notes de cours - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Universit´e Bordeaux 1
Licence de Sciences, Technologies, Sant´e
Mentions Math´ematiques et Informatique
N1MA4M11 Alg`ebre 3
Alg`ebre 3
Christine Bachoc

Table des mati`eres
1 Applications et relations d’´equivalence 7
1.1 Rappels sur les applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Relations d’´equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Groupes, sous-groupes 11
2.1 D´efinition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Sous-groupes ..................................... 13
2.3 Sous-groupe engendr´e par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Produit direct de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Morphismes de groupes 17
3.1 D´efinitions....................................... 17
3.2 Noyau,Image..................................... 18
3.3 Le groupe des automorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Ordres 21
4.1 Ordre d’un ´el´ement, ordre d’un groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.3 Classes modulo un sous-groupe, th´eor`eme de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Sous-groupes distingu´es, quotients 25
5.1 Introduction...................................... 25
5.2 Sous-groupes distingu´es et groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5.3 Sous-groupes distingu´es et morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 Groupes cycliques, groupes di´edraux 29
6.1 Groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.2 La fonction d’Euler et le th´eor`eme chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.3 Groupes di´edraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7 Groupes op´erant sur un ensemble 33
7.1 Introduction...................................... 33
7.2 Actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.3 Orbites et stabilisateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
7.4 Exemples d’actions de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3

8 Le groupe sym´etrique Sn37
8.1 Notations ....................................... 37
8.2 La d´ecomposition canonique d’une permutation en produit de cycles . . . . . . 38
8.3 Autres d´ecompositions des permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
8.4 Lasignature...................................... 40
9 Anneaux 43
9.1 D´efinitions....................................... 43
9.2 Exemples d’anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
9.3 Sous-anneaux, produits directs et morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
10 Id´eaux, anneaux quotients 47
10.1Id´eaux......................................... 47
10.2 Id´eaux principaux, anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
10.3 Quotient d’un anneau par un id´eal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
10.4 Caract´eristique d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
10.5 Id´eaux premiers et maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
10.6 Anneaux non commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
11 Introduction aux corps finis 53
11.1 Polynˆomes `a une ind´etermin´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
11.2 Le quotient K[X]/(P(X)).............................. 54
11.3 Introduction aux corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4

Introduction
5