Statistique Descriptive

1
PROBABILITÉS
ET
STATISTIQUES
Probabilités et Statistiques
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L FOUCAN
2
Sommaire
Chapitre 1 Statistique descriptive
1
La statistique et les statistiques
2
Généralités sur les distributions statistiques
2.1
Population et échantillon
2.2
Variables statistiques
2.2.1 Variables quantitatives
2.2.2 Variables qualitatives ou catégorielles.
3
Distribution statistique d’une variable
3.1
Données brutes
3.2
Suites ordonnées
3.3
Distribution d’effectifs.
3.4
Intervalles de classe - bornes - centre de classe
3.5
Représentation des données
4
Indices de Position – Indices de dispersion.
4.1
Indices de position (moyenne, médiane, mode)
4.2
Indices de dispersion (étendue, valeurs extrêmes, quantiles, variance, écart-type)
5
Somme de deux variables
Chapitre 2 Principales distributions de probabilité
1
Notion de variable aléatoire
2
Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète
2.1
Loi Binomiale ou distribution de Bernoulli
2.2
Loi de Poisson :
3
Loi de probabilité d’une variable aléatoire continue
3.1
Loi de Laplace –Gauss (ou loi normale)
3.1.1
Définition de la loi normale
3.1.2 Courbe représentative de la densité de probabilité
3.1.3 Loi normale centrée réduite
3.1.4 Table de l’écart –réduit
3.1.5 Importance de la loi normale
3.2
Lois dérivées de la loi normale
3.2.1 Loi du chi-deux
3.2.2 Loi de Student
Chapitre 3 : Probabilités conditionnelles. Indépendance entre évènements. Théorème de Bayes.
1
Généralités
Les éventualités résultant d’une expérience:
Propriétés élémentaires des probabilités
2
Probabilités conditionnelles
3
Indépendance en Probabilité
4
Théorème de Bayes
Chapitre 4 Fluctuation d’échantillonnage
1
Population des Echantillons issus d’une population d’individu
2
Fluctuations d’échantillonnage d’une moyenne
3
Fluctuations d’échantillonnage d’une proportion
5
8
10
13
13
13
14
14
17
19
19
19
20
20
22
22
22
22
Chapitre 5 Estimation par intervalle de confiance
& Généralités
1
Estimation ponctuelle
2
Estimation par intervalle de confiance.
2.1
Variable quantitative – estimation d’une moyenne par intervalle de confian
2.2
Variable qualitative – estimation d’une fréquence par intervalle de confiance
3
Précision d’un intervalle de confiance
4
Nombre de sujets nécessaire
Chapitre 6 : Comparaison d’une caractéristique observée à une caractéristique théorique
1
Etapes d’un test statistique - grands échantillons:
2
Risque de première , risque de deuxième espèce, puissance d’un test statistique
Chapitre 7. Comparaison de deux variances
1
Test de Fisher
2
Table de Fisher
Chapitre 8 Comparaison entre deux caractéristiques observées
1
Comparaison de deux moyennes observées
1.1
Cas des échantillons indépendants
1.2
Cas des échantillons appariés
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4
4
4
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²25
25
25
25
27
27
29
29
30
32
32
33
34
34
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3
2
2
2.1
2.2
Chapitre 9
Comparaison de deux fréquences observées
38
Cas des échantillons indépendants
Cas des échantillons appariés
Le test de chi-deux
39
1
Le chi-deux d’indépendance
2
Le chi-deux d’ajustement
3
Table de chi-deux
Chapitre 10 Tests non paramétriques
1
Principes des tests non paramétriques
2
Tests non paramétriques avec échantillons indépendants
3
Table de U - pour le test de Mann et Whitney
4
Tests non paramétriques avec échantillons appariés
39
41
42
45
45
45
47
47
48
Références
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4
Chapitre 1
Statistique Descriptive
1. La statistique et les statistiques
La statistique est une « méthode de raisonnement permettant d’interpréter le genre de données très
particulières, qu’on rencontre notamment dans les sciences de la vie, dont le caractère essentiel est
la variabilité « D. Schwartz ».
Les statistiques ensemble des données relatives à un groupe d’individus ou d’unités.
