FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES 3 A. Cercle trigonométrique y Sin(a) Définition M a Le cercle trigonométrique est le cercle C de centre O(0, 0) et de rayon R = 1 dont l'équation est −1 O Cos(a) 1 x x2 + y2 = 1 Remarque : Le sens de parcours du cercle trigonométrique est le sens inverse des aiguilles d'une montre (par convention). B. Fonctions circulaires 1. La fonction sinus La fonction y = Sin ( x ) est une fonction IMPAIRE de période 2p. Cette fonction est continue et définie sur et vérifie les relations : − 1 ≤ Sin ( x ) ≤ 1 Sin ( − x ) = − Sin ( x ) Sin (π ± x ) = ∓ Sin ( x ) ⎛π ⎞ Sin ⎜ ± x ⎟ = Cos ( x ) ⎝2 ⎠ Sa dérivée qui se déduit par une rotation dans le sens inverse trigonométrique sur le cercle (sens horloge) est égale à : ( Sin ( x ) ) ' = Cos ( x ) http://ginoux.univ-tln.fr 1 2. La fonction cosinus La fonction y = Cos ( x ) est une fonction PAIRE de période 2p. Cette fonction est continue et définie sur et vérifie les relations : − 1 ≤ Cos ( x ) ≤ 1 Cos ( − x ) = Cos ( x ) Cos (π ± x ) = −Cos ( x ) ⎛π ⎞ Cos ⎜ ± x ⎟ = ∓ Sin ( x ) ⎝2 ⎠ Sa dérivée qui se déduit par une rotation dans le sens inverse trigonométrique sur le cercle (sens horloge) est égale à : ( Cos ( x ) ) ' = − Sin ( x ) Remarque : Les fonctions Sinus et Cosinus représentent les coordonnées du point M appartenant au cercle trigonométrique. Ces fonctions vérifient la relation suivante : Cos 2 ( x ) + Sin 2 ( x ) = 1 http://ginoux.univ-tln.fr 2 3. La fonction tangente La fonction y = Tan ( x ) est une fonction IMPAIRE de période p. Cette fonction est continue et définie sur π ⎧ ⎫ − ⎨( 2k + 1) , k ∈ ⎬ 2 ⎩ ⎭ et vérifie les relations : Tan ( − x ) = −Tan ( x ) Tan (π ± x ) = ±Tan ( x ) 1 ⎛π ⎞ Tan ⎜ ± x ⎟ = ∓ Tan ( x ) ⎝2 ⎠ Sa dérivée est égale à : (Tan ( x ) ) ' = Cos1 ( x ) = 1 + Tan ( x ) 2 2 4. La fonction cotangente 1 La fonction y = Cotan ( x ) = Tan x est une fonction IMPAIRE de ( ) période p. Cette fonction est continue et définie sur − {kπ , k ∈ } et vérifie les relations : Cotan ( − x ) = −Cotan ( x ) Cotan (π ± x ) = ±Cotan ( x ) ⎛π ⎞ Cotan ⎜ ± x ⎟ = ∓Tan ( x ) ⎝2 ⎠ Sa dérivée est égale à : ( Cotan ( x ) ) ' = Sin−1( x ) = − (1 + Cotan ( x ) ) 2 2 http://ginoux.univ-tln.fr 3 5. Angles remarquables π π π 6 4 3 0 1 2 2 1 = 2 2 3 2 1 Cos(x) 1 3 2 2 1 = 2 2 1 2 0 Tan(x) 0 1 3 = 3 3 1 x 0 Sin(x) 3 π ∞ C. Fonctions circulaires inverses 1. La fonction arcsinus y = Arcsin ( x ) ⇔ x = Sin ( y ) avec −1 ≤ x ≤ 1 Cette fonction continue et définie sur [ −1,1] vérifie les relations : − π 2 ≤ Arcsin ( x ) ≤ π 2 ⎧⎪ Arcsin ( x ) + 2nπ arcsin ( x ) = ⎨ ⎪⎩π − Arcsin ( x ) + 2nπ Sa dérivée est égale à : ( Arcsin ( x ) ) ' = http://ginoux.univ-tln.fr 1 1 − x2 4 2. La fonction arccosinus y = Arccos ( x ) ⇔ x = Cos ( y ) avec −1 ≤ x ≤ 1 Cette fonction continue et définie sur [ −1,1] vérifie les relations : 0 ≤ Arccos ( x ) ≤ π 2 ⎧⎪ Arccos ( x ) + 2nπ arccos ( x ) = ⎨ ⎪⎩− Arccos ( x ) + 2nπ Sa dérivée est égale à : ( Arccos ( x ) ) ' = − 1 1 − x2 Remarque : Les fonctions arcsinus et arccosinus vérifient la relation : Arccos ( x ) + Arcsin ( x ) = http://ginoux.univ-tln.fr π 2 5 3. La fonction arctangente y = Arctan ( x ) ⇔ x = Tan ( y ) avec x ∈ Cette fonction continue et définie sur − π ≤ Arctan ( x ) ≤ vérifie les relations : π 2 2 arctan ( x ) = Arctan ( x ) + nπ Sa dérivée est égale à : ( arctan ( x ) ) ' = 1 +1x 2 4. La fonction arcotangente y = Arccotan ( x ) ⇔ x = Cotan ( y ) avec x ∈ Cette fonction continue et définie sur vérifie les relations : 0 ≤ Arccotan ( x ) ≤ π arccotan ( x ) = Arccotan ( x ) + nπ Sa dérivée est égale à : ( arccotan ( x ) ) ' = 1 +−1x http://ginoux.univ-tln.fr 2 6 T.D. N°2 FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES N°1 : Démontrer de deux façons différentes : Arccos ( x ) + Arcsin ( x ) = π 2 N°2 : Démontrer de deux façons différentes qu'une primitive de • Arcsin ( x ) est xArcsin ( x ) + 1 − x 2 • Arccos ( x ) est xArccos ( x ) − 1 − x 2 N°3 : Calculs de limites : lim x →0 1 − Cos ( x ) Tan ( x ) 2 ; lim x →0 xSin ( x ) 1 − Cos ( x ) ; lim x →− π 2 1 + Sin ( x ) π⎞ ⎛ ⎜x+ ⎟ 2⎠ ⎝ 2 ; lim x→ π 4 Cos ( 2 x ) π⎞ ⎛ Sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ ; N°4 : Études des fonctions • • • 1 3 y = f ( x ) = Cos ( 3 x ) − Cos ( 2 x ) 3 4 y = g ( x ) = Cos 2 ( x ) − Cos ( x ) y = h ( x ) = (1 + Cos ( x ) ) Sin ( x ) ⎛ 2x ⎞ N°5 : On considère la fonction f définie par : f ( x ) = Arcsin ⎜ 2 ⎟ ⎝ 1+ x ⎠ 1. Ensemble de définition et parité de f 2. Calculer f ' ( x ) ; quel est l'ensemble de définition de f ' ( x ) Démontrer qu'il existe deux expressions simples de f ' ( x ) suivant l'intervalle auquel x appartient 3. Dresser le tableau de variations de f 4. Utiliser le 2. pour prouver que f peut s'écrire plus simplement sur chaque intervalle 5. Prouver par une autre méthode que, sur [ −1,1] , f ( x ) = 2 Arc tan ( x ) http://ginoux.univ-tln.fr 7