Corrigé DM4

Seconde 1 Corrigé devoir maison n°4 Mercredi 1/12/2010
Exercice 13 page161
1- On considère
M
−
1
;
2
,
N
5,4
,
P
2,
−
3
a) On cherche les coordonnées de
Q
telles que
MNPQ
soit un parallélogramme.
Soit
Q
x
Q
;
y
Q
Propriété : un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont même
milieu.
Soit
I
le milieu du segment [
MP
]et J le milieu du segment [
NQ
].
On cherche
Q
tel que
I
=
J
. Calculons les coordonnées de I et J
I milieu du segment [MP] donc x
I
=
x
M
x
P
2
et y
I
=
y
M
y
P
2
.
Et x
I
=−
1
2
2
=
1
2
et : y
I
=
2
−
3
2
=−1
2
x
J
=
5
x
Q
2
et y
J
=
4
y
J
2
Propriété : deux points sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales.
On a donc :
5
x
Q
2
=1
2
et
4
y
J
2
=−1
2
.
5
x
Q
2
=1
2
⇒5x
Q
=1⇒x
Q
=1−5⇒x
Q
=−4
4
y
J
2
=−1
2
⇒4y
J
=−1⇒y
J
=−1−4⇒y
J
=−5
Le point Q tel que MNPQ soit un parallélogramme a pour coordonnées
−
4
;
−
5
b) On cherche les coordonnées de R telles que
MRNP
soit un parallélogramme.
On considère
K
le milieu du segment [
MN
] et L le milieu du segment [RP].
On cherche R tel que K=L.
On obtient les équations :
x
R
2
2
=−15
2
=4
2
=2 et
y
R
−
3
2
=24
2
=6
2
=3
x
R
2
2
=2⇒x
R
2=4⇒x
R
=4−2⇒x
R
=2
y
R
−
3
2
=3⇒y
R
−3=2×3⇒y
R
−3=6⇒y
R
=36⇒y
R
=9
Le point R tel que MRNP soit un parallélogramme a pour coordonnées 
2
;
9
2-a)Démontrons que
M
est le milieu de [
RQ
]avec les coordonnées.
Soit
S
le milieu du segment [
RQ
]. Montrons que
S
est le point
M
.
1/6

Seconde 1 Corrigé devoir maison n°4 Mercredi 1/12/2010
x
S
=
x
R
x
Q
2
=−42
2
=−2
2
=−1
y
S
=
y
R
y
Q
2
=−59
2
=4
2
=2
S
−
1
;
2
. On a démontré que
S
=
M
.
M est le milieu de [RQ]
b) Démonstration géométrique.
Propriété : dans un parallélogramme, les côtés opposés ont même longueur et sont parallèles.
MNPQ
est un parallélogramme, donc
MQ
=
NP
et 
MQ
∥
NP
De même ,
MRNP
est un parallélogramme, donc
MR
=
NP
et 
MR
∥
NP
On en déduit que :
MQ
=
MR
.
Propriété : par un point donné, il ne passe qu'une et une seule droite parallèle à une droite donnée.
Les droites 
MQ
 et 
MR
 sont parallèles à la droite 
NP
 et passent par le point
M
. Donc
MQ
=
MR
. Les points
M
,
Q
et
R
sont alignés avec
MQ
=
MR
. Donc
M est le milieu de [RQ]
Exercice 23 page161
a) On peut conjecturer que le triangle ABC est rectangle isocèle en B.
AB= x
B
−x
A
2
 y
B
−y
A
2
et AB
2
=x
B
−x
A
2
 y
B
−y
A
2
AB
2
=
1
−−
1
2
3
−−
1
2
=
1
1
2
3
1
2
=
2
2
4
2
=
4
16
=
20
BC
2
=x
C
−x
B
2
y
C
−y
B
2
=5−1
2
1−3
2
=4
2
2
2
=164=20
AC2 = xC − xA
2
yC − yA
2
= 5 −− 1
2
1 −− 1
2
= 62 22 = 36 4 = 40
AB
2
=
20
,
BC
2
=
20
et
AC
2
=
40
. On en déduit que :
AB
=
BC
et
AC
2
=
AB
2
BC
2
D'après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
ABC est rectangle isocèle en B
b) x
K
=
x
A
x
C
2
=−15
2
=4
2
=2 y
K
=
y
A
y
C
2
=−11
2
=0
K a pour coordonnées 
2
;
0
c) Si
D
est le symétrique de
B
par rapport à
K
, alors
K
est le milieu du segment
[
BD
]
et :
2/6