La statistique descriptive est la phase de la statistique qui se limite à décrire ou analyser une
population donnée, sans tirer de conclusion pour une population plus grande.
2. Généralités sur les distributions statistiques
La statistique descriptive va nous permettre d’étudier un certain nombre d’objets par le terme de
série ou ensemble statistique.
Il existe 2 grands types de séries statistiques : la population et l’échantillon.
2.1. Population et échantillon
Population : ensemble de tous les individus qui relèvent d’une définition donnée.
La population est plus ou moins vaste, selon sa définition (parfois, des milliers de sujets).
Echantillon = fraction de la population
Pour avoir des renseignements sur la population à partir de l’échantillon extrait : l’échantillon doit
être représentatif.
L’échantillon est représentatif
si sa taille est suffisamment grande
et si il est extrait au hasard de la population (tirage au sort)
2.2. Variables statistiques
Une variable statistique est une caractéristique p
La variable peut être quantitative ou catégorielle.
2.2.1 Variables quantitatives : sont des variables mesurables : poids, taille, âge. Elles sont
souvent accompagnées d’une unité de mesure (ex : poids = 50 kg).
On distingue 2 sous – catégories :
* Variables continues qui peuvent prendre un nombre infini de valeur dans un intervalle
donné (ex : taille, pression artérielle diastolique).
* Variables discrètes : ne peuvent prendre qu’un nombre fini de valeur : ex : nombre
d’enfants d’une famille.
On transforme souvent une variable continue en variable discrète : c’est la discrétisation ou
groupement par classe.
2.2.2 Variables qualitatives ou catégorielles.
Ce sont des variables non mesurables. Elles ont un certain nombre de catégories ou modalités.
Une variable catégorielle à 2 catégories est dite dichotomique ou (binaire).
Ex la variable fumeurs (fumeurs-non fumeurs) est une variable catégorielle à deux catégories.
En présence de plusieurs catégories, on distingue :
Les variables ordinales : elles peuvent bénéficier d’un classement ordonné ou d’un ordre
naturel.
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Ex : l’intensité de douleur : nulle, légère, intense, insupportable.
La transformation d’une variable catégorielle ordinale en variable catégorielle dichotomique est
possible. Ex pour la douleur : pas de douleur / douleur.
Les variables nominales : Il n’existe pas d’ordre naturel. Chaque classe désigne une
catégorie (elle la nomme). Par exemple, pour la couleur des yeux : noir / marron / vert /bleu.
3
Distribution statistique d’une variable
3.1 Données brutes : données rassemblées sans se soucier d’un ordre quelconque.
3.2 Suites ordonnées : les données sont rangées par ordre fixe (croissant ou décroissant).
Considérons la valeur xi, elle se rencontre ni fois
ni est appelé effectif
fi = ni/n est appelé fréquence ou pourcentage (* 100)
Valeur
de la variable
x1
xi
xp
effectif
fréquence
n1
ni
nP
n
f1
fi
fp
n est l’effectif total de l’échantillon
3.3. Distribution d’effectifs. Après avoir ordonné les données, on découpe l’étendue en classes (ou
catégories) et on dénombre toutes les mesures qui tombent à l’intérieur d’une même classe. A
chaque classe on associe l’effectif (et la fréquence).
Ex : Répartition d’un dosage chez l’enfant de moins de 16 ans :
Valeur du dosage
effectif
> 10 - <20
6
> 20 - <30
26
> 30 - <40
42
> 40 - <50
26
Total
100
3.4. Intervalles de classe - bornes - centre de classe
Les classes sont d’étendues égales (en général). La borne inférieure comprise, borne supérieure
exclue.
Considérons la classe 20-30 du tableau
-Cette classe définit tous les enfants dont le dosage est compris entre 20 et 30.
-La borne inférieure est 20, la borne supérieure est 30.
- L’intervalle de classe est fermé : > 20 - <30 ou encore [20 - 30[
dans un intervalle de classe ouvert, une des bornes n’existe pas. Ex valeur du dosage >50
-Le centre de classe est défini comme la moyenne des bornes de la classe :
Pour la classe 30 - 40 le centre de classe est 35.
