Corrigé DM4

Seconde 1
Corrigé devoir maison n°4
Mercredi 1/12/2010
Exercice 13 page161
1- On considère M −1; 2, N5,4, P 2,−3
a) On cherche les coordonnées de Q telles que MNPQ soit un parallélogramme.
Soit Q xQ ; yQ 
Propriété : un quadrilatère est un parallélogramme si et seulement si ses diagonales ont même
milieu.
Soit I le milieu du segment [MP] et J le milieu du segment [NQ ] .
On cherche Q tel que I=J . Calculons les coordonnées de I et J
x x
y y
I milieu du segment [MP] donc x I = M P et y I= M P .
2
2
2−3
−12 1
1
= et : y I=
=−
Et x I =
2
2
2
2
5x Q
4y J
et y J=
xJ=
2
2
Propriété : deux points sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales.
On a donc :
5x Q 1
4y J
1
= et
=− .
2
2
2
2
5x Q 1
= ⇒ 5x Q=1⇒ x Q=1−5⇒ x Q=−4
2
2
4y J
1
=− ⇒ 4y J=−1⇒ y J =−1−4⇒ y J =−5
2
2
Le point Q tel que MNPQ soit un parallélogramme a pour coordonnées −4 ;−5
b) On cherche les coordonnées de R telles que MRNP soit un parallélogramme.
On considère K le milieu du segment [MN] et L le milieu du segment [RP].
On cherche R tel que K=L.
x 2 −15 4
y −3 24 6
On obtient les équations : R
=
= =2 et R
=
= =3
2
2
2
2
2
2
x R 2
=2⇒ x R 2=4 ⇒ x R=4−2 ⇒ x R=2
2
y R −3
=3⇒ y R −3=2×3 ⇒ y R −3=6 ⇒ y R =36⇒ y R =9
2
Le point R tel que MRNP soit un parallélogramme a pour coordonnées 2 ; 9
2-a)Démontrons que M est le milieu de [RQ] avec les coordonnées.
Soit S le milieu du segment [RQ] . Montrons que S est le point M .
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Corrigé devoir maison n°4
Mercredi 1/12/2010
x R xQ −42 −2
=
=
=−1
2
2
2
y R y Q −59 4
yS =
=
= =2
2
2
2
S−1 ; 2 . On a démontré que S=M .
xS=
M est le milieu de [RQ]
b) Démonstration géométrique.
Propriété : dans un parallélogramme, les côtés opposés ont même longueur et sont parallèles.
MNPQ est un parallélogramme, donc MQ=NP et MQ∥ NP
De même , MRNP est un parallélogramme, donc MR =NP et MR ∥NP
On en déduit que : MQ=MR .
Propriété : par un point donné, il ne passe qu'une et une seule droite parallèle à une droite donnée.
Les droites MQ et MR  sont parallèles à la droite  NP et passent par le point M . Donc
MQ=MR  . Les points M ,Q et R sont alignés avec MQ=MR . Donc
M est le milieu de [RQ]
Exercice 23 page161
a) On peut conjecturer que le triangle ABC est rectangle isocèle en B.
2
2
2
AB= x B −x A 2 y B−y A 2 et AB =x B −xA   y B −y A 
AB2=1−−12 3−−12=112312=2 24 2=416=20
2
2
2
2
2
2
2
BC =x C −x B  y C −y B  =5−1 1−3 =4 2 =164=20
2
2
2
2
2
2
2
AC = xC −x A  y C −y A  =5−−1 1−−1 =6 2 =364=40
AB2=20 , BC 2=20 et AC2=40 . On en déduit que : AB=BC et AC2=AB 2BC 2
D'après le théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
ABC est rectangle isocèle en B
b) x K =
x A xC −15 4
y y −11
=
= =2 y K= A C =
=0
2
2
2
2
2
K a pour coordonnées 2 ; 0
c) Si D est le symétrique de B par rapport à K , alors K est le milieu du segment [BD] et :
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x B xD
y y
et y K= B D
2
2
1x D
3y D
2=
⇒ 4=1x D ⇒ x D =3 et 0=
⇒3y D =0 ⇒ y D=−3 D3 ;−3
2
2
xK=
K est le milieu de [AC] et de [BD] . Le quadrilatère ABCD a donc ses diagonales qui se
coupent en leur milieu. C'est donc un parallélogramme. L'angle ABC est droit.
Propriété : un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.
ABCD est un rectangle.
De plus dans un parallélogramme les côtés opposés ont même longueur, on a donc :
AB=CD et BC=AD et comme AB=BC . On a : AB=BC=CD=DA .
Propriété : un rectangle qui a quatre côtés égaux est un carré.
ABCD est un carré.
Exercice 53 page164
1)b) Le triangle est isocèle en A . Calculons AB et AD .
AB= x B −x A 2 y B−y A 2 et AB= 3−625−12= 32 4 2= 916= 25=5
AD= x D−x A 2y D −y A 2 et AD= 11−621−12= 52=5
AB=AD=5 . Donc le triangle ABD est isocèle en A
2- Pour démontrer que E est le cercle circonscrit au triangle, il faut montrer que : EA =EB=ED .
Calculons EA , EBet ED .
2
12−17
17 2
2
2
2
2
EA =  x A−x E   y A −y E  = 6−  1−6 = 
 5
2
2
2
5
25
254×25
125  125  125 5
EA =   25=
25=
=
=
=
= × 5
2
4
4
4
2
2
4






