Espaces vectoriels

Espaces vectoriels
Dans tout ce chapitre, K  R ou C (ou un sous corps de C). (Muni des lois + et  naturelles)
I Définitions
A) Définition
Soit E un ensemble, muni d’une loi de composition interne  et d’une loi externe
à opérateurs dans K, notée  , c'est-à-dire :
E  E  E et K  E  E .
( ,u)u
(u,v)uv
On dit que ( E ,,) est un espace vectoriel sur K/un K-espace vectoriel (K-ev)
lorsque :
 ( E ,) est un groupe commutatif
 Pour tous u, v  E ,  ,   K , on a :
(   )  u    u    u
  (u  v)    u    v
(   )  u    (   u )
1 u  u
Exemples :
(R ,,) , (F(R , R ),,) , (C ,,) sont des R-ev.
(K [ X ],,) est un K-ev.
B) Règles de calcul
Soit ( E ,,) un K-ev. Alors :
(1) u  E,0  u  0E (neutre pour  du groupe ( E ,) appelé le vecteur nul de E)
Démonstration :
u  E ,0  u  (0  0)  u  0  u  0  u .
Donc 0  u  0E
(2)   K ,   0E  0E
Démonstration :
  0E    (0E  0E )    0E    0E
Donc   0 E  0 E .
(3) u  E,   K ,   u  0E    0 ou u  0E
Démonstration :
Le sens  a été vu avec (1) et (2).
Pour  : Supposons que   u  0E et que   0 .
Montrons qu’alors u  0E .
On introduit 1 (ce qui est possible car   0 ).
Alors 1  (  u)  (1   )  u  1 u  u d’une part,
Et 1  (  u)  1  0 E  0 E d’autre part.
Donc u  0E
(4) u  E ,   K , ( )  u   (  u )    ( u )
Démonstration :
  u  ()  u  (  ())  u  0E . Donc ( )  u   (  u)
  u  (  ( u))    (u   u)    0E  0E . Donc   ( u )   (  u) .
(5) u  E , n  Z , n.u  n  u
(A gauche de l’égalité : itération dans ( E ,) ; à droite : produit externe)
Démonstration :
Par récurrence pour les n  0 , puis la proposition (4) pour n  0 .
Ces règles permettent des écritures simplifiées :
+ pour  , . pour  voire omis,  u pour la valeur commune de ( )  u,  (  u )
et   (  u ) .
Vocabulaire :
Dans un K-ev ( E ,,) , les éléments de E sont appelés des vecteurs, et les éléments
de K des scalaires.
C) Exemple important
Soit n  N *
On munit K n (K  K  ...  K ) de la loi  et de la loi externe  à opérateurs dans
K définis ainsi :
( x1 , x 2 ,...x n )  K n

Pour tous ( y1 , y 2 ,... y n )  K n :
  K

( x1 , x2 ,...xn )  ( y1 , y2 ,... yn )  ( x1  y1 , x2  y2 ,...xn  yn )
  ( x1 , x2 ,...xn )  (x1 , x2 ,...xn ) .
Alors (K n ,,) est un K-ev.
Démonstration :
Déjà, (K n ,) est un groupe commutatif :
Le neutre pour  est évidemment (0,0,...0) , qui est bien dans K n .
Associativité :
Soient x, y, z  K n . Alors x  ( x1 , x2 ,...xn ) , y  ( y1 , y2 ,... yn ) et z  ( z1 , z2 ,...zn ) où
x1 , x2 ,...xn , y1 , y2 ,... yn , z1 , z2 ,...zn  K
Alors :
x  ( y  z )  ( x1 , x2 ,...xn )  (( y1 , y2 ,... yn )  ( z1 , z2 ,...zn ))
 ...  ( x1  ( y1  z1 ), x2  ( y2  z2 ),...xn  ( yn  zn ))
 (( x1  y1 )  z1 , ( x2  y2 )  z2 ,...( xn  yn )  zn )
 ...  ( x  y )  z
Commutativité :
Soient x, y  K n , x  ( x1 , x2 ,...xn ) , y  ( y1 , y2 ,... yn ) . Alors :
x  y  ( x1 , x 2 ,...x n )  ( y1 , y 2 ,... y n )
 ( x1  y1 , x 2  y 2 ,...x n  y n )
 ( y1  x1 , y 2  x 2 ,... y n  x n )
 yx
Existence d’un inverse pour  de tout élément de K n .
Soit x  K n , x  ( x1 , x2 ,...xn ) .
Alors x'  ( x1 , x2 ,...  xn ) est dans K n et est évidemment inverse de x pour  .
Soient maintenant x, y  K n ,  ,   K , avec x  ( x1 , x2 ,...xn ) , y  ( y1 , y2 ,... yn ) .
On a :
(   )  x  (   )  ( x1 , x 2 ,...x n )
 ((   ) x1 , (   ) x 2 ,...(   ) x n )
 (x1  x1 , x 2  x 2 ,...x n  x n )
 (x1 , x 2 ,...x n )  ( x1 , x 2 ,...x n )
   ( x1 , x 2 ,...x n )    ( x1 , x 2 ,...x n )
xx
  ( x  y )    ( x1  y1 , x 2  y 2 ,...x n  y n )
 ( ( x1  y1 ),  ( x 2  y 2 ),... ( x n  y n ))
 (x1  y1 , x 2  y 2 ,...x n  y n )
 (x1 , x 2 ,...x n )  (y1 , y 2 ,...y n )
 x y
( )  x  (( ) x1 , ( ) x2 ,...( ) xn )
 ( ( x1 ),  ( x2 ),... ( xn ))
   ( x1 , x2 ,...xn )
   (   x)
1 x  (1x1 ,1x2 ,...1xn )
 ( x1 , x2 ,...xn )  x
Généralisation :
Si E et F sont deux K-ev, on peut munir naturellement E  F d’une structure de Kev en posant, pour tous u, u ' E , v, v' F ,   K :
(u, v)  (u ' , v' )  (u  u ' , v  v' )

  (u, v)  (  u,   v)
Et plus généralement E1  E2  ...  En où les Ei sont des K-ev.
D) Vecteurs, combinaisons linéaires
Ici, ( E ,,) désigne un K-ev.
Définition :
Soit (u1 , u2 ,...un ) une famille finie d’éléments de E.
 