Dans une distribution en classes, lors du calcul de la moyenne ou de la variance, chaque élément
d’une classe a la valeur du centre de classe : on suppose donc que les 42 enfants de la classe 30-40
ont une valeur du dosage égale à 35.
3.5 Représentation des données
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Elle dépend du type de la variable étudiée. Il existe des formes de présentation différentes pour les
variables quantitatives et catégorielles.
Le tableau
Le tableau est utilisable quelle que soit la nature des données. Il permet de présenter de façon
complète et précise les données
Distribution de l’âge de 180 hommes
suivis dans un service de Diabétologie.
Age (ans)
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
Effectif s
4
3
8
5
8
9
11
14
12
8
20
10
14
13
9
10
3
8
7
4
N=180
Fréquence (%)
0,02
0,02
0,04
La fréquence ou effectif relatif d’une
classe ou de la valeur d’un caractère
quantitatif est le rapport entre l’effectif de
cette classe et l’effectif total de l’ensemble
des classes.
En général, elle est exprimée en %
Ex classe [40 – 45[ ans: 16 %.
0,03
0,04
0,05
0,06
0,08
0,07
0,04
0,11
0,06
0,08
0,07
0,05
0,06
0,02
0,04
0,04
0,02
On peut aussi représenter cette distribution de l’âge en classes.
Age (ans)
Effectifs
Fréquence
(%)
Fréquence
cumulée (%)
[40 – 45[
[45 – 50[
[50 – 55[
[55 – 60[
28
54
66
32
16
30
37
17
16
46
83
100
La fréquence cumulée d’une classe
correspond à l’ensemble des éléments
inférieurs à la borne supérieure de
cette classe.
Pour la classe [45 – 50[la fréquence
cumulée est 46% (16% + 30%).
On a 100% à la borne supérieure de la
dernière classe.
Quelques principes :
Par convention, le titre du tableau figure au dessus du tableau. Il doit être informatif.
Dans un bandeau de titre, on indique la nature des informations, avec un trait plein au dessus et au
dessous du bandeau.
Les chiffres sont alignés par colonne et le même nombre de décimale est donné.
Le graphique
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Par convention, le titre d’un graphique figure au-dessous du graphique.
.
Pour une variable quantitative continue,
L’histogramme : est un graphique où l’axe des abscisses représente les valeurs de la variable,
regroupées en classes, et l’ordonnée représente l’effectif ou la fréquence de chacune des classes.
Effectif
ou fréquence
L’aire d’un rectangle est proportionnelle à
l’effectif ou à la fréquence de la classe
Le polygone de fréquence : est la courbe obtenue en joignant
les points dont les abscisses sont les centres de classes et les
ordonnées les effectifs
-Le choix de l’échelle doit être correct
-L’axe des abscisses couvre toute l’étendue des données présentées.
Dans notre exemple, 40 à 60 ans.
-Il n’y a pas d’espace entre la base des différents rectangles en
abscisse (variable continue).
Age (ans)
Figure : Distribution de l’âge
Chez 180 hommes.
Pour une variable catégorielle.
Le diagramme à barres.
Permet de donner la fréquence (ou le nombre) de chaque catégorie
Un espace est laissé entre chaque barre.
Effectifs
Figure : Description de la douleur chez des
enfants drépanocytaires. Représentation à
l’aide d’un diagramme en secteurs
Figure : Description de l’intensité de la
douleur chez 105 enfants drépanocytaires
Le diagramme en secteurs dit en « camembert
Donne la répartition d’une variable qualitative. Il est souvent moins informatif qu’un tableau.
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4.Indices de Position – Indices de dispersion.
Ils permettent de présenter de manière synthétique les données observées dans l’échantillon.
4.1. Indices de position
4.1.1 Moyenne arithmétique (ou moyenne)
Pour une variable quantitative la moyenne permet de résumer les valeurs obtenues sur un
échantillon.
4.1.1.1. Définition
La moyenne est un paramètre de position.
La moyenne est obtenue en faisant la somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs (noté ici
N).
-Soit une série de n mesures x1, x2…………..xn d’une variable quantitative X. La somme est notée
n
 xi (somme de toutes les valeurs, de la première à la dernière)
i 1
n
 xi
x1  x2 ..  xn
La moyenne est désignée par X =
soit X = i  1
N
N
n
( on remarque que  x i = N. X )
i 1
Ex : Si on considère l’âge en années de 7 étudiants
: 20, 17, 23, 19, 16,18.
