Devoir surveillé

Département de mathématiques et de génie industriel
École Polytechnique de Montréal
MTH2210A-CALCUL SCIENTIFIQUE POUR INGÉNIEURS
DEVOIR
2 décembre 2016
Directives : Vous avez trois heures pour compléter les deux questions de ce devoir. À la
fin de la séance, vous devez remettre sur MoodleQuiz la version PDF de votre rapport
de laboratoire. Rédigez et présentez votre rapport en utilisant la fonction publish de
Matlab. Voir le fichier RapportDev.m. Vous devez utiliser les fonctions de la bibliothèque
numérique du cours et le logiciel Matlab. Le fichier RapportDev.m et les fonctions utiles
pour le devoir sont disponibles dans la bibliothèque numérique du cours.
1. La formule de Colebrook pour les écoulements turbulents dans les canalisations
cylindriques permet de relier le nombre de Reynolds Re ( basé sur le diamètre de la
canalisation) à un coefficient de friction f et est donnée par


k 
2,51
1
q = −2 log10  q +
,
(1)
3,7
f
Re f
où k est la rugosité relative de la canalisation.
Cette formule est utilisée pour des nombres de Reynolds supérieurs à 4000. De
plus, le coefficient de friction décroit avec le nombre de Reynolds et en régime
laminaire (Re < 2100), le coefficient de friction est donné par f = R64e .
6
)
( 20
(a) Pour Re = 13743 et k = 0,00375, déterminer numériquement le coefficient
de friction. Identifier le problème à résoudre, justifier le choix de la méthode
numérique utilisée et des paramètres nécessaires à l’utilisation de cette méthode.
La fonction log10 de Matlab pourrait être utile.
4
( 20
)
(b) Pour les données de la question (a), obtenir de la formule de Colebrook une
méthode de points fixes qui converge à l’ordre 1 vers le coefficient de friction f .
Une fois la valeur de f obtenue, calculer les ratios des erreurs | en+1
| et | en+1
2 |.
en
en
Présenter à l’aide de la commande fprintf les valeurs des ratios dans un
tableau de 2 colonnes. Déterminer à partir des valeurs du tableau, le taux de
convergence de cette méthode de points fixes.
Le rapport doit contenir : la justification du choix de la méthode et des arguments
initiaux, le programme Matlab et le fichier de résultats (resultat.dat) de la fonction
de la bibliothèque numérique utilisée à la question (a) ; le programme Matlab, le
tableau produit par ce programme, le fichier de résultats (resultat.dat) de la fonction
de la bibliothèque numérique utilisée et la discussion sur le taux de convergence
obtenu à la question (b).
2. Le système d’équations différentielles modélisant le mouvement d’un pendule de
Foucault est :

x 00 (t) = 2ωy 0 (t) sin ψ − k2 x(t);
y 00 (t) = −2ωx 0 (t) sin ψ − k2 y(t),
où (x(t), y(t)) désigne la trajectoire du pendule dans le plan, ω = 7,29 × 10−5 s−1
g
est la vitesse angulaire de la terre, ψ est la latitude locale (en radians) et k2 = ` , où
g = 9, 8 sm2 est l’accélération gravitationnelle et ` est la longueur du pendule (en m).
Les conditions initiales nous donnant la position et la vitesse initiales du pendule
sont


x(0) = 1;
x 0 (0) = 0;
et
y(0) = 0
y 0 (0) = 0.
2
)
( 20
Nous allons considérer dans cette étude le pendule de Foucault installé dans le hall
d’honneur du pavillon Roger-Gaudry de l’Université de Montréal. Ce pendule est de
longueur l = 8 m, la période de chaque oscillation (aller-retour) de ce pendule est
de l’ordre de 5,68 secondes et la latitude de la ville de Montréal est ψ ' π4 .
(a) Transformer le système d’équations différentielles d’ordre 2 en un système de
4 équations différentielles d’ordre 1 et donner les conditions initiales associées
au système.
5
)
( 20
(b) On désire calculer la trajectoire parcourue par le pendule pendant les 3 premières périodes.
Résoudre le système obtenu en (a) par la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4
sur l’intervalle [0 , 17,04], tracer la trajectoire (x(t), y(t)) du pendule et
commenter les résultats obtenus. Faire plusieurs essais pour choisir le pas de
temps.
3
)
( 20
(c) On désire calculer l’angle de déviation du pendule par rapport à son axe initial
(l’horizontal) pendant 1 heure.
Résoudre le système obtenu en (a) par la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4
sur l’intervalle [0 , 3600] avec un pas h = 0,1 s. Tracer la trajectoire parcourue
par le pendule pendant 1 heure. Écrire un programme Matlab qui permet
de déterminer l’angle entre l’horizontal et le vecteur position (x(t), y(t)) à
t = 1 heure. En déduire la durée d’une rotation complète du pendule.
~ et v
~ vérifie
Note : On rappelle que l’angle θ entre les vecteurs u
~·v
~ = kuk
~ 2 kvk
~ 2 cos (θ).
u
La fonction acos de Matlab pourrait être utile.
Le rapport doit contenir : le fichier de la fonction du système d’équations différentielles et le programme Matlab à la question (a) ; le programme Matlab, le graphe
produit et la discussion à la question (b) ; le programme Matlab, le graphe produit
et les valeurs de l’angle et la période de rotation à la question (c).
Ne pas rendre les fichiers de résultats (resultat.dat) de la fonction de la bibliothèque
numérique rk4.m.
Les professeurs du cours MTH2210A