G, G0f:GG0
Im(f)Ker(f)G G0
Im(f)G Ker(f)G0
|G|=|Im(f)| |Ker(f)|.
f1f1:GIm(f)f1
¯
f1:G/Ker(f)
Im(f)Ker(f)/Ker(f)Im(f)
G/Ker(f)
|Im(f)|=|G/Ker(f)|=|G|/|Ker(f)|,
G f G G0a
G f(a)Im(f)yIm(f)xG f(x) = y
G n Zx=any=f(a)n
GRG
gRg0xG g =xg0x1
RG g g0
G G
RgG g =ege1gRgR
g, g0G gRg0xG g =xg0x1
x1gx =g0
g0= (x1)g(x1)1,
g0RgRg, g0, g00 gRg0g0Rg00
x, y g =xg0x1g0=yg00 y1
g=xyg00y1x1= (xy)g00 (xy)1,
gRg00
H G f :G→ {0,1}
H f(x) = 1 xH f(x) = 0 f
R¯
f:G/R → {0,1}
gRg0
f(g) = f(g0)g, g0x g =xg0x1g0H
g H g g0H
H f(g) = f(g0)
xG cx:GG cx(g) = xgx1
g, g0G
cx(g)cx(g0) = xgx1xg0x1=x(gg0)x1=cx(gg0),
cxcxcx1=IdGcx1cx=IdG
cx
g, g0g g0
cx
x g =xg0x1=cx(g0)n cx(g0n) = gn
cxg0hg0i={g0n:nZ}
g cxGhg0i
hg0i hgi
o:GNgR
g, g0
g g0
g g0o(g) = o(g0)
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