SY01 - Éléments de probabilités - UTC
Sommaire
Concepts
Exemples
Exercices
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suivant I
2
Chapitre V
Variables aléatoires vectorielles
V.1 Couple de variables aléatoires discrètess .................. 3
V.2 Variables aléatoires vectorielles ........................ 11
V.3 Transformation d’un vecteur aléatoire .................... 18
V.4 Vecteur aléatoire Gaussien ........................... 23
V.5 Indépendance .................................. 26
V.6 Loi de probabilité conditionnelle ........................ 30
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chapitre Nsection suivante I
3
V.1 Couple de variables aléatoires discrètess
V.1.1 Exemple .................................... 4
V.1.2 Loi du couple ................................ 5
V.1.3 Tableau de contingence ......................... 7
V.1.4 Espérance .................................. 8
V.1.5 Corrélation .................................. 10
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4
V.1.1 Exemple
Pour un échantillon de 1000 naissances on a obtenu des résultats concernant le problème des
naissances prématurées. On note Xle nombre de mois entiers écoulés entre la conception et la
naissance d’un enfant et Yle poids de l’enfant à la naissance (en arrondissant au kg inférieur).
Les résultats sont résumés en pourcentage dans le tableau qui suit.
Y\X6 7 8 9
1 8 2 0 0
2 2 5 10 3
3 0 5 25 10
4 0 0 10 20
Le tableau ci-dessus résume les informations de nature “statistique” concernant une naissance
prématurée de la façon suivante : P(X= 7; Y= 3) = 0,05,P(X= 8; Y=4)=0,1, etc.
L’observation de ce tableau permet de voir que la simple connaissance des lois de Xet Yne
suffit pas à “reconstruire” toute l’information contenue dans le tableau. Il s’avère donc néces-
saire d’étudier le couple (X, Y )dans sa globalité.
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5II
V.1.2 Loi du couple
Exercices :
Exercice A.1.1
Exercice A.1.2
Nous n’avons manipulé jusqu’à présent que des v.a.r. Considérons maintenant Xet Ydeux
v.a.r. discrètes à valeurs dans EXet EYet intéressons-nous au couple (X, Y ).
Définition V.1.1. On appelle loi de probabilité conjointe de (X, Y )l’application pX,Y de EX×EY
dans [0,1] définie par :
∀(x, y)∈EX×EY, pX,Y (x, y) = P(X=x;Y=y).
Les probabilités pXet pY, définies pour (x, y)∈EX×EYpar :
pX(x) = P(X=x) = X
y∈EY
pX,Y (x, y)
et
pY(y) = P(Y=y) = X
x∈EX
pX,Y (x, y),
sont appelées lois marginales de Xet Y.
L’application FX,Y définie sur R2par :
∀(x, y)∈R2, FX,Y (x, y) = P(X≤x;Y≤y)
est appelée fonction de répartition de (X, Y ).
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