Une combinaison linéaire de la famille (u1 , u2 ,...un ) / des ui , i  1, n
élément de E du type 1  u1  2  u2  ...  n  un , c'est-à-dire
n
 u
i 1
i
i
éléments de K.
Définition :
Soit u  E .
Si u  0E , tout élément de E est dit colinéaire à u.
Si u  0E , les vecteurs de E colinéaires à u sont les   u ,   K .
Proposition :
La relation « être colinéaire à » est une relation d’équivalence.
En effet :
- Déjà, elle est réflexive…
- Symétrique : Supposons v colinéaire à u :
Si u  0E , u est bien colinéaire à v car u  0  v
Si u  0E , alors v s’écrit   u où   K .
est un
où les i sont des
Donc soit   0 et alors v  0E et donc u est colinéaire à v,
Soit   0 , et alors u  1v donc u est colinéaire à v.
- Transitivité : immédiate.
Définition équivalente :
Soient u, v  E . On a l’équivalence :
u et v sont colinéaires  u  0 E ou   K , v    u (1)
( , )K \0,0, u   v0E (2)
Démonstration :
(1) est simplement une autre façon d’écrire la définition.
Montrons que (1)  ( 2) . Supposons (1).
Si u  0E , on peut prendre ( ,  )  (1,0)
Si u  0E , alors il existe   K tel que v    u .
Ainsi, avec ( ,  )  ( ,1) , on a bien   u    v  0E
Montrons maintenant que ( 2)  (1) . Supposons (2).
Soit ( ,  )  K \ 0,0 tel que   u    v  0E .
Si   0 , alors v    u
Si   0 , alors   u  0 E . Or,   0 car ( ,  )  0,0 . Donc u  0E .
II Sous-espace vectoriel
( E ,,) désigne toujours un K-ev.
A) Définition
Soit F une partie de E.
On dit que F est un sous-espace vectoriel (sev) de E lorsque :
 F contient 0 E .
 F est stable par + : u, v  F , u  v  F
 F est stable par  : u  F ,   K ,   u  F .
Proposition :
Si F est un sous-espace vectoriel de E, alors + constitue une loi de composition
interne sur F,  constitue une loi externe à opérateurs dans K, et ( F ,,) est un K-ev :
- Déjà, ( F ,) est bien un groupe commutatif puisque F est un sous-groupe de
( E , ) car 0E  F , F est stable par + et u  F ,u  (1)  u  F .
- De plus, on vérifie immédiatement que les quatre règles sont bien vérifiées…
Exemples :
 R 2 est un R-ev. Quels en sont les sous-espaces vectoriels ?
- 0 R 2 
 
- Pour u  R 2 \ 0R 2 ,   u,   R est un sous-espace vectoriel de R 2 .
2
-R .
Il n’y en a pas d’autres : si un sous-espace vectoriel de R 2 contient deux vecteurs
non colinéaires, c’est R 2 .
 Si E est un K-ev quelconque :
0E  et E sont deux sous-espaces vectoriels de E.
Si u  E \ 0 E ,   u,   R est un sous-espace vectoriel de E appelé la droite
vectorielle de E engendrée par u.
 Les sous-espaces vectoriels de R 3 sont exactement :
- 0 R 3 
 
u, v  R \ 0  avec u et v non colinéaires,   u    v, ,   R (plan
- Pour u  R 3 \ 0R 3 ,   u,   R.
3
- Pour
R3
vectoriel)
- R3
 Des sous-espaces vectoriels de F(R , R ) :
H a   f  F(R , R ), f (a)  0 où a est un élément de R fixé.
A  l’ensemble des fonctions du type x  a  x  b , a, b  R .
Ou même R [ X ] , R n [X ] (où n  N )
C 0 (R , R ), D1 (R , R ),...
L’ensemble des fonctions paires, impaires…
B) Intersection de sous-espaces vectoriels
Théorème :
Toute intersection de sous-espaces vectoriels de E en est un sous-espace vectoriel.
Démonstration :
Soit ( Fi ) iI une famille de sous-espaces vectoriels de E.
Soit F   Fi  u  E , i  I , u  Fi 
iI
Alors 0E  F car i  I ,0 E  Fi
F est stable par + :
Soient u, v  F . Alors i  I , u  Fi , v  Fi , donc i  I , u  v  Fi . Donc u  v  F
F est stable par  :
Soient u  F ,   K . Alors i  I , u  Fi , donc i  I ,   u  Fi , donc   u  F .
C) Définitions équivalentes
Soit F  E . Alors :
0 E  F

