n
K
)...( KKK 
de la loi et de la loi externe à opérateurs dans
K définis ainsi :
Pour tous
KK
K
n
n
n
n
yyy
xxx
),...,(
),...,(
21
21
:
),...,(),...,(),...,( 22112121 nnnn yxyxyxyyyxxx 
),...,(),...,( 2121 nn xxxxxx
.
Alors
),,( 
n
K
est un K-ev.
Démonstration :
Déjà,
),( 
n
K
est un groupe commutatif :
Le neutre pour est évidemment
)0,...0,0(
, qui est bien dans
n
K
.
Associativité :
Soient
n
zyx K,,
. Alors
),...,( 21 n xxxx 
,
),...,( 21 n yyyy 
et
),...,( 21 n zzzz 
où
K
nnn zzzyyyxxx ,...,,,...,,,..., 212121
Alors :
zyx
zyxzyxzyx
zyxzyxzyx
zzzyyyxxxzyx
nnn
nnn
nnn
)(...
)),...()(,)((
))(),...(),((...
)),...,(),...,((),...,()(
222111
222111
212121
Commutativité :
Soient
n
yx K,
,
),...,( 21 n xxxx 
,
),...,( 21 n yyyy 
. Alors :
xy
xyxyxy
yxyxyx
yyyxxxyx
nn
nn
nn
),...,(
),...,(
),...,(),...,(
2211
2211
2121
Existence d’un inverse pour de tout élément de
n
K
.
Soit
n
xK
,
),...,( 21 n xxxx 
.
Alors
),...,(' 21 n xxxx 
est dans
n
K
et est évidemment inverse de x pour .
Soient maintenant
KK  ,,, n yx
, avec
),...,( 21 n xxxx 
,
),...,( 21 n yyyy 
.
On a :

xx
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxx
xxxx
nn
nn
nn
n
n
),...,(),...,(
),...,(),...,(
),...,(
)),...()(,)((
),...,()()(
2121
2121
2211
21
21
yx
yyyxxx
yxyxyx
yxyxyx
yxyxyxyx
nn
nn
nn
nn
),...,(),...,(
),...,(
))(),...(),((
),...,()(
2121
2211
2211
2211
)(
),...,(
))(),...(),((
)),...()(,)(()(
21
21
21
x
xxx
xxx
xxxx
n
n
n
xxxx
xxxx
n
n
),...,(
)1,...1,1(1
21
21
Généralisation :
Si E et F sont deux K-ev, on peut munir naturellement
FE
d’une structure de K-
ev en posant, pour tous
K ,',,', FvvEuu
:
),(),(
)','()','(),(
vuvu
vvuuvuvu
Et plus généralement
n
EEE  ...
21
où les
i
E
sont des K-ev.
D) Vecteurs, combinaisons linéaires
Ici,
),,( E
désigne un K-ev.
Définition :
Soit
),...,( 21 n uuu
une famille finie d’éléments de E.
Une combinaison linéaire de la famille
),...,( 21 n uuu
/ des
niui,1, 
est un
élément de E du type
nn uuu 
...
2211
, c'est-à-dire
n
iii u 1
où les
i
sont des
éléments de K.
Définition :
Soit
Eu
.
Si
E
u0
, tout élément de E est dit colinéaire à u.
Si
E
u0
, les vecteurs de E colinéaires à u sont les
K ,u
.
Proposition :
La relation « être colinéaire à » est une relation d’équivalence.
En effet :
- Déjà, elle est réflexive…
- Symétrique : Supposons v colinéaire à u :
Si
E
u0
, u est bien colinéaire à v car
vu  0
Si
E
u0
, alors v s’écrit
u
où
K
.