De même :

EB= x B −x E 2y B −y E 2= 3−





17 2
6−17 2
11 2
121
 5−62= 
 1=
1=
1
2
2
2
4
1214
125 5
EB=
=
= × 5
4
4
2




17 2
22−17 2
5 2
25
2
ED= x D−x E  y D−y E  = 11−  1−6 = 
 25=   25=
25
2
2
2
4
125 5
ED=
= 5
4
2
2

2
Donc : EA =EB=ED et E est le centre du cercle circonscrit du triangle ABD.
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a) E est le centre du cercle circonscrit du triangle ABD donc E appartient à la médiatrice du
segment [BD] . ABD est isocèle en A donc BA =DA et A appartient à la médiatrice de [BD]
. On en déduit que :
(AE) est la médiatrice du segment [BD].
Remarque : le triangle étant isocèle, alors c'est aussi la hauteur, la médiane et la bissectrice.
b) Définition : la médiatrice est la droite passant par le milieu d'un segment et orthogonale à ce
segment.
Donc AE et BD sont orthogonales et le triangle BIA est rectangle en I.
c) Propriété : dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.
F est donc le milieu de [AB] . Et:
x A x B 63 9
y Ay B 15 6
xF=
=
= et y F=
=
= =3
2
2
2
2
2
2
9
F a pour coordonnées  ;3
2
Exercice 87 page171
On est face à un problème ouvert, où la méthode de résolution n'est pas imposée. Comme souvent
un géométrie, on a deux approches possibles :
– une démonstration en « géométrie pure » en utilisant les propriétés de la figure.
– Une démonstration en géométrie analytique en introduisant un repère.
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1-Démonstration purement géométrique.
L'objectif est de démontrer que ICJ est un triangle rectangle isocèle en I. Pour cela on procèdera
en différentes étapes.
a- On montre que IC=IJ
b- On montre que 
ICJ =45 ° . Et comme ICJ est isocèle alors 
IJC=45° aussi