F est un sev de E  u, v  F , u  v  F
  K , u  F ,   u  F

(0)
(1)
(2)
(0)
0  F
 E
 ,   K , u , v  F ,   u    v  F (3)
(0)
0  F
 E
  K , u , v  F , u    v  F (3b)
0  F
 E
 F est stable par combinaiso n linéaire
(0)
(3t )
n
Pour (3t) : n  N *, (u1 , u2 ,...un )  F n , (1 , 2 ,...n )  K n ,  i  ui  F
i 1
Démonstration :
(1) et (2)  (3) : évident.
(3)  (3b) : immédiat.
(3)  (3t ) : immédiat par récurrence.
(3t )  (3) : cas particulier.
(3b) et (0)  (1) et (2) :
Si on a (3b) et (0) , on applique (3b) avec u  0E et on obtient (2), puis (3b) avec
  1 et on obtient (1).
D’où toutes les équivalences.
De plus, on peut partout remplacer (0) par (0b) : « F   ».
D) Sous-espace vectoriel engendré par
Définition :
Soit A  E . Le sous-espace vectoriel engendré par A, noté Vect ( A) , est le plus
petit des sous-espaces vectoriels de E contenant A.
Justification :
L’ensemble  des sous-espaces vectoriels de E contenant A n’est pas vide,
puisqu’il contient E, et l’intersection  X est un sous-espace vectoriel de E contenant
X 
A, et est contenu dans chaque X de  , c’est donc bien le plus petit éléments de  .
Proposition :
 Vect ()  0E 
 Si u  E \ 0E , Vect (u)    u,   K , noté aussi Vect (u ) .
 A est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si Vect ( A)  A .
 Si F est un sous-espace vectoriel de E, et si A  F , alors Vect ( A)  F
(En effet, F  et Vect ( A)  min X )
X 
 Si A  B , alors Vect ( A)  Vect ( B) :
A  B  Vect ( B) .
Donc A  Vect ( B ) . Donc Vect ( A)  Vect ( B) (d’après le point précédent).
Cas particulier :
Sous-espace vectoriel engendré par une partie finie :
Soient u1 , u2 ,...un des vecteurs de E.
Alors Vect (u1 , u2 ,...un ) , plutôt noté Vect (u1 , u2 ,...un ) , est appelé le sous-espace
vectoriel de E engendré par la famille (u1 , u2 ,...un ) ou « par les ui »
Proposition :
Vect (u1 , u2 ,...un ) est l’ensemble des combinaisons linéaires des ui , c'est-à-dire :
 u

 2u2  ...  nun , (1 , 2 ,...n )  K n
Démonstration :
Notons C (u1 , u2 ,...un )  1u1  2u2  ...  nun , (1 , 2 ,...n )  K n .
1 1
Alors C (u1 , u2 ,...un ) contient 0 E et est stable par + et 
(car
n
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
 iui    'i ui   (i   'i )ui et    iui   (i )ui )
Donc C (u1 , u2 ,...un ) est un sous-espace vectoriel de E contenant les ui , et c’est le
plus petit car si un sous-espace vectoriel de E contient les ui , il en contient alors toutes
les combinaisons linéaires. Donc Vect (u1 , u2 ,...un )  C (u1 , u2 ,...un ) .
Vocabulaire :
 Si F est le sous-espace vectoriel engendré par une famille (finie)
F  (u1 , u2 ,...un ) de vecteurs de E, on dit que F est une famille génératrice de F.
 Si un espace vectoriel E admet une famille génératrice finie, on dit que E est de
type fini.
Exemple :
K n est de type fini, une famille génératrice étant (1,0,...0), (0,1,0,...,0),..., (0,0,...,1)
K [ X ] n’est pas de type fini. En effet, supposons qu’il admette une famille
génératrice finie ( P1 , P2 ,...Pm ) ; si on prend N  max (deg( Pi )) , on aurait alors
i 1, m 
P  K [ X ], deg P  N ce qui est faux.
Propriétés :
Pour tout (u1 , u2 ,...um )  E m , on a :
Pour tous i, j  1, m  avec i  j :

Vect (u1 , u 2 ,..., u i ,..., u j ,..., u m )  Vect (u1 , u 2 ,..., u j ,..., u i ,..., u m )


Pour tout i  1, m et tout a  K \ 0 :

Vect (u1 , u 2 ,..., aui ,..., u m )  Vect (u1 , u 2 ,..., ui ,..., u m )
 
Pour tout i, j  1, m distincts et tout   K :

Vect (u1 , u2 ,..., ui  u j ,..., um )  Vect (u1 , u2 ,..., ui ,..., um )
Démonstration (3ème point) :
Soit w  Vect (u1 , u2 ,..., ui  u j ,..., um )
  

 
u '1 u '2
u 'i
u 'm
m
Alors w    k u ' k    k u k  i (u i  u j )
k 1
k i
m
  k uk
k 1
k si k  j
Avec k  
 j  i si k  j
L’autre inclusion est analogue.
On a donc un algorithme pour déterminer le Vect (sur un exemple) :
Vect[(1,2,3,4), (4,6,0,2), (1,4,9,2)]  Vect[(1,2,3,4), (0,2,12,14), (0,2,6,2)]
 

