DM7 Mathématiques La suite de Fibonacci et le nombre d`or

MPSI2 DM7 Math´ematiques Pour le 13/01/17
La suite de Fibonacci et le nombre d’or
En 1202, Leonardo Fibonacci introduit la suite, que nous allons ´etudier dans ce probl`eme, pour d´ecrire la croissance
d’une population de lapins. Cette suite est fortement li´ee au nombre d’or. Le nombre d’or apparait en phyllotaxie,
une branche de la botanique qui ´etudie l’ordre dans lequel sont implant´ees les feuilles le long de la tige d’une plante
ou l’agencement des fleurons et des ´ecailles dans divers fruits et fleurs. Plus r´ecemment, on trouve aussi le nombre
d’or jouant un rˆole crucial dans les travaux de physiciens concernant les quasicristaux ou mˆeme en cardiologie ! Le
nombre d’or a nourri les analyses d’auteurs int´eress´es par l’art, l’architecture ou les proportions du corps humain. En
guise d’introduction, vous pouvez regarder la courte vid´eo ”La nature par les nombres” disponible sur YouTube.
A-Pr´eliminaires
La suite de Fibonacci, not´ee (Fn), est d´efinie par :
F0= 0
F1= 1
∀n∈N, Fn+2 =Fn+1 +Fn
1. Lien avec le nombre d’or.
(a) Calculer Fnpour n∈J2,10K.
(b) D´emontrer que : lim
n→+∞Fn= +∞.
(c) Expliciter le r´eel positif ϕtel que ϕ2=ϕ+ 1. Ce r´eel est appel´e le nombre d’or.
(d) Exprimer l’autre solution de l’´equation ci-dessus en fonction de ϕ.
(e) D´emontrer la formule de Binet 1:
∀n∈N, Fn=1
√5ϕn−(−ϕ)−n
(f) D´emontrer que : lim
n→+∞
Fn+1
Fn
=ϕ.
2. Premi`eres formules sur la suite de Fibonacci.
(a) D´emontrer que : ∀n∈N∗, ϕn=Fnϕ+Fn−1.
(b) D´emontrer que : ∀n∈N,
n
X
k=0
F2k+1 =F2n+2.
(c) D´emontrer que : ∀n∈N,
n
X
k=0
F2k=F2n+1 −1.
(d) D´emontrer que : ∀n∈N,
n
X
k=0
Fk=Fn+2 −1.
(e) D´emontrer que : ∀n∈N,
n
X
k=0
F2
k=FnFn+1.
(f) D´emontrer par r´ecurrence double que : ∀n∈N, Fn+1 =
n
X
k=0 n−k
k.
1Jean-Philippe Binet (1786-1856) est un math´ematicien et astronome fran¸cais. Vous rencontrerez ´egalement des formules de Binet en
physique pour d´ecrire la vitesse et l’acc´el´eration d’un corps soumis `a une force centrale.

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3. Autour du nombre d’or.
(a) i. D´emontrer que : ∀n∈Z, ϕn+2 =ϕn+1 +ϕn.
ii. En d´eduire que : ∀n∈N, Fn≤ϕn.
(b) Un rectangle d’or est un rectangle dont la longueur Let la largeur lv´erifient : L+l
L=L l. Dans ce cas,
que vaut L
l?
(c) Exprimer cos 2π
5et cos π 5en fonction de ϕ.
On pourra utiliser sans d´emonstration les r´esultats de l’exercice 2 du DM1.
(d) D´emontrer que ϕest irrationnel.
4. Composer votre fib. Un fib est un po`eme compos´e de 6 vers ayant respectivement 1, 1, 2, 3, 5 et 8 syllabes.
Par exemple :
Fruits
Fleurs
Flocons
ˆ
Ames et corps
Comme les fonctions
Sont r´egis par le nombre d’or.
(Fib de Tiphaine, Florian et ´ El´ea)
B-Les nombres de Fibonacci et l’arctangente.
1. D´emontrer l’identit´e de Cassini 2:∀n∈N, F 2
n+1 −FnFn+2 = (−1)n.
2. En d´eduire que :
∀n≥1,Arctan1
F2n= Arctan1 F2n+1 + Arctan1 F2n+2 
On pourra commencer par d´emontrer que les deux quantit´es mises en jeu ont la mˆeme tangente.
3. En d´eduire les formules suivantes :
(a) π
4= Arctan1 2+ Arctan1 3.
(b) π
4= Arctan1 2+ Arctan1 5+ Arctan1 8.
(c) π
4= Arctan1 2+ Arctan1 5+ Arctan1 13+ Arctan1 21.
4. On consid`ere la suite d´efinie pour n≥0 par : un= Arctan1
F2n+2 +
n
X
k=0
Arctan1
F2k+1 .
(a) D´emontrer que la suite (un) est constante.
(b) En d´eduire que :
π
2=
+∞
X
k=0
Arctan1
F2k+1 
2Jean-Baptiste Cassini (1625-1712), astronome `a qui l’on doit aussi la d´ecouverte des satellites de Jupiter.