c-On en déduit que JIC=90 °
d-Conclusion : ICJ est un triangle rectangle isocèle en I .
a-Pour démontrer que IC=IJ on peut calculer ces deux longueurs et montrer qu'elles ont la même
valeur. Mais le plus simple est de montrer qu'elles sont toutes les deux égales à la longueur AI .
ABCD est un carré, on en déduit que BD est la médiatrice de [AC] . (Les diagonales d'un carré
se coupent perpendiculairement en leur milieu).
I ∈[BD ]⇒ I ∈médiatrice de[ AC]⇒ AI=IC
Montrons que AI=IJ .
Soit K le milieu de [AJ] . On considère la médiatrice de [AJ] . Elle passe par K et est
perpendiculaire à AJ  .
Propriété : deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles.
Comme ABCD est un carré, alors AD est perpendiculaire à AB , donc à AJ  .
 AD ⊥ AJ  et médiatrice de [ AJ ]⊥ AJ  ⇒ AD ∥médiatrice de [ AJ ]
La médiatrice de [AJ] coupe [AO] en L.
Le théorème des milieux appliqué dans le triangle AOJ implique que L est le milieu de [AO] .
Le théorème des milieux appliqué dans le triangle ADO avec L milieu de [AO] , montre que la
droite LK coupe [OD] en son milieu, c'est-à-dire au point I .
Donc I appartient à la droite LK et I est sur la médiatrice de [AJ] et donc :
AI=IJ .
On a :
AI =IJ et AI =IC ⇒ IJ =IC
Le triangle ICJ est donc isocèle en I .
b-Démontrons que 
ICJ =45 °
On démontre d'abord que : 
ICO=
JCB
côté opposé
IO 1
ICO=
=
=
Dans le triangle ICO , tan  
côté adjacent OC 2
En effet, les diagonales du carré ayant même longueur et même milieu :
1
1
IO= ×DO= ×OC
2
2
JB 1
JCB=
=
Dans le triangle JCB : tan  
BC 2
On en déduit que : tan  
ICO=tan  
JBC  ⇒ 
ICO=
JCB *

ICJ =
ICO
OCJ Et comme 
ICO=
JCB alors : 
ICJ =
JCB
OCJ Et :


ICJ =OCB Dans le triangle rectangle isocèle en C , DCB , CO est la médiatrice, la hauteur
et la bissectrice. On en déduit que 
OCB=45 ° et : 
ICJ =45°
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Et comme ICJ est isocèle en I alors 
IJC=45°
c-Propriété : dans un triangle la somme des angles est de 180 ° . On en déduit que :

JIC =180− 
ICJ − 
IJC=180−45−45=180−90=90 °
d- IJ =IC et 
IJC=90 ° . On peut conclure que :
Le triangle ICJ est rectangle et isocèle en I
2-Méthode analytique.
On introduit le repère orthonormé A , B, D .
Dans ce repère A0 ;0, B1 ; 0 et D0 ;1, C1 ; 1 . Et la formule donnant les coordonnées du
1 1
1 3
1
milieu d'un segment donne : O ;  et I  ;  et J  ;0
4 2
2 4
2
2
2
On a les coordonnées de I , J et C . On calcule IJ , IC et JC 2 .
On montre que IJ 2=IC 2 et on en déduit que le triangle ICJ est isocèle en I . et la relation :
IJ 2IC 2=JC 2 montrera que le triangle est rectangle en I , d'après le théorème de Pythagore.
1 1 2
3 2 1 2 9 10 5
2
2
2
IJ =x J−x I  y J −y I  = −  0−  =   = =
2 4
4
4
16 16 8
1 2
3 2 3 2 1 2 9
1 10 5
2
2
2
IC =x C −x I   yC −y I  =1−  1−  =    =  = =
4
4
4
4
16 16 16 8
2
2
1
1
1
5
JC 2=x C −x J 2y C −y J 2=1−  1−0 2 =  12= 1=
2
2
4
4
On en déduit que : IJ 2=IC 2 et par conséquent IJ =IC (car les distances sont positives) et le
triangle ICJ est isocèle en I .
5 5 5
2
2
2
Et IJ IC =  = =JC . Et d'après le théorème de Pythagore :
8 8 4
le triangle ICJ est rectangle en I .
Conclusion : le triangle ICJ est rectangle isocèle en I
Fin du corrigé
6/6