u 2  4 u1
u3 u1
 Vect[(1,2,3,4), (0,1,3,1), (0,0,6,16)]
 Vect[(1,2,3,4), (0,1,3,1), (0,0,3,8)]
 Vect[(1,2,0,4), (0,1,0,9), (0,0,3,8)]
 Vect[(1,0,0,14), (0,1,0,9), (0,0,3,8)]
 Vect[(1,0,0,14), (0,1,0,9), (0,0,1, 83 )]
 x(1,0,0,14)  y (0,1,0,-9)  z (0,0,1, 83 ), x, y, z  R 
 ( x, y, z ,14 x  9 y  83 z ), x, y, z  R 
Ainsi, on a l’équivalence :
Pour tout ( x, y, z, t )  R 4 ,
( x, y, z, t )  Vect[(1,2,3,4), (4,6,0,2), (1,4,9,2)]  t  14 x  9 y  83 z
Autre résultat :
Si 1  p  m , alors Vect (u1 , u2 ,..., u p )  Vect (u1 , u2 ,..., um ) .
Pour tout v  E , v  Vect (u1 , u2 ,..., um )  Vect (u1 , u2 ,..., um , v)  Vect (u1 , u2 ,..., um )
III Sommes et sommes directes
( E ,,) désigne ici encore un K-ev.
Définition et proposition :
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
La somme de F et G est :
F  G  u  v, u  F , v  G  w  E , (u, v)  F  G, w  u  v
déf
Alors F  G est un sous-espace vectoriel de E, et c’est même Vect ( F  G ) .
En effet :
Déjà, F  G est un sous-espace vectoriel de E, car il contient 0 E et est stable par ,
(évident en utilisant la deuxième égalité de la définition de F  G )
De plus, F  G contient F (car tout u de F s’écrit u  0 E où 0E  G ) et G.
Il contient donc F  G .
Enfin, si un sous-espace vectoriel de E contient F  G , alors il contient au moins F  G
car il contient tous les éléments de F, tous les éléments de G et est stable par +, donc contient
tous les u  v pour u  F et v  G .
Exemple :
- Dans E  F(R , R ) :
Soit F l’ensemble des fonctions polynomiales de degré  3 , G l’ensemble des fonctions
de classe C 2 et négligeables devant x  x 2 au voisinage de 0.
Alors F  G  C 2 (R , R ) . En effet :
Une première implication est déjà évidente. Pour l’autre :
Soit f  C 2 (R , R ) . Alors f admet un DL à l’ordre 2 en 0 :
x  R , f ( x)  a0  a1 x  a 2 x 2  x 2 ( x)
 
P( x)
h( x)
Alors h est de classe C car h  f  P , et de plus h  o( x 2 ) en 0.
D’où l’autre inclusion et l’égalité.
- Dans R 4 : F  Vect ((1,2,0,0)), G  ( x, y, z, t )  R 4 , x  z  y  t  0
Alors G  ( x, y, x, y), x, y  R  Vect ((1,0,1,0), (0,1,0,1))
Et donc F  G  Vect ((1,2,0,0), (1,0,1,0), (0,1,0,1)) .
2


Somme directe, définition :
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
On dit que la somme F  G est directe lorsque tout élément de F  G s’écrit de
manière unique sous la forme u  v avec u  F et v  G .
Autrement dit, étant donné qu’on connaît déjà l’existence (par définition) de l’écriture,
la définition devient :
La somme de F et G est directe  (u, v)  F  G, (u' , v' )  F  G,
(u  v  u'v'  u  u' et v  v' )
Exemple :
La somme de deux droites vectorielles distinctes dans R 2 .
Proposition :
On a l’équivalence entre les propositions suivantes :
(1) La somme de F et G est directe (expression de la définition précédente)
(2) (u, v)  F  G, (u  v  0E  u  0E et v  0E )
(3) F  G  0E 
((1) : (u, v)  F  G, (u ' , v' )  F  G, (u  v  u 'v'  u  u ' et v  v' ) )
Démonstration :
- On voit déjà que (1)  ( 2) (c’est un cas particulier avec (u' , v' )  (0E ,0E ) )
- Montrons que (2)  (3) . Supposons (2) :
Soit alors w  F  G
On a : w  (w)  0E . Or, w F et  w G (car w G et G est stable par  )
Donc, d’après (2), w  0 E (et  w  0 E ), d’où une inclusion et l’égalité.
- Montrons que (3)  (1) . Supposons (3).
Soient (u, v)  F  G, (u ' , v' )  F  G . Supposons que u  v  u'v' .
Alors u  u'  v'v , et u  u ' F , v'v  G , donc u  u ' F  G, v'v  F  G .
Donc u  u' 0E et v'v  0 E , c'est-à-dire u  u' et v  v' .
D’où les équivalences.
Notation :
Si la somme de F et G est directe, on peut la noter F  G .
Définition :
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E.
On dit que F et G sont supplémentaires dans E lorsque :
 F G  E

