Probabilités, statistiques, signaux aléatoires Mohamed CHETOUANI [email protected] Plan Plan Probabilités Signaux aléatoires • Probabilités et Statistiques • Processus aléatoires • Caractérisation temporelle et statistique de signaux aléatoires 2 Rappels de probabilité Plan Probabilités • Notion de probabilité Signaux aléatoires • Théorie des probabilités • Variables aléatoires • Lois discrètes et continues classiques 3 Notion de probabilité Plan Probabilités Signaux aléatoires • Expérience aléatoire (épreuve): • Expérience dont on ne peut prévoir à l’avance le résultat et qui, dans des conditions identiques peut donner ou aurait donné lieu à des résultats différents. • Le résultat d’une expérience aléatoire est un événement noté ω. • ω est un élément de tous les résultats possibles Ω (univers des possibilités). 4 Notion de probabilité Plan • Exemple: On jette une pièce de monnaie. On choisit Ω:{ω1, ω2} où ω1 représente l’événement « le coté visible est pile » et ω2 « le côté visible est face ». Probabilités Signaux aléatoires La définition des événements est arbitraire et dépend de ce que l’on cherche à observer… ⇒Loi de probabilité: Loi qui régit l’expérience aléatoire 5 Théories des probabilités Plan • L’univers Ω représente l’ensemble des événements possibles: • P(Ω)=1 => P(Ø)=0 (ensemble vide) Probabilités Signaux aléatoires •Soit A un événement de probabilité non nulle • A ∈ Ω de probabilité P(A) • Probabilité du contraire: P(A ) = 1" P(A) ! 6 Théories des probabilités Plan Probabilités Signaux aléatoires • Soit B un événement de l’univers Ω de probabilité P(B). • Monotonie: A " B # P(A) $ P(B) • Probabilités totales: P(A " B) = P(A) + P(B) # P(A $ B) ! • Probabilités d’un ensemble d’événements: n P(") = $ P(# i ) = 1 ! i=1 7 ! Théories des probabilités Plan Probabilités d’un ensemble d’événements: Probabilités Signaux aléatoires n P(") = $ P(# i ) = 1 i=1 Equiprobabilité: P("1 ) = P(" 2 ) = ... = P(" n ) ! Calcul de probabilité dans le cas équiprobable: ! P(A) = nombre d'issues favorables à A nombre d'issues possible 8 ! Théories des probabilités Plan Probabilités Signaux aléatoires • Probabilité conditionnelle: • Le fait de savoir qu’un événement s’est produit peut modifier la probabilité que nous attachons à un autre événement. • Notation: => P(A | B) = P(A | B) P(A " B) P(B) ! ! 9 Théories des probabilités Plan Probabilités Signaux aléatoires •Formule de Bayes: • Recherche des probabilités des causes d’événements donnés Exemple: • Deux usines fabriquent des ampoules: • 1% des ampoules fabriquées par la 1ère usine sont défectueuses. • 3% des ampoules fabriquées par la 2nde usine sont défectueuses. • Dans un lot de 1000 ampoules, 600 viennent de la 1ère usine et 400 de la seconde. On tire au hasard une ampoule et celle-ci est défectueuse. • Question: Quelle est la probabilité pour que l’ampoule défectueuse provienne de la 1ère 1 usine? 0 Théories des probabilités Plan Probabilités Signaux aléatoires •Formule de Bayes: • Recherche des probabilités des causes d’événements donnés. • Soit A l’événement « l’ampoule provient de la 1ère usine » et B l’événement « l’ampoule provient de la 2nde usine » • Soit D l’événement « l’ampoule est défectueuse » • •Répondre à la question revient à estimer: P(A | D) 1 1 ! Théories des probabilités Plan •La formule de Bayes permet ce calcul: Probabilités Signaux aléatoires P(A | D) = P(A " D) P(D | A)P(A) = P(D) P(D) • Réponse: ! P(A | D) = • Cas général: P(Bi | A) = ! 6 P(A " D) 1000 = 1 = 6 + 12 P(D) 3 1000 P(A | Bi )P(Bi ) = P(A) P(A | Bi )P(Bi ) n " P(A | B )P(B ) j j=1 1 2 ! j Variables aléatoires Plan Probabilités Signaux aléatoires • « Grandeur » variant selon le résultat d’une expérience aléatoire. • Somme des faces de 2 dés (discrète) • Distance entre le point d’impact d’une flèche et la cible (continue) • [km parcouru retard du bus] (vecteur aléatoire de dimension 2) 1 3 Variables aléatoires Plan Probabilités Signaux aléatoires • A chaque élément ω de Ω correspond un nombre réel x associé à la variable aléatoire X 1 4 Variables aléatoires Plan Probabilités Signaux aléatoires Exemple: On tire au hasard une personne dans une population donnée: L’événement élémentaire ωi est : « on a tiré la personne i » On définit les variables aléatoires U, V, W par: • U(ωi)= taille de la personne • V(ωi)= poids de la personne • W(ωi)= année de naissance •… 1 5 Variables aléatoires Plan Probabilités Variable aléatoire discrète ou continue: Signaux aléatoires X(Ω) dénombrable: variable discrète X(Ω) non dénombrable: variable