Probabilités, statistiques, signaux aléatoires

Probabilités, statistiques,
signaux aléatoires
Mohamed CHETOUANI
Mohamed.Cheto[email protected]
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Plan
• Probabilités et Statistiques
• Processus aléatoires
• Caractérisation temporelle et statistique de signaux
aléatoires
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Rappels de probabilité
• Notion de probabilité
• Théorie des probabilités
• Variables aléatoires
• Lois discrètes et continues classiques
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Notion de probabilité
• Expérience aléatoire (épreuve):
•Expérience dont on ne peut prévoir à l’avance le
résultat et qui, dans des conditions identiques peut
donner ou aurait donné lieu à des résultats différents.
• Le résultat d’une expérience aléatoire est un événement
noté ω.
• ω est un élément de tous les résultats possibles Ω (univers
des possibilités).
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Notion de probabilité
• Exemple:
On jette une pièce de monnaie. On choisit Ω:{ω1, ω2}
où ω1 représente l’événement « le coté visible est pile » et
ω2 « le côté visible est face ».
La définition des événements est arbitraire et dépend de ce
que l’on cherche à observer…
⇒Loi de probabilité:
Loi qui régit l’expérience aléatoire
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Théories des probabilités
• L’univers Ω représente l’ensemble des événements
possibles:
•P(Ω)=1 => P(Ø)=0 (ensemble vide)
•Soit A un événement de probabilité non nulle
•A ∈ Ω de probabilité P(A)
• Probabilité du contraire:
!
P(A )=1"P(A)
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Théories des probabilités
• Soit B un événement de l’univers Ω de probabilité
P(B).
• Monotonie:
• Probabilités totales:
• Probabilités d’un ensemble d’événements:
!
A"B#P(A)$P(B)
!
P(A"B)=P(A)+P(B)#P(A$B)
!
P(")=P( #
i)
i=1
n
$=1
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Théories des probabilités
Probabilités d’un ensemble d’événements:
Equiprobabilité:
Calcul de probabilité dans le cas équiprobable:
!
P(A)=nombre d'issues favorables à A
nombre d'issues possible
!
P(")=P( #
i)
i=1
n
$=1
!
P( "
1)=P(
"
2)=... =P(
"
n)
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Théories des probabilités
• Probabilité conditionnelle:
•Le fait de savoir qu’un événement s’est produit
peut modifier la probabilité que nous attachons
à un autre événement.
• Notation:
=>
!
P(A|B)
!
P(A|B)=P(A"B)
P(B)
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Théories des probabilités
•Formule de Bayes:
• Recherche des probabilités des causes d’événements
donnés
Exemple:
• Deux usines fabriquent des ampoules:
• 1% des ampoules fabriquées par la 1ère usine sont
défectueuses.
• 3% des ampoules fabriquées par la 2nde usine sont
défectueuses.
• Dans un lot de 1000 ampoules, 600 viennent de la 1ère usine
et 400 de la seconde. On tire au hasard une ampoule et celle-ci
est défectueuse.
• Question: Quelle est la probabilité pour que l’ampoule
défectueuse provienne de la 1ère usine?
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