F  G  0 E 
Ainsi, lorsque F et G sont supplémentaires dans E, on peut noter E  F  G .
Deux sous-espaces vectoriels F et G sont supplémentaires dans E si et seulement si tout
élément de E s’écrit de manière unique u  v , où u  F et v  G .
IV Applications linéaires
Dans ce paragraphe, E, F et G sont trois K-ev.
A) Définition
Soit  : E  F .
On dit que  est linéaire/un morphisme du K-ev E vers le K-ev F lorsque :
u, u ' E ,  (u  u ' )   (u )   (u ' )
u  E ,   K ,  (  u )     (u )
Proposition :
Si  est une application linéaire de E dans F, alors  est un morphisme du groupe
( E , ) vers ( F ,) .
Vocabulaire :
 L’ensemble des applications linéaires de E vers F est noté L ( E , F )
 Une application linéaire de E vers E s’appelle aussi un endomorphisme de E, et
L ( E , E ) est plutôt noté L(E ) .
 Une application linéaire de E vers K s’appelle forme linéaire de E. L( E , K ) est
noté E * . L’ensemble des formes linéaires de E s’appelle le dual de E.
Caractérisations équivalentes :
Soit  : E  F .
(1)   L( E, F )  ( ,  )  K 2 , (u, u' )  E 2 ,  ( .u  .u' )   . (u)   . (u' ) (2)
   K , (u, u' )  E 2 ,  (u  .u' )   (u)  . (u' )
(3)
En effet :
(1)  (2)  (3) : évident.
Montrons que (3)  (1) .
On applique (3) avec   1 . Donc (u, u' )  E 2 ,  (u  u' )   (u)   (u' )
Donc avec (u, u' )  (0E ,0E ) ,  (0E )  0F .
Donc   K , u  E, (0E    u)   (0E )    (u)  0F    (u)    (u)
Exemple :
 L’application nulle de E dans F est linéaire.
 L’application identité de E dans E est linéaire.
 Les applications linéaires de R dans R sont exactement les applications de la
forme x  a  x où a  R :
o Déjà, si f est de la forme f : x  a  x , alors f est linéaire, car :
  R ,x, x' R , f ( x  .x' )  a( x  .x' )  ax  .(ax' )  f ( x)  . f ( x' )
o Inversement, soit f  L(R ) .
Alors, pour tout x  R , f ( x)  f ( x.1)  x. f (1)
Ainsi, avec a  f (1) , on a bien x  R , f ( x)  a.x .
 L’application D : D1 (R , R )  F(R , R ) est linéaire.
ff'
 L’application SC (N , R )  R
est une forme linéaire de SC (N , R )
ulim( u)
( SC (N , R ) est l’ensemble des suites convergentes)
L’application  : F(R , R )  R est linéaire :
f  f ( )
Pour tous f , g  F(R , R ) ,  ( f  g )  ( f  g )( )  f ( )  g ( )   ( f )  ( g )
Pour tout f  F(R , R ) et   R ,  (. f )  (. f )( )  . f ( )  . ( f ) .