Donc soit
0
et alors
E
v0
et donc u est colinéaire à v,
Soit
0
, et alors
vu 1
donc u est colinéaire à v.
- Transitivité : immédiate.
Définition équivalente :
Soient
Evu ,
. On a l’équivalence :
u et v sont colinéaires
)2(0,0,0\),( )1(,ou 0
E
Evu uvu  
KK
Démonstration :
(1) est simplement une autre façon d’écrire la définition.
Montrons que
)2()1( 
. Supposons (1).
Si
E
u0
, on peut prendre
)0,1(),( 
Si
E
u0
, alors il existe
K
tel que
uv 
.
Ainsi, avec
)1,(),( 
, on a bien
E
vu 0
Montrons maintenant que
)1()2( 
. Supposons (2).
Soit
0,0\),( K
tel que
E
vu 0
.
Si
0
, alors
uv  
Si
0
, alors
E
u0
. Or,
0
car
0,0),( 
. Donc
E
u0
.
II Sous-espace vectoriel
),,( E
désigne toujours un K-ev.
A) Définition
Soit F une partie de E.
On dit que F est un sous-espace vectoriel (sev) de E lorsque :
 F contient
E
0
.
 F est stable par + :
FvuFvu  ,,
 F est stable par :
FuFu  ,, K
.
Proposition :
Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors + constitue une loi de composition
interne sur F, constitue une loi externe à opérateurs dans K, et
),,( F
est un K-ev :
- Déjà,
),( F
est bien un groupe commutatif puisque F est un sous-groupe de
),( E
car
F
E0
, F est stable par + et
FuuFu  )1(,
.
- De plus, on vérifie immédiatement que les quatre règles sont bien vérifiées…
Exemples :
2
R
est un R-ev. Quels en sont les sous-espaces vectoriels ?
-
2
0R
- Pour
2
0\
2R
Ru
,
R ,u
est un sous-espace vectoriel de
2
R
.
-
2
R
.
Il n’y en a pas d’autres : si un sous-espace vectoriel de
2
R
contient deux vecteurs
non colinéaires, c’est
2
R
.
 Si E est un K-ev quelconque :
E
0
et E sont deux sous-espaces vectoriels de E.
Si
E
Eu 0\
,
R ,u
est un sous-espace vectoriel de E appelé la droite
vectorielle de E engendrée par u.
 Les sous-espaces vectoriels de
3
R
sont exactement :
-
3
0R

- Pour
3
0\
3R
Ru
,
R ,u
.
- Pour
3
0\, 3R Rvu
avec u et v non colinéaires,
R ,,vu
(plan
vectoriel)
-
3
R
 Des sous-espaces vectoriels de
),( RRF
:
0)(),,(  affHaRRF
où a est un élément de R fixé.
A
l’ensemble des fonctions du type
bxax 
,
Rba,
.
Ou même
][XR
,
][X
n
R
(où
Nn
)
),...,(),,( 10 RRRR DC
L’ensemble des fonctions paires, impaires…
B) Intersection de sous-espaces vectoriels
Théorème :
Toute intersection de sous-espaces vectoriels de E en est un sous-espace vectoriel.
Démonstration :
Soit
Iii
F )(
une famille de sous-espaces vectoriels de E.
Soit
i
Ii iFuIiEuFF 
,,
Alors
F
E0
car
iE FIi  0,
F est stable par + :
Soient
Fvu ,
. Alors
ii FvFuIi  ,,
, donc
i
FvuIi  ,
. Donc
Fvu 
F est stable par :
Soient
K ,Fu
. Alors
i
FuIi  ,
, donc
i
FuIi  ,
, donc
Fu
.
C) Définitions équivalentes
Soit
EF 
. Alors :
)t3(linéairen combinaisopar stableest
)0(0
)b3(,,,
)0(0
)3(,,,,
)0(0
)2(,,
)1(,,
)0(0
de sevun est
F
F
FvuFvu
F
FvuFvu
F
FuFu
FvuFvu
F
EF
E
E
E
E
K
K
K
Pour (3t) :
FuFuuun n
iii
n
n
n
n 
1
2121 ,),...,(,),...,(*,
KN
Démonstration :
)3()2(et )1( 
: évident.
)b3()3( 
: immédiat.
)t3()3( 
: immédiat par récurrence.
)3()t3( 
: cas particulier.
)2(et )1()0(et )b3( 
:
Si on a
)0(et )b3(
, on applique
)b3(
avec
E
u0
et on obtient (2), puis (3b) avec
1
et on obtient (1).