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C-Arithm´etique des nombres de Fibonacci
1. En analysant l’identit´e de Cassini, d´emontrer que pour tout n∈N,Fnet Fn+1 sont premiers entre eux.
2. (a) D´emontrer que : ∀(n, p)∈N∗×N, Fn+p=Fn−1Fp+FnFp+1.
(b) En d´eduire que : ∀(n, p)∈N∗×N,pgcd(Fn+p, Fn) = pgcd(Fp, Fn).
(c) En d´eduire que : ∀(n, p)∈N∗×N,∀q∈N,pgcd(Fqn+p, Fn) = pgcd(Fp, Fn)
(d) D´emontrer finalement que : ∀(m, n)∈N2,pgcd(Fm, Fn) = Fpgcd(m,n).
3. D´emontrer que pour tout n≥3 et pour tout entier naturel m:Fn|Fm⇔n|m.
4. Soit m≥5, d´emontrer que si Fmest un nombre premier alors mest un nombre premier. Trouver un contre-
exemple non trivial `a la r´eciproque.
On ignore actuellement si la suite de Fibonacci contient une infinit´e de nombres premiers.
D-Th´eor`eme de Zeckendorf
Le but de cette partie est de d´emontrer le th´eor`eme de Zeckendorf 3qui affirme que tout entier naturel non nul
s’´ecrit de fa¸con unique comme somme de nombres de Fibonacci non cons´ecutifs.
1. Soient (a, b)∈N2, on notera a >> b pour exprimer que a≥b+ 2. Soit n∈N∗, on dit que nposs`ede une
d´ecomposition de Zeckendorf si et seulement s’il existe p∈N∗et des entiers naturels (ki)1≤i≤ptels que :
n=
p
X
i=1
Fkiet k1>> k2>> ... >> kp>> 0 (F)
(a) Donner une d´ecomposition de Zeckendorf pour les entiers de 1 `a 13.
(b) On fixe n∈N∗, d´emontrer que {k∈N, k ≥2 et Fk≤n}admet un maximum, que l’on note k1.
(c) D´emontrer par r´ecurrence forte que tout entier naturel non nul poss`ede une d´ecomposition de Zeckendorf.
2. On suppose que n∈N∗poss`ede une d´ecomposition de Zeckendorf de la forme (F). D´emontrer que k1est unique,
on pourra utiliser les formules 2.(b) et 2.(c) de la partie A.
3. En d´eduire le th´eor`eme annonc´e.
4. ´ Epatez vos proches ! Vous distribuez 8 cartes num´erot´ees contenant des entiers de 1 `a 54.
Carte 1 : 1,4,6,9,12,14,17,19,22,25,27,30,33,35,38,40,43,46,48,51,53
Carte 2 : 2,7,10,15,20,23,28,31,36,41,44,49,54
Carte 3 : 3,4,11,12,16,17,24,25,32,33,37,38,45,46,50,51
Carte 4 : 5,6,7,18,19,20,26,27,28,39,40,41,52,53,54
Carte 5 : 8,9,10,11,12,29,30,31,32,33,42,43,44,45,46
Carte 6 : 13,14,15,16,17,18,19,20,47,48,49,50,51,52,53,54
Carte 7 : 21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33
Carte 8 : 34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54
Vous demandez `a une personne de choisir au hasard un entier entre 1 et 54. Vous lui demandez ensuite sur
quelles cartes apparaˆıt le num´ero choisi, puis vous devinez presque instantan´ement le num´ero choisi. Comment
faites-vous ?
3Edouard Zeckendorf (1901-1983), m´edecin, officier de l’arm´ee et math´ematicien belge.

