Réfraction 1 Position du problème 2 Continuité des vecteurs d`onde

Université Pierre et Marie Curie - Licence de Physique L3- Parcours PF II-1
Module LP315 Electromagnétisme II et Optique Pierre Boissel Année 2006/2007
II – Réflexion - Réfraction
1 Position du problème
Dans ce chapitre, il s'agit d'étudier le comportement d'une onde électromagnétique plane
arrivant à l'interface entre deux milieux diélectriques linéaires homogènes et isotropes d'indice
de réfraction différents. Les deux milieux seront supposés non-absorbants. Une telle interface
est appelée dioptre plan.
Les caractéristiques de l'onde incidente étant données, deux contraintes doivent être
respectées :
- les équations de propagation de l'onde électromagnétique dans chaque milieu
- les conditions de continuité sur les champs électrique et magnétique sur la surface de
séparation.
La première contrainte est traduite d'une part par les équations de dispersion reliant le vecteur
d'onde k et la pulsation ω dans chaque milieu :
2
2
2
1
2
1
c
nk
ω
=, 2
2
2
2
2
2
c
nk
ω
=
d'autre part par une relation entre les champs électrique et magnétique, par exemple
ω EkB
r
r
r
∧=
Les équations de Maxwell imposent que les composantes tangentielles du champ électrique et
du champ magnétique soient égales de chaque côté de la surface. L'onde incidente donne
naissance dans le milieu 2 à une onde transmise, appelée aussi onde réfractée. Pour que les
conditions de continuité soient respectées, il est nécessaire d'avoir aussi une onde réfléchie
dans le milieu 1.
Ces trois ondes sont des ondes planes :
(
)
[
]
rktiE i
i
i
r
r
r
r
⋅−= ω exp
0
E
(
)
[
]
rktiE r
r
r
r
r
r
r
⋅−= ω exp
0
E
(
)
[
]
rktiE t
t
t
r
r
r
r
⋅−= ω exp
0
E
Le choix des axes de coordonnées est représenté ci-
contre: - l'axe Oz est normal à la surface.
- l'axe Ox est dans le plan contenant Oz et k
r
,
appelé plan d'incidence.
2 Continuité des vecteurs d'onde
Les conditions de continuité des champs devant être vérifiées pour toutes les valeurs de t, les
trois ondes doivent avoir la même pulsation. On peut donc écrire directement les équations
pour les composantes tangentielles des amplitudes complexes :
1
i
k
r
r
k
r
t
k
r
2
i
1
i'
1
i
2
x
z

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Module LP315 Electromagnétisme II et Optique Pierre Boissel Année 2006/2007
(
)
(
)
(
)
rkiErkErkiE t
tT
r
rT
i
iT
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅−=⋅−+⋅− expexpexp 000
soit :
(
)
[
]
(
)
[
]
rkkiErkkEE it
tT
ir
rTiT
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅−−=⋅−−+ expexp 000
Cette condition devant être vraie pour tout point de la surface, y compris l'origine O, on doit
avoir
(
)
(
)
0=⋅−=⋅− rkkrkk itir
r
r
r
r
r
r
. Les vecteurs
(
)
ir kk
r
r
− et
(
)
it kk
r
r
− sont perpendiculaires à la
surface de séparation, ce qui entraîne trois résultats :
- kry = kty = 0 Les vecteurs d'onde r k
r
et t k
r
sont dans le plan xOz.
Les rayons réfléchi et réfracté sont dans le plan d'incidence.
- krx = kix Les deux ondes étant dans le même milieu d'indice n1, on en déduit que les
angles i1 et i'1 sont égaux.
L'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence.
- ktx = kix Les ondes étant cette fois dans deux milieux différents, on obtient la
formule bien connue donnant l'angle de réfraction :
[II-1] 2211 sinsin inin =
Ces trois résultats sont généralement appelés Lois de Descartes bien qu'ils aient tous été
établis antérieurement à Descartes.
Si l'indice n1 est supérieur à n2 l'angle de réfraction ne peut pas toujours être calculé par la
formule ci-dessus. Si l'angle d'incidence et supérieur à un angle limite iL tel que
12
sin nniL=, l'onde réfractée ne pénètre plus dans le milieu 2. C'est le cas de la réflexion
totale qui sera étudié plus loin.
3 Coefficients de réflexion et de réfraction
Les coefficients de réflexion et de réfraction sont des nombres qui caractérisent le rapport
entre les amplitudes des ondes réfléchie et transmise et l'amplitude de l'onde incidente. Nous
allons calculer ces coefficients, pour deux polarisations particulières de l'onde incidente, dans
le cas où il n'y a pas de réflexion totale.
3.1 Champ électrique perpendiculaire au plan d'incidence (onde s)
L'onde incidente étant donnée :
(
)
[
]
yi
i
iurktiE
r
r
r
r
⋅−= ω exp
0
E,
les ondes réfléchies et transmises s'écrivent :
(
)
[
]
yr
r
rurktiE
r
r
r
r
⋅−= ω exp
0
E
(
)
[
]
yt
t
turktiE
r
r
r
r
⋅−= ω exp
0
E
i
E0 , r E0et t E0 étant des constantes scalaires.
1
i
k
r
r
k
r
t
k
r
2
i
1
i
2
x
z
i
E
r
i
B
r
r
B
r
t
B
r
r
E
r
t
E
r