continue 1 6 Variables aléatoires Plan Probabilités Signaux aléatoires Loi de probabilité d’une variable aléatoire: Une variable aléatoire est caractérisée par l’ensemble des valeurs qu’elle peut prendre et par la probabilité de ces valeurs Variable aléatoire U. Soit ui = 1,73m P(U=ui) est la probabilité de tirer au hasard une personne dont la taille est égale à 1,73m. P(U=ui) est parfois simplifiée par pui 1 7 Variables aléatoires Plan Probabilités Signaux aléatoires Fonction de répartition: On appelle fonction de répartition d’une variable aléatoire X, la fonction FX telle que: 1 8 Variables aléatoires Plan Probabilités Exemple : Signaux aléatoires 1 9 Variables aléatoires continues Plan Probabilités Signaux aléatoires Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle donné. Exemple: - masse corporelle, - Distance entre le point d’impact d’une flèche et la cible (continue) 2 0 Variables aléatoires continues Plan Probabilités Signaux aléatoires Densité de probabilité: On appelle densité de probabilité tout fonction continue positive de la forme: Telle que: 2 1 Variables aléatoires continues Plan Probabilités Densité de probabilité: Signaux aléatoires 2 2 Variables aléatoires continues Plan Probabilités Fonction de répartition: Signaux aléatoires La fonction de répartition FX est la primitive de la fonction de densité de probabilité f(x) 2 3 Variables aléatoires continues Plan Probabilités Signaux aléatoires Fonction de répartition: Soit X une variable aléatoire continue de densité f et de fonction de répartition FX, alors: 2 4 Variables aléatoires continues Plan Probabilités Signaux aléatoires Fonction de répartition: Probabilité cumulée 2 5 Variables aléatoires continues Plan Probabilités Signaux aléatoires Fonction de répartition: Propriétés: 2 6 Espérance et Variance Plan Probabilités Signaux aléatoires Espérance mathématique: L’espérance d’une variable aléatoire E[X] correspond à la moyenne des valeurs possibles de X pondérées par les probabilités associées à ces valeurs. => Moment d’ordre 1 2 7 Espérance et Variance Plan Probabilités Signaux aléatoires Propriétés: Si X et Y deux variables aléatoires définies sur un même univers Ω, admettant une espérance alors: 2 8 Espérance et Variance Plan Probabilités Signaux aléatoires Variance: Si X est une v.a. ayant une espérance E[X], on appelle variance de X: => Moment centré d’ordre 2 Et on appelle écart-type de X: 2 9 Espérance et Variance Plan Probabilités Signaux aléatoires Variable aléatoire centrée et réduite: Une variable aléatoire X est dite centrée si E[X]=0 Une variable aléatoire X est dite réduite si V[X]=1 A toute v.a. X d’espérance E[X] et de variance V[X] on peut associer la variable suivante: Dite v.a. centrée réduite 3 0 Quelques lois de probabilité Plan Probabilités Lois de probabilité classiques: Signaux aléatoires Loi uniforme: Densité de probabilité Fonction de répartition 3 1 Quelques lois de probabilité Plan Probabilités Lois de probabilité classiques: Signaux aléatoires Loi normale: Densité de probabilité Fonction de répartition 3 2 Exercices Plan Probabilités Signaux aléatoires 3 3 Exercices Plan Probabilités Signaux aléatoires 3 4 Signaux aléatoires Plan Probabilités Signaux aléatoires Un signal aléatoire est un phénomène qui dépend à la fois du temps et du hasard… 3 5 Signaux aléatoires Plan Probabilités Signaux aléatoires Un signal aléatoire est un phénomène qui dépend à la fois du temps et du hasard… Caractérisation temporelle (moments temporels): Moyenne temporelle: 3 6 Signaux aléatoires Plan Probabilités Auto-corrélation temporelle: Signaux aléatoires 3 7 Signaux aléatoires Plan Probabilités Caractérisation statistique: Signaux aléatoires Moyenne statistique: 3 8 Signaux aléatoires Plan Probabilités Caractérisation statistique: Signaux aléatoires Fonction d’auto-corrélation statistique: Fonction d’inter-corrélation statistique: 3 9 Signaux aléatoires Plan Probabilités Signaux aléatoires Stationnarité: Un signal est stationnaire au premier ordre si sa valeur moyenne est constante: Un signal est stationnaire au second ordre si sa valeur moyenne est constante et si sa fonction d’auto-corrélation est fonction du retard τ: 4 0 Signaux aléatoires Plan Probabilités Signaux aléatoires Ergodicité: Un signal est ergodique si ses moyennes statistiques et temporelles sont égales (1er ordre): Second ordre: les fonctions d’auto-corrélation statistique 4 1 Signaux aléatoires Plan Probabilités Signaux aléatoires Stationnarité et Ergodicité: 4 2 Exercice Plan Probabilités Signaux aléatoires 4 3