L’application R 2  R n’est pas linéaire.
( x, y ) xy
Mais, à x fixé, R  R est linéaire (idem si y est fixé)
y xy
On dit alors que R 2  R est bilinéaire.
( x, y ) xy
B) Noyau et image
Soit   L( E , F ) .
Le noyau de  , c’est le noyau du morphisme de groupe :
ker   x  E, ( x)  0E .
Alors u, u ' E , ( (u )   (u ' )  u  u ' ker  .
Donc  est injective  ker   0E  .
En effet :
- Si  est injective :
Soit u  ker  . Alors  (u)  0F   (0E ) . Donc u  0E .
D’où une première inclusion, et l’égalité, l’autre inclusion étant évidente.
- Supposons maintenant que ker   0 E .
Si  (u )   (u ' ) , alors u  u ' ker  , donc u  u' 0E . Donc u  u' .
Donc  est injective.
Proposition :
ker  est un sous-espace vectoriel de E.
Démonstration :
Déjà, ker   E , et 0E  ker  .
Soient u, u ' E ,   K . On a :
 (u  .u' )   (u)  . (u' )  0F  .0F  0F
L’image de  est Im   ( E)   (u), u  E  v  F , u  E, (u)  v .
Alors  est surjective si et seulement si Im   F .
Proposition :
Im  est un sous-espace vectoriel de F.
Démonstration :
Déjà, Im   F et 0 F  Im  car  (0E )  0F .
Im  est stable par + et  :
Soient v, v' Im  ,   K .
Il existe alors u , u ' E tels que v   (u ), v'   (u ' ) .
Alors v  .v'   (u )  . (u ' )   (u  .u ' ) . Donc v  .v' Im  .
C) Image directe, image réciproque d’un sous-espace vectoriel
Proposition :
Soit   L( E , F ) .
L’image directe par  d’un sous-espace vectoriel de E est un sous-espace
vectoriel de F.
L’image réciproque par  d’un sous-espace vectoriel de F est un sous-espace
vectoriel de E.
Cas particulier :
 (E ) est un sous-espace vectoriel de F (c’est Im  )
 1 (0 F ) est un sous-espace vectoriel de E (c’est ker  )
(On adapte aisément la démonstration de ces cas particuliers pour le cas général de
la proposition)
D) Structure sur des ensembles d’applications linéaires
1) Somme, produit par un réel
Soient  ,  L( E , F ) ,   K .
On définit :
et . : E  F
  : E  F
u (u ) (u )
u. (u )
Alors   , .  L( E , F ) .
On peut donc considérer ( L( E , F ),,) , et ( L( E , F ),,) est un K-ev (et
même un sous-espace vectoriel de (F( E , F ),,) ).
Démonstration :
Déjà, on vérifie que (F( E , F ),,) est un K-ev…
L ( E , F ) est une partie de F( E , F ) , contient x  0 F et est stable par + et  :
Soient  ,  L( E , F ) ,   K .
On a, pour tous u , u ' E et tout   K :
(   )(u   .u ' )   (u   .u ' )   (u   .u ' )
  (u )   . (u ' )   (u )   . (u ' )
 (   )(u )   .(   )(u ' )
(. )(u   .u ' )  . (u   .u ' )
 .( (u )   . (u ' ))
 .( (u ))  .(  . (u ' ))
 (. )(u )   .((. )(u ' ))
Donc   , .  L( E , F ) , et L ( E , F ) est un sous-espace vectoriel de
(F( E , F ), ,) , donc un K-ev.
2) Composition
Proposition :
La composée, quand elle est définie, de deux applications linéaires est
linéaire.
Démonstration :
Soient   L( E , F ) et   L( F , G ) . Alors    est bien définie et va de E
dans G. Et de plus, elle est linéaire :
Pour tous u , u ' E et tout   K , on a :
(   )(u   .u ' )   ( (u   .u ' ))
  ( (u )   . (u ' ))
  ( (u ))   . ( (u ' ))
 (   )(u )   .(   )(u ' )
Propriétés :
Pour tous  ,  ' L( E , F ) ,  , ' L( F , G ) et tout   K , on a :
  (   ' )        ' (1)
(  ' )        ' (2)
  (. )  .(   )
(3)
(. )    .(   )
(4)
Démonstration :
Déjà, les applications sont bien définies et vont de E dans G.
De plus, pour tout u  E :
 [  (   ' )](u )   [(   ' )(u )]   [ (u )   ' (u )]
  ( (u ))   ( ' (u ))  (   )(u )  (   ' )(u )
 [       ' ](u )
D’où (1).
 [(   ' )   ](u )  (   ' )( (u ))   ( (u ))   ' ( (u ))
 (   )(u )  ( ' )(u )  [     ' ](u )
D’où (2) (ici, on n’a pas utilisé la linéarité…)
 [  (. )](u )   [(. )(u )]   [. (u )]  . ( (u ))  .(   )(u )
 [.(   )](u )
D’où (3)
 [(. )   ](u )  (. )( (u ))  .( ( (u ))  .(   )(u )
 [.(   )](u )
D’où (4) (on n’a pas non plus utilisé la linéarité)
Conséquence :
 définit une loi de composition interne sur L(E ) , et ( L( E ),,) est un
anneau :
( L( E ),) est un groupe commutatif (car ( L( E ), ,) est un K-ev).
De plus, il résulte de (1) et (2) que  est distributive sur +, et on sait que 
est associative (vrai dans F( E , E ) ).
Enfin, il y a un neutre, à savoir Id E .
Attention, l’anneau n’est ni commutatif ni intègre en général.
Exemple :
.
f : R2  R2 , g : R2  R2
( x, y)( x, x)
( x, y)( x y,0)
Alors f  L(R 2 ) :
Soient u, u ' R 2 ,   R , u  ( x, y ), u '  ( x' , y ' ) . Alors :
f (u  .u ' )  f (( x, y )  .( x' , y ' ))  f ( x  .x' , y  . y ' )
 ( x  .x' , x  .x' )  ( x, x)  .( x' , x' )
 f (u )  . f (u ' )
Et g  L(R 2 ) :
Soient u, u ' R 2 ,   R , u  ( x, y ), u '  ( x' , y ' ) . Alors :
g (u  .u ' )  g (( x, y )  .( x' , y ' ))  g ( x  .x' , y  . y ' )
 ( x  .x'( y  . y ' ),0)  ( x  y,0)  .( x' y ' ,0)
 g (u )  .g (u ' )
On a alors :
et g  f : R 2  R 2
f  g : R2  R2
( x, y)( x y, x y)
( x, y)(0,0)
Ce qui montre la non commutativité et la non intégrité.
3) Inversion (éventuelle)
Proposition :
Soit   L( E , F ) . Si  est bijective, alors  1  L( F , E ) . On dit alors
 est un isomorphisme de E vers F.
Deux espaces vectoriels sont dis isomorphes lorsqu’il existe
isomorphisme de l’un vers l’autre.
Démonstration :
Soient v, v' F et   K .
On doit montrer que  1 (v  .v' )   1 (v)  . 1 (v' ) , c'est-à-dire
v  .v' a pour antécédent  1 (v)  . 1 (v' ) par  , ce qui est vrai
que
un
que
car
 ( 1 (v)  . 1 (v' ))   ( 1 (v))  . ( 1 (v' ))  v  .v'
Vocabulaire :
Automorphisme de E = application linéaire bijective de E dans E.
= isomorphisme de E dans E.
= endomorphisme bijectif de E.
L’ensemble des automorphismes de E est noté GL(E ) .
Alors GL(E ) est stable  , et (GL( E ),) est un groupe (le groupe linéaire de
E). C’est le groupe des éléments inversibles de l’anneau ( L( E ), ,) .
Attention, ce groupe n’est pas non plus commutatif en général.
Exemple :
Soient f : R 2  R 2
et g : R 2  R 2
( x, y)( x y, x y )
( x, y)( y, x)
Alors f et g sont linéaires et bijectives.
(g est bijective car involutive, et f  f  2Id R 2 , donc f 1  12 f )
Et :
f  g : ( x, y)  ( y  x, y  x)
 g  f (1,1)  (0,2)
 g  f  f  g car 
g  f : ( x, y)  ( x  y, x  y )
 f  g (1,1)  (2,0)
4) Autre opération
Soit f une application linéaire de E dans K (une forme linéaire de E).
Soit w0  F .
Alors l’application  :E  F
est linéaire.
u f (u ).w0
En effet :
Soient u, v  E ,   K . Alors :
 (u  .v)  f (u  .v).w0  f (u).w0  . f (v).w0   (u)  . (v)
Exemple :
L’application P1 :
R 3  R est linéaire :
( x, y, z ) x
Pour tous u  ( x, y, z ), u'  ( x' , y' , z ' )  R 3 et   R , on a :
P1 (u  .u' )  P1 (( x  .x' , y  . y' , z  .z' ))  x  .x'  P1 (u)  .P1 (u' )
P1 est la « première projection canonique de R 3 sur R »
De même, P2 : R 3  R et P3 : R 3  R sont linéaires.
( x, y, z ) y
( x, y, z ) z
- Il résulte du 1) que pour tous a, b, c  R , f :
est
R3  R
( x, y, z )a.xb. yc.z
linéaire, car f  aP1  bP2  cP3 .
- Et du 4) que pour tout a, b, c  R , f1 :
est linéaire,
R3  R2
( x, y, z )(a.xb. yc.z,0)
car f1  f .(1,0) : f1 : R 3  R
u f (u ).(1,0)
R3  R2
( x, y, z )(0,a'.xb'.y c'.z )
D’où F :
est linéaire.
R3  R2
( x, y, z )(a.xb. yc.z,a'.xb'.yc'.z )
On verra que toutes les applications de R 3 dans R 2 sont de ce type.
(On peut généraliser le résultat à K n , K p )
De même, f 2 :
V Quelques endomorphismes intéressants
E désigne toujours un K-ev.
A) Homothétie (vectorielle)
Définition :
Une homothétie de E est une application du type : E  E , où   K .
u .u
Proposition :
Pour tout   K , l’application f : E  E , appelée homothétie de rapport  est
u  .u
linéaire. Elle est nulle si   0 , sinon elle est bijective, d’inverse f1/ 
B) Projecteurs (vectoriels)
Définition :
Soient F, G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. Le projecteur sur
F selon G est l’application p : E  E , où v est l’élément de E tel que u  v  w avec
u v
v  F , w  G . (la définition a bien un sens, car tout élément de E s’écrit v  w de
manière unique avec v  F et w G )
On écrit parfois p : E  F  G  E .
u v wv
Proposition :
L’application p est linéaire, de noyau G et d’image F.
Démonstration :
Soient u, u ' E ,   K . Alors u  v  w
 , u'  v'  w
' .
F
G
F
G