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Les coefficients de réflexion et de transmission ⊥ r et ⊥ tsont définis par :
ir ErE 00 ⊥
= et it EtE 00 ⊥ =, l'indice ⊥ rappelant que ces coefficients sont calculés pour une
polarisation perpendiculaire au plan d'incidence.
En tenant compte de la relation
ω
Ek
B
r
r
r∧
=, la disposition des vecteurs est celle décrite sur la
figure. Les conditions de continuité des composantes tangentielles sont alors :
tyryiy EEE =+ ⇒ ⊥
⊥=+ tr1 ,
rtrxix BBB =+ ⇒
(
)
2211 coscos1 intinr ⊥
⊥=− ,
d'où l'on tire les expressions des coefficients, appelées Formules de Fresnel :
[II-2]
2211
2211
coscos
coscos
inin
inin
r+
−
=
⊥,
2211
11
coscos
cos2
inin
in
t+ =
⊥
On remarque que ⊥ r et ⊥ t sont réels. Il n'y a pas de déphasage à la réflexion et a la
transmission.
3.2 Champ électrique parallèle au plan d'incidence (onde p)
La direction et le sens positif des champs sont
représentés sur la figure. Il faut noter que, les
champs électriques des trois ondes n'étant plus
selon le même axe, la convention définissant le
sens positif pour les champs Er et Et n'est pas
automatique. La convention choisie est celle qui
donne le même sens positif pour les trois champs
lorsque l'incidence est normale (i1 = 0).
Avec cette convention, les équations de continuité
deviennent :
(
)
2
//
1
// coscos1 itir =+ ,
(
)
2//1
//
1ntnr =− ,
d'où l'on tire les formules de Fresnel pour cette polarisation :
[II-3]
1221
1221
// coscos
coscos
inin
inin
r+
−
=,
1221
11
// coscos
cos2
inin
in
t+ =
3.3 Cas général, polarisation quelconque.
On remarque que, pour un angle d'incidence non nul, les coefficients de réflexion pour
les polarisations parallèle au plan d'incidence et perpendiculaire a celui-ci sont différents. Il en
est de même pour les coefficients de transmission. Il en résulte que, pour une onde
quelconque, la direction de polarisation ne sera pas conservée après réflexion ou transmission.
1
i
k
r
r
k
r
t
k
r
2
i
1
i
2
x
z
i
E
r
i
B
r
r
B
r
t
B
r
r
E
r
t
E
r

