3. Groupe quotient - UTC

3. Groupe quotient
1Sous-groupe distingu´e (ou normal, ou invariant)
2Exemple d´ej`a vu : /n
3Propri´et´e universelle du groupe quotient (G/H, π)
4Factorisation des morphismes
5Les groupes monog`enes
6Commutativit´e : centre Z(G), commutateurs et groupe d´eriv´e D(G)
7Suite exacte
8Groupes simples
9Groupes r´esolubles

1. Sous-groupe distingu´e (ou normal, ou invariant)
Objectif : d´eterminer des CNS permettant de construire
le groupe quotient G/H `a partir de H//G, comme on a obtenu
/n `a partir de n//.
Heuristique : Soit (G, ∗, e)un groupe.
•Pour tout sous-groupe H//G, on d´efinit deux relations d’´equivalence
(∀x, x0∈G)xRdx0d´ef ⇐⇒ x∗x0−1∈Het xRgx0d´ef ⇐⇒ x0−1∗x∈H
dont les classes d’´equivalence de x∈Gsont respectivement :
Rd(x) = Hx (classe `a droite) et Rg(x) = xH (classe `a gauche)
•Dans le cas n//, ces deux relations d’´equivalence co¨ıncident, de
mˆeme lorsque Gest ab´elien.

Heuristique (2)
•En g´en´eral, Rd6=Rg. Choisissons Rd(pour fixer les id´ees . . .). Le
candidat est l’ensemble quotient G/Rdmuni de sa projection canonique π.
H//G
π
G/Rd={π(x) = Hx :x∈G}
•Il s’agit de munir G/Rdd’une loi ∗0qui fasse de πun morphisme, i.e.
(∀x, x0∈G)π(x)∗0π(x0)d´ef ? =π(x∗x0)
Cette d´efinition est licite si et seulement si Rdest compatible avec la
structure du groupe G:
(∀x, x0, y, y0∈G)π(x) = π(y)
et π(x0) = π(y0)?
=⇒π(x∗x0) = π(y∗y0)

Heuristique (3)
Autrement ´ecrit :
(∀x, x0, y, y0∈G)x∗y−1∈H
et x0∗y0−1∈H?
=⇒(x∗x0)∗(y∗y0)−1∈H
Par un petit calcul dans le groupe G, on remarque :
(x∗x0)∗(y∗y0)−1=x∗(x0∗y0−1)∗y−1

Sous-groupe distingu´e (ou normal, ou invariant)
Soient (G, ∗, e)un groupe et un sous-groupe H//G.
D´efinition-proposition
Les assertions ci-dessous sont ´equivalentes :
1L’une des relations d’´equivalence Rdou Rgest compatible avec la loi
de G.
2(∀x∈G)xHx−1⊂H
3(∀x∈G)xH =Hx (ou, de fa¸con ´equivalente, Rd=Rg)
4Hest invariant par les automorphismes int´erieurs.
Si l’une d’elles est v´erifi´ee, on dit Hest un sous-groupe distingu´e (ou
normal, ou invariant) de G, et on note :
HCG