Seconde 1 Corrigé devoir maison n°4 Mercredi 1/12/2010
x
K
=
x
B
x
D
2
et y
K
=
y
B
y
D
2
2=
1
x
D
2
⇒4=1x
D
⇒x
D
=3 et 0=
3
y
D
2
⇒3y
D
=0⇒y
D
=−3
D
3
;
−
3
K
est le milieu de [
AC
] et de [
BD
]. Le quadrilatère
ABCD
a donc ses diagonales qui se
coupent en leur milieu. C'est donc un parallélogramme. L'angle
ABC
est droit.
Propriété : un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.
ABCD
est un rectangle.
De plus dans un parallélogramme les côtés opposés ont même longueur, on a donc :
AB
=
CD
et
BC
=
AD
et comme
AB
=
BC
. On a :
AB
=
BC
=
CD
=
DA
.
Propriété : un rectangle qui a quatre côtés égaux est un carré.
ABCD est un carré.
Exercice 53 page164
1)b) Le triangle est isocèle en
A
. Calculons
AB
et
AD
.
AB= x
B
−x
A
2
 y
B
−y
A
2
et AB=
3−6
2
5−1
2
= 3
2
4
2
= 916= 25=5
AD= x
D
−x
A
2
y
D
−y
A
2
et
AD = 11 − 6
2
1 − 1
2
= 52 = 5
AB
=
AD
=
5
. Donc le triangle ABD est isocèle en A
2- Pour démontrer que
E
est le cercle circonscrit au triangle, il faut montrer que :
EA
=
EB
=
ED
.
Calculons
EA
,
EB
et
ED
.
EA= x
A
−x
E
2
 y
A
−y
E
2
= 6−17
2
2
1−6
2
= 12−17
2
2
5
2
EA= 5
2
2
25=
25
425=
254×25
4=
125
4=
125
4=
125
2=5 2×
5
De même :
EB= x
B
−x
E
2
y
B
−y
E
2
= 3−17
2
2
5−6
2
= 6−17
2
2
1=
11
2
2
1=
121
4
1
EB=
1214
4
=
125
4
=5
2
× 5
ED= x
D
−x
E
2
y
D
−y
E
2
= 11−17
2
2
1−6
2
= 22−17
2
2
25= 5
2
2
25=
25
4
25
ED=
125
4=5 2
5
Donc :
EA
=
EB
=
ED
et E est le centre du cercle circonscrit du triangle ABD.
3/6

Seconde 1 Corrigé devoir maison n°4 Mercredi 1/12/2010
a)
E
est le centre du cercle circonscrit du triangle
ABD
donc
E
appartient à la médiatrice du
segment
[
BD
]
.
ABD
est isocèle en
A
donc
BA
=
DA
et
A
appartient à la médiatrice de
[
BD
]
. On en déduit que :
(AE) est la médiatrice du segment [BD].
Remarque : le triangle étant isocèle, alors c'est aussi la hauteur, la médiane et la bissectrice.
b) Définition : la médiatrice est la droite passant par le milieu d'un segment et orthogonale à ce
segment.
Donc 
AE
 et 
BD
 sont orthogonales et le triangle BIA est rectangle en I.
c) Propriété : dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.
F
est donc le milieu de
[
AB
]
. Et:
x
F
=
x
A
x
B
2
=63
2
=9
2
et y
F
=
y
A
y
B
2
=15
2
=6
2
=3
F a pour coordonnées
9
2;3
Exercice 87 page171
On est face à un problème ouvert, où la méthode de résolution n'est pas imposée. Comme souvent
un géométrie, on a deux approches possibles :
– une démonstration en « géométrie pure » en utilisant les propriétés de la figure.
– Une démonstration en géométrie analytique en introduisant un repère.
4/6

Seconde 1 Corrigé devoir maison n°4 Mercredi 1/12/2010
1-Démonstration purement géométrique.
L'objectif est de démontrer que
ICJ
est un triangle rectangle isocèle en
I.
Pour cela on procèdera
en différentes étapes.
a- On montre que
IC
=
IJ
b- On montre que
ICJ
=
45
°
. Et comme
ICJ
est isocèle alors
IJC
=
45
°
aussi
c-On en déduit que
JIC=90°
d-Conclusion :
ICJ
est un triangle rectangle isocèle en
I
.
a-Pour démontrer que
IC
=
IJ
on peut calculer ces deux longueurs et montrer qu'elles ont la même
valeur. Mais le plus simple est de montrer qu'elles sont toutes les deux égales à la longueur
AI
.
ABCD
est un carré, on en déduit que 
BD
 est la médiatrice de [
AC
]. (Les diagonales d'un carré
se coupent perpendiculairement en leur milieu).
I
∈[
BD
]⇒
I
∈
médiatrice
de
[
AC
]⇒
AI
=
IC
Montrons que
AI
=
IJ
.
Soit
K
le milieu de [
AJ
]. On considère la médiatrice de [
AJ
]. Elle passe par
K
et est
perpendiculaire à 
AJ
.
Propriété : deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles.
Comme
ABCD
est un carré, alors 
AD
 est perpendiculaire à 
AB
, donc à 
AJ
.
AD
⊥
AJ
et
médiatrice
de
[
AJ
]⊥
AJ
⇒
AD
∥
médiatrice
de
[
AJ
]
La médiatrice de [AJ] coupe [AO] en L.
Le théorème des milieux appliqué dans le triangle
AOJ
implique que
L
est le milieu de [
AO
].
Le théorème des milieux appliqué dans le triangle
ADO
avec
L
milieu de [
AO
], montre que la
droite 
LK
 coupe [
OD
] en son milieu, c'est-à-dire au point
I
.
Donc
I
appartient à la droite 
LK
 et
I
est sur la médiatrice de [
AJ
]et donc :
AI
=
IJ
.
On a :
AI
=
IJ
et
AI
=
IC
⇒
IJ
=
IC
Le triangle
ICJ
est donc isocèle en
I
.
b-Démontrons que
ICJ =45°
On démontre d'abord que :
ICO
=
JCB
Dans le triangle
ICO
, tan
ICO=
côté
opposé
côté
adjacent
=
IO
OC
=
1
2
En effet, les diagonales du carré ayant même longueur et même milieu :
IO=
1
2×DO=
1
2×OC
Dans le triangle
JCB
: tan
JCB=
JB
BC=
1
2
On en déduit que : tan
ICO=tan JBC ⇒ ICO= JCB *
ICJ = ICO OCJ Et comme ICO= JCB alors : ICJ = JCB OCJ Et :
ICJ
=
OCB
Dans le triangle rectangle isocèle en
C
,
DCB
, 
CO
 est la médiatrice, la hauteur
et la bissectrice. On en déduit que
OCB
=
45
°
et :
ICJ
=
45
°
5/6