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En effet, le champ incident i E
r
peut être décomposé selon les vecteurs unitaires // u
r
et ⊥ u
r
,
respectivement parallèle et perpendiculaire au plan d'incidence : ⊥⊥ += uEuEE iii
r
r
r
//// .
Après réflexion on peut écrire, avec les mêmes conventions, ⊥⊥ += uEuEE rrr
r
r
r
//// . Le rapport
⊥⊥⊥ = i
i
r
r
E
E
r
r
E
E////// étant différent de
⊥i
i
E
E// , l'angle du vecteur champ électrique avec le plan
d'incidence sera modifié.
On voit donc que seules les polarisations selon // u
r
(polarisation p) et selon ⊥ u
r
(polarisation s)
seront conservées lors de la réflexion ou de la réfraction. Ce sont des modes propres de
polarisation. Toute autre forme de polarisation devra donc être décomposée selon ces modes
propres, puis recomposée après réflexion ou réfraction.
4 Réflexion totale
4.1 Onde évanescente
La composante en z du vecteur d'onde dans le milieu 2, tz k est déterminée par la relation de
dispersion,
2
2
2
2
2n
c
kt
ω
=
r
et par la continuité des composantes tangentielles,
11 sin in
c
kk ixtx
ω
== .
D'où :
(
)
1
2
2
1
2
2
2
2
222 sin inn
c
kkk txttz −=−=
ω
.
Si l'angle d'incidence est inférieur à l'angle limite iL, 1
2
2
1
2
2sin inn − est positif et l'angle i2
existe. On a donc :
(
)
2
222
2
2
2
2
21
2
2
1
2
2cossinsin ininninn =−=− .
Au delà de l'angle limite par contre, 1
2
2
1
2
2sin inn − est négatif. Il n'y a de solution qu'en
prenant tz kcomplexe. En posant 2
21
2
2
1sin nin −=
γ
on peut écrire 2
2
2
2
γ
ω
c
ktz −= , d'où :
γ
ω
c
iktz ±=
L'expression générale de l'onde transmise dans le milieu 2 est alors :
( )
[ ] xktiz
c
Ez
c
Etx
tt
t−
++ −= +−
ωγ
ω
γ
ω
expexpexp
rr
r
E
Dans le cas étudié ici, le milieu 2 étant illimité, le deuxième terme donnerait un champ
exponentiellement croissant vers les z positifs. On doit donc avoir 0=
+
t
E
r
. Remarquons que
ceci n'est plus vrai si le milieu 2 est limité vers les z positifs par autre une interface. C'est le
cas par exemple dans la réflexion totale frustrée (voir 4.4).
L'expression du champ dans le milieu 2 est donc finalement :

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( )
[ ]
xktiz
c
Etx
t
t−
−=
ωγ
ω
expexp
r
r
E
Dans le cas d'une onde polarisée linéairement, selon Oy par exemple, le champ réel s'écrit :
( )
yttx
t
tuxktz
c
Er
r
ϕωγ
ω
+−
−= cosexpE
L'onde est donc une onde progressive dans la direction de l'axe Ox tout en ayant le caractère
d'une onde stationnaire, exponentiellement décroissante dans la direction Oz . Cette onde est
appelée onde évanescente.
L'amplitude de l'onde est divisée par e à une distance
π
λ
γγω 2
1
== c zde l'interface. Si l'angle
d'incidence i1 n'est pas trop voisin de l'angle limite iL (pour lequel 0
=
γ
),
γ
est de l'ordre de 1.
Le champ électrique dans le milieu 2 n'a donc de valeur notable que pour des distances à
l'interface de l'ordre de la longueur d'onde.
Remarque :
Bien que l'expression complexe de son champ électrique soit de la forme
( )
(
)
[
]
rktiErt
r
r
r
r
r
⋅−= ω exp, 0 E, cette onde n'est pas une onde plane.
4.2 Coefficients de réflexion
La relation
ω
Ek
B
r
r
r∧
=qui a été utilisée pour le calcul des coefficients dans le cas ou i2 existe
reste valable pour un vecteur d'onde k
r
complexe. Pour une onde polarisée
perpendiculairement au plan d'incidence, l'ensemble des calculs peut être repris en remplaçant
22 cos in
c
kz
ω
= par γ
ω
c
ik z−= , c'est à dire en remplaçant 22 cos in par
γ
i
−
.
Le coefficient de réflexion pour les amplitudes est donc :
γ
γ
iin
iin
r−
+
=
⊥
11
11
cos
cos , que l'on peut mettre sous la forme :
⊥
⊥
⊥Γ− Γ+
=i
i
r1
1 avec
11
2
21
2
2
1
11 cos
sin
cos in
nin
in
−
==Γ⊥
γ
Pour une onde polarisée dans le plan d'incidence, le calcul est un peu plus délicat car on ne
peut pas définir simplement un coefficient de transmission pour l'amplitude du champ
électrique. La substitution de 22 cos in par
γ
i
−
donne cependant le résultat correct :
1221
1221
// cos
cos
innni
innni
r+−
−
−
=
γ
γ
, soit :
//
//
// 1
1Γ− Γ+
−= i
i
r avec ⊥ Γ==Γ 2
2
2
1
1
2
2
1
// cos n
n
in
n γ