.v'  w

.
w' , soit p(u  .u ' )  v  .v'  p(u )  . p(u ' ) .
Donc u  .u '  v


F
G
Noyau :
Soit u  E , u  v  w
 . On a les équivalences :
F
G
u  ker p  p(u)  0E  v  0E  u  G
Image :
On voit déjà que Im p  F . Inversement, F  Im p car tout élément v de F est
l’image d’un élément de E, par exemple lui-même.
Définition :
Soit f : E  E . On dit que f est un projecteur lorsqu’il existe deux sous-espaces
vectoriels supplémentaires dans E tels que f est le projecteur sur F selon G.
Vocabulaire :
p est le projecteur sur F selon G.
Pour u  E , p (u ) est la projection de u sur F selon G.
Théorème :
Soit f  L(E ) .
Alors f est un projecteur  f  f  f .
Démonstration :
Soit f un projecteur, disons sur F selon G où F  G  E
Alors f 2  f :
Soit u  E . u  v  w
 , et f (u )  v .
F
G
De plus, f  f (u )  f ( f (u ))  f (v)  v  f (u ) .
C’est valable pour tout u, donc f 2  f .
Soit f  L(E ) , supposons que f  f  f .
Posons F  Im f et G  ker f .
Alors déjà F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E. Montrons qu’ils sont
supplémentaires.
Soit u  E . Alors f (u )  F , et on a :
u
f (u )  u  f (u )
F
f (u  f (u))  f (u)  f ( f (u))  0E , donc u  f (u )  G
Donc déjà F  G  E .
Montrons maintenant que F  G  0E  :
Soit u  F  G .
u  F . Donc u  f (u ' ) où u' E .
Comme u  G , f (u)  0 E , soit f ( f (u' ))  0E . Comme f 2  f , f (u' )  0E .
Donc u  f (u' )  0E , d’où une première inclusion, et l’égalité, l’autre inclusion
étant évidente.
Donc F  G  E
Montrons maintenant que f es le projecteur sur F selon G.
Soit u  E .
Alors u  
f (u )  (u  f (u )) . Donc f (u ) est la composante selon F dans la


F
G
décomposition de u sous la forme v  w

F
G
Remarque :
Si p est le projecteur sur F selon G, alors :
F  u  E , p(u )  u
 ensemble des invariants par p
 ker( p  Id E )
En effet, p(u )  u  v  u  w  0  u  F



( p  Id E )( u )  0 E
Définition :
Soit p la projection sur F selon G.
Le projecteur associé à p est le projecteur q sur G selon F.
Ainsi, p  q  Id E .
G
q(u )
u
p(u )
u  p(u )  q(u )
F
G
F
Cas particuliers :
Le projecteur sur E selon 0 E  est l’identité sur E.
Le projecteur sur 0 E  selon E est l’application nulle.
C) Symétries (vectorielles)
Définition :
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E supplémentaires. La symétrie par
rapport à F selon G est l’application f : E  F  G  E .
u  v  w  vw
G
w
u
v
F
f (u )
Proposition :
Si f est le symétrique par rapport à F selon G, alors :
 f  L(E ) .
En effet, on remarque que f  p  q  2 p  Id E , où p est le projecteur sur F selon
G et q le projecteur associé à p)
 f est bijective, et même involutive.
Ainsi, f  f  Id E , Im f  E (car f est surjective), et ker f  0E  (car f est
injective)
 F  u  E , f (u )  u  ker( f  Id E )
G  u  E , f (u )  u  ker( f  Id E )
Théorème :
Soit f  L(E ) .
Alors f est une symétrie  f  f  Id E
(  f est involutive)
(  f est élément d’ordre  2 du groupe GL(E ) )
Démonstration :
 a déjà été vu.
 : supposons que f 2  Id E .
Posons F  ker( f  Id E ) et G  ker( f  Id E ) .
Alors F et G sont deux sous-espaces vectoriels de E, car ce sont des noyaux
d’endomorphismes de E.
F  G  0E  car si u  F  G , alors f (u )  u et f (u )  u ,
donc 2.u  0E , soit u  0E (car 2  0 )
1
1
De plus tout élément u de E s’écrit u  v  w
 , car u  2 (u  f (u))  2 (u  f (u)) .
F
G
Or, u  f (u )  F car f (u  f (u ))  f (u )  f ( f (u ))  f (u )  u  u  f (u )