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E-Suites r´ecurrentes et nombre d’or
1. On d´efinit la suite (un) par :
u0= 1
∀n∈N, un+1 =√1 + un=f(un)
avec f:x7→ √1 + xd´efinie sur R+.
(a) Justifier que (un) est correctement d´efinie.
(b) D´emontrer que (un) est croissante. On pourra justifier d’abord que fest croissante sur R+.
(c) D´emontrer que : ∀n∈N, un∈[0, ϕ].
(d) En d´eduire que (un) est convergente.
(e) D´emontrer que le seul point fixe de fsur R+est ϕ.
(f) En d´eduire que (un) tend vers ϕ.
2. On d´efinit la suite (vn) par :
v0= 1
∀n∈N, vn+1 = 1 + 1
vn
(a) ´ Ecrire les premiers termes de la suite (vn) sous forme de fractions. Proposer une conjecture et d´emontrer-la.
(b) En d´eduire que (vn) converge vers ϕ.
3. Expliquer l’´egalit´e suivante :
r1 + q1 + √1 + ··· = 1 + 1
1 + 1
1+...
F-Utilisation de Python
1. Calcul des nombres de Fibonacci.
(a) ´ Ecrire une fonction utilisant une boucle f or qui prend en entr´ee un entier naturel net renvoie Fn.
(b) ´ Ecrire une fonction r´ecursive qui prend en entr´ee un entier naturel net renvoie Fn.
(c) ´ Ecrire une fonction qui prend en entr´ee un entier naturel net renvoie Fnen utilisant la formule de Binet.
(d) Tester vos trois fonctions pr´ec´edentes avec diff´erentes valeurs de n. Commenter.
2. (a) Distance `a Z.` A l’aide de Python, calculer ϕnpour n∈J1,20K. Que remarque-t-on ? Le but de ce qui
suit est de d´emontrer cette conjecture.
(b) D´emontrer que pour tout n∈N,ϕn+1
(−ϕ)nest un entier naturel. On pourra effectuer une r´ecurrence
double sur n.
(c) D´emontrer que : lim
n→+∞
1
(−ϕ)n= 0.
(d) En d´eduire le r´esultat voulu.
3. Mot de Fibonacci. La suite des mots de Fibonacci est d´efinie par :
S1= 1
S2= 0
∀n∈N, Sn+2 =Sn+1 ? Sn
L’op´eration ?est la concat´enation.

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(a) Donner les mots Snpour nallant de 1 `a 7.
(b) Soit n∈N∗. Combien de lettres a le mot Sn? Combien y-a-t-il de 0 dans Sn? Combien y-a-t-il de 1 dans
Sn?
(c) ´ Ecrire une fonction qui prend en entr´ee un entier naturel non nul net renvoie Sn.
(d) La fractale de Fibonacci se construit en parcourant les mots de Fibonacci, pour chaque lettre num´erot´ee `a
la position kdans le mot (en commen¸cant `a k= 0) :
•On trace un segment.
•Puis, si c’est un 0, on fait un quart de tour vers la droite si kest pair et vers la gauche si kest impair.
`
A l’aide du module Pixel, tracer la fractale de Fibonacci obtenue en parcourant le mot S8. Mˆeme question
avec S14 puis enfin avec S20. On fournira ´egalement le script qui a permis de faire ces trac´es.
4. D´ecomposition de Zeckendorf.
(a) ´ Ecrire une fonction qui prend en param`etre un entier naturel non nul net renvoie sa d´ecomposition de
Zeckendorf. On pourra utiliser des fonctions auxiliaires pour clarifier le programme.
(b) Quelle est la d´ecomposition de Zeckendorf de 2016 ?
G-En vrac
1. Lien avec le d´enombrement. De combien de fa¸cons peut-on monter un escalier de nmarches en s’autorisant
des pas de une marche ou de deux marches (s’il ne reste qu’une marche `a monter, on ne pourra pas faire un pas
de deux marches). On pourra prendre des petites valeurs de npour intuiter le r´esultat puis le d´emontrer.
2. S´erie g´en´eratrice. Soit x∈h0,1
ϕhet n∈N, on pose : Sn(x) =
n
X
k=0
Fkxk.
(a) Simplifier (1 −x−x2)Sn(x).
(b) En d´eduire que : lim
n→+∞Sn(x) = x
1−x−x2.
(c) Que vaut y= 0.1+0.01 + 0.002 + 0.0003 + 0.00005 + 0.000008 + 0.0000013 + 0.00000021 + ... ?
3. Paradoxe de Lewis Carroll 4On d´ecoupe un carr´e 8 ×8 en deux triangles et deux trap`ezes comme indiqu´e
ci-dessous. On r´earrange les quatre morceaux en un seul rectangle de taille 5 ×13.
(a) Expliquer ce paradoxe.
(b) Pour n≥5, expliquer la g´en´eralisation ci-dessous :
4Lewis Carroll (1832-1898) est un romancier et math´ematicien anglais. Il a notamment ´ecrit Alice au pays des merveilles.