On a : x1 = 20, x2 = 17, x3 = 23, x4 = 19. x5 = 16, x6 = 18
La somme = 113 ans
et la moyenne = 18,83 ans.
-Considérons un échantillon divisé en k classes de valeurs centrales yj :
X=
k
 njyj
j 1
N
nj étant l’effectif de la jième classe
Si chaque élément de l’échantillon a la même chance d ‘être tiré :
nj
N
 PJ = probabilité que (X = yJ),
on obtient l’espérance mathématique
k
X =
y P
j1
j J
Propriétés de la moyenne
On peut réaliser un changement d’origine et/ou d’échelle pour simplifier les calculs
Changement d’origine : (méthode de la moyenne provisoire)
Soit la variable X’ = X – x0
On démontre que X ' = X – x0
X = X ' + x0
On a intérêt à choisir x0 de manière à obtenir une simplification des calculs et donc des
valeurs très petites de X’. Il faut choisir de préférence le mode.
Changement d’échelle :
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X
X = h X'
h
Changement d’origine et Changement d’échelle
X  x0
X  x0
X’ =
X' =
X = h X ' + x0
h
h
Autre propriété : la somme algébrique des écarts à la moyenne est nulle.
X’ =
X
h
X' =
4.1.2 La médiane
La médiane est la valeur centrale de la distribution, qui divise l’échantillon en deux moitiés de taille
égale (même effectif). . L’une à toutes les valeurs supérieures à la médiane, l’autre a toutes les
valeurs qui lui sont inférieures.
- Si le nombre d’observations est impair, la médiane est la valeur correspondant à l’observation
située au milieu, celle située au ( n  1) ème rang. (3ème rang pour l’exemple ci-dessous).
2
Ex des étudiants de la salle
IL faut d’abord classer toutes les observations par ordre croissant.
Pour 20, 17, 23, 19, 16,
on observe après classement 16, 17, 19, 20, 23
La médiane est 19 ans
- Si n est un nombre pair, on considère que la médiane est à mi-chemin entre les deux valeurs du
milieu.
16, 17, 19, 20, 23, 24
médiane = (19 + 20)/2 = 19, 5 ans.
4.1.3 Le Mode (ou valeur dominante)
C’est la valeur de la variable la plus souvent rencontrée. Dans la distribution d’une variable, le
mode peut ne pas exister ou ne pas être unique
X = (1, 2, 5, 2, 4, 2, 5) a pour mode 2
X = (1, 3, 5, 2, 4, 7) pas de mode
X = (2, 7, 5, 2, 5, 8, 9) a pour mode 2 et 5. On parle de distribution bimodale.
Sur un plan graphique, le mode est la valeur de x sur l’axe des abscisses dont l’ordonnée est la plus
grande.
Si les données sont rangées par classes, la classe modale est celle dont l’effectif est le plus élevé.
4.2 Indices de dispersion :
4.2.1 Valeurs extrêmes : la plus petite et la plus grande des valeurs
Ex de l’âge avec les valeurs suivantes : 16, 17, 19, 20, 23, 24 ans
La plus petite valeur est 16 (minimum), la plus grande est 24 (maximum).
L’étendue est 16 – 24 ans = 8 ans.
4.2.2 Etendue : L’étendue d’une série correspond à la différence entre les valeurs extrêmes.
4.2.3 Les quantiles : quartiles, déciles, percentiles.
Les quartiles : valeurs qui partagent la série ordonnées en 4 groupes de même effectif.
On détermine des quartiles pour des échantillons importants.
Ces quartiles se répartissent en :
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-Premier quartile : valeur de la série qui a 25% (n/4) de la distribution au dessous et 75% au
dessus.
-Deuxième quartile, correspond à la médiane a 50% (n/2) au dessous et 50% au dessus.
-Troisième quartile, valeur de la série qui a 75% (3n/4) de la distribution au dessous et 25% au
dessus.
Déciles : partagent la distribution en 10 parties égales
Centiles: partagent la distribution en 100 parties égales
4.2.4 Variance
Définition de la variance
La variance est