x
x
Et u  f (u )  G car f (u  f (u ))  f (u )  f ( f (u ))  f (u )  u  (u  f (u ))
Enfin, f est la symétrie par rapport à F selon G. En effet :
1
1
Si u  v  w
 , on a v  2 (u  f (u)) et w  2 (u  f (u)) .
F
G
Donc v  w  f (u ) .
VI Familles libres (finies)
E désigne toujours un K-ev.
A) Définition
Soit F  (u1 , u2 ,...un ) une famille de vecteurs de E.
F est libre  la seule combinaison linéaire des ui qui donne 0 E est celle dont
déf
tous les coefficients sont nuls.
 n

 (1 , 2 ,...n )  K n ,   k uk  0 E  i  1, n , i  0 
 k 1

Vocabulaire :
 (u1 , u2 ,...un ) est liée  (u1 , u2 ,...un ) n’est pas libre.
déf

n
Lorsque (u1 , u2 ,...un ) est liée, une relation du type
 u
k 1
k
k
 0 E où les k sont
non tous nuls s’appelle une relation de dépendance linéaire.
Pour dire que (u1 , u2 ,...un ) est libre, on dit parfois que les ui sont linéairement
indépendants.
Exemples :
- Par convention, une famille vide est libre.
- Cas d’une famille de 1 vecteur u1 .
La famille (u1 ) est libre  u1  0E
- Cas d’une famille de 2 vecteurs u1 ,u2
(u1 , u2 ) est libre si et seulement si u1 et u2 ne sont pas colinéaires.

B) Propriétés générales
 Si une famille contient 0 E , elle est liée :
Si ui  0 E , alors 1 .ui  0 E
0
 Si une famille contient deux vecteurs égaux, elle est liée :
Si ui  u j (avec i  j ), alors ui  u j  0 E


Si une sous-famille d’une famille F est liée, alors F est liée.
Si F  (u1 , u2 ,...un ) est libre, alors   S n (u (1) , u ( 2) ,...u ( n ) ) est libre.
 Si (u1 , u2 ,...un ) est libre et (u1 , u2 ,...un , v) est liée, alors v  Vect (u1 , u2 ,...un ) .
En effet :
Il existe 1 , 2 ,...n ,  scalaires non tous nuls tels que :
1u1  2u2  ...nun  .v  0 E .
Alors   0 , car sinon l’un des i au moins serait non nul et on aurait alors une
n
relation de dépendance entre les ui ,1  i  n . Donc v   1  k uk
k 1

(u1 , u2 ,...un ) est liée si et seulement si l’un au moins des ui est combinaison
linéaire des autres.
VII Bases (finies)
Définition, proposition :
Soit (u1 , u2 ,...un ) une famille de vecteurs de E.
(u1 , u2 ,...un ) est une base de E  (u1 , u2 ,...un ) est une famille libre et génératrice de E.
déf
 tout vecteur v de E s’écrit de manière unique comme
n
x u
combinaison linéaire des ui ,1  i  n , sous la forme
k 1
k
k
. Les xk s’appellent alors les
composantes de v dans la base (u1 , u2 ,...un ) .
Démonstration :
 : supposons que (u1 , u2 ,...un ) est une base de E.
Soit alors v  E .
n
Comme (u1 , u2 ,...un ) est génératrice de E, il existe ( x1 , x2 ,...xn )  K n tel que v   xk u k .
k 1
n
Supposons qu’on ait aussi v   x 'k u k .
k 1
n
Alors
 (x
k 1
k
 
 x'k )uk  0 E . Comme (u1 , u2 ,...un ) est libre, on a k  1, n , xk  x'k  0 ,
 
soit k  1, n , xk  x'k .
D’où l’existence et l’unicité de l’écriture.
 : Supposons que tout vecteur v de E s’écrit de manière unique…
Déjà, (u1 , u2 ,...un ) est génératrice de E.
n
Ensuite, si
 u
i 1
i i
 
 0 E , alors nécessairement i  1, n , i  0 , car sinon on aurait deux
n
écritures différentes de 0 E , à savoir
 iui et
i 1
n
 0.u
i 1
i
.
Exemples :
[(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)] est une base de R 3 , on l’appelle la base canonique de R 3 .
[( 1,1,1), (1,1,1), (1,1,1)] en est aussi une. Le triplet des composantes d’un vecteur
 z y zx x y
( x, y, z ) de R 3 dans cette base est 
,
,
.
2
2 
 2
[(1,  ,12), (e,4,1), (1,0,0)] est aussi une base de R 3 :

  
u
v
w

3
Soit x  (a, b, c)  R .

On doit montrer qu’il existe un unique triplet de R 3 tel que x  x.u  y.v  z.w
L’équation vectorielle équivaut au système :
 x  e. y  z  a

( S )  x  4 y
b
 12 x  y
c


 x  e. y  z  a

b  4c

Or, ( S )   x

  48

b  4c

y
 c  12

  48
Donc (S) a bien une unique solution.