Espaces vectoriels

19/04/2017 Algèbre – Espaces vectoriels | 1
 Espaces Vectoriels 
Définition – Sous-espaces vectoriels
Définition – Espace vectoriel
Soit (, +, ) un corps (qui sera dans la pratique ,  ou ), et E un ensemble fini non vide.
On dit que E est un espace vectoriel sur le corps  (ou plus rapidement un -espace vectoriel) si les conditions suivantes
sont réalisées :
1. E est muni d’une loi de composition interne, notée +, telle que (E,+) est un groupe commutatif
2. On dispose d’une multiplication externe à opérateur dans , notée •, c’est-à-dire d’une application de   E dans E définie
par :   E → E
(λ,u) λ•u
et vérifiant les 4 propriétés suivantes :
P1 u  E, 1•u = u
P2 λ  , u, v  E, λ•(u+v) = λ•u + λ•v
P3 λ,   , u  E, (λ + )•u = λ•u + •u
P4 λ,   , u  E λ•(•u) = (λ  )•u
* Les éléments de E sont appelés des vecteurs, ceux de  des scalaires
Définition – Combinaison linéaire
Soit n scalaires α1, α2, …, αn et n vecteurs u1, u2, …, un de l’espace vectoriel E.
Le vecteur u = α1u1+α2u2+…+αnun est appelé combinaison linéaire des n vecteurs u1, u2, …un avec les coefficients α1, α2, …αn.
Définition – Espace-vectoriel produit
Etant donné deux -espaces vectoriels E et F, l’ensemble E  F muni des lois produit :
l’addition définie par (x’, y’) + (x’’, y’’) = (x’ + x’’, y’ + y’’)
la loi externe définie par λ•(x, y) = (λ•x, λ•y)
est un espace vectoriel sur  appelé espace vectoriel produit
Définition – Sous-espace vectoriel
Soit E un espace vectoriel sur  et F une partie non vide de E. On dit que F est un sous-espace vectoriel de E si la restriction à
F  F de la loi +, et la restriction à   F de la multiplication externe, munissent F d’une structure d’espace vectoriel.
* c’est une sous-groupe de (E,+) stable par la multiplication par un scalaire
* L’intersection de deux sous-espaces vectoriels de E est un sous-espace vectoriel de E
Théorème – Caractérisation d’un sous-espace vectoriel
F est un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel E ssi
F est un sous-ensemble non vide de E, stable par combinaison linéaire.
ou encore F est un sous-espace vectoriel de E ssi
F  , F  E
 u,v  F,  α  , αu+v  F
ou encore ssi
F  , F  E
 u,v  F,  α  , u+v  F et αu  F
Définition – Sous-espace vectoriel engendré
Soit A une partie (pas nécessairement finie) d'un K-espace vectoriel E. Le sous-espace vectoriel engendré par A peut être
défini comme :
- le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant A
- le sous-ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de A
Le sous espace vectoriel engendré par la famille (vi)1≤i≤n de vecteurs de E est notée Vect((vi)1≤i≤n).
* Si A est finie, le sous-espace vectoriel engendré par A est l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de A

19/04/2017 Algèbre – Espaces vectoriels | 2
Homomorphismes d’espaces vectoriels
Définition – Homomorphismes d’espaces vectoriels
Soient E et F deux -espaces vectoriels et u une application de E dans F. On dit que u est un homomorphisme de E dans F si
 λ, μ  ,  x,y  E, u(λx + μy) = λ u(x) + μ u(y)
* La composée de deux homomorphismes est un homomorphisme
* homomorphisme = application linéaire
Définition – Forme linéaire
On appelle forme linéaire sur E une application linéaire de E dans 
Définition – Noyau et image
On appelle noyau de u, noté Ker(u) le sous-ensemble de E ainsi défini :
Ker u = {x  E, u(x) = 0}
On appelle image de u, noté Im(u) le sous-ensemble de F ainsi défini :
Im u = {y  F,  x  E, u(x) = y}
* Ker(u) est un sous-espace vectoriel de E
* u est injectif ssi Ker(u) = {0} ssi  x  E, u(x) = 0  x = 0
* Im(u) est un sous-espace vectoriel de F

19/04/2017 Algèbre – Espaces vectoriels | 3
Indépendance linéaire – Familles génératrices – Bases
Définition – Famille libre
Soient E un -ev, et (vi)1≤i≤n une famille de vecteurs de E. On dit qu’une famille de vecteurs est libre ou constituée de vecteurs
linéairement indépendants si toute combinaison linéaire nulle 
   de ces vecteurs implique   pour tout
1 ≤ i ≤ p.
* Toute sous-famille d’une famille libre est libre
Définition – Famille liée
Une famille de vecteurs qui n’est pas libre est liée. Les vecteurs sont linéairement dépendants. C’est-à-dire qu’il existe
(λ1, …, λn)   différent de (0, …, 0) et tel que 
* Tout sur-famille d’une famille liée est liée
Définition – Famille génératrice
Soient E un -ev, et (vi)1≤i≤n une famille de vecteurs de E. (vi)1≤i≤n est dite génératrice si le sous-espace qu'elle engendre est
l'espace entier E.
* Toute sur-famille d’une famille génératrice est génératrice
Définition – Base
On dit que la famille de vecteurs de E (vi)1≤i≤n est une base de E si elle est à la fois génératrice et libre.
Pour qu’une famille de n vecteurs d’un espace vectoriel E soit une base de E, il faut et il suffit que tout vecteur de E admette
une décomposition unique suivant cette famille, de la forme   
* Dans un espace vectoriel il existe toujours au moins une base
Proposition
Soit u une application linéaire de E dans F. Etant donné une base (ei) 1≤i≤n de E :
la famille (u(ei)) 1≤i≤n est génératrice de Im u
u est surjective ssi (u(ei)) 1≤i≤n est une famille génératrice de F
u est injective ssi (u(ei)) 1≤i≤n est une famille libre de F
u est bijective ssi (u(ei)) 1≤i≤n est une base de F

19/04/2017 Algèbre – Espaces vectoriels | 4
Somme de sous-espaces vectoriels
Somme de n sous-espaces vectoriels
Soient E un K-ev, n un entier naturel non nul, F1, F2, …, Fn des sous-espaces vectoriels de E.
On définit la somme des n sous-espaces vectoriels
* L’union d’espace vectoriel n’est pas en général un espace vectoriel
* 
 est le plus petit sous-espace vectoriel de E contenant 
Somme directe de n sous-espaces vectoriels
Soient E un K-ev, n un entier naturel non nul, F1, F2, …, Fn des sous-espaces vectoriels de E. On dit que F1, F2, …, Fn sont en
somme directe ssi :
(v1, v2, …, vn)  F1  F2  …  Fn v1 + v2 + …+ vn = 0  v1 = v2 = …= vn = 0
On note F1  F2  …  Fn
* v1 + v2 + …+ vn = 0  v1 = v2 = …= vn = 0
(peut se formuler : l’application f : (v1, v2, …, vn)  v1 + v2 + …+ vn est injective)
* Les espaces vectoriels de la somme directe sont linéairement indépendants.
Théorème – Propriétes des sommes directes
Soient E un K-ev, n un entier naturel non nul, F1, F2, …, Fn des sous-espaces vectoriels de E. Les propositions suivantes sont
équivalentes :
- F1, F2, …, Fn sont en somme directe
- Tout élément de 
 se décompose de façon unique en une somme d’éléments de F1, F2, …, Fn
- i  {1, …, n} 
- (v1, v2, …, vn) de  avec tous les vi non nuls, (v1, v2, …, vn) est libre
Définition – Espaces vectoriels supplémentaires
Soient E un K-ev, n un entier naturel non nul, F1, F2, …, Fn des sous-espaces vectoriels de E.
Si E = F1  F2 … Fn les sous-espaces vectoriels F1, F2, …, Fn sont supplémentaires.
* Tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel admet au moins un supplémentaire
* Tous les sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel, supplémentaire d’un même espace vectoriel sont isomorphes

19/04/2017 Algèbre – Espaces vectoriels | 5
Projection et symétrie
Définition – Projecteurs
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. L’application p de E dans E qui à tout élément x de E associe
l’unique y de F tel que x = y + z avec z  G est appelée projection sur F parallèlement à G.
Une telle application est aussi appelée un projecteur.
Proposition
Etant donné 2 sous-espaces vectoriels supplémentaires F et G de E, la projection sur F parallèlement à G est linéaire.
Son noyau est G
Son image qui est aussi l’ensemble des vecteurs invariants est égale à F
Proposition
p est un projecteur ssi p o p = p
Définition
On dit que p et q sont deux projecteurs associés s’il existe F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E tels que
p soit la projection sur F parallèlement à G et p soit la projection sur G parallèlement à F
Proposition
Si p et q sont deux projecteurs associés alors p + q = IdE et p o q = q o p = 0
Définition – Symétrie
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de E. On appelle symétrie par rapport à F parallèlement à G,
l’application s de E dans E telle que si x = y + z avec y  F et z  G on ait s(x) = y – z
Propositions
* Une symétrie est un automorphisme (bijectif de E dans E) involutif (s o s = IdE)
* Tout endomorphisme involutif de E est une symétrie
Plus précisément si s (de E dans E) est involutif c’est la symétrie par rapport à Ker(s - IdE), parallèlement à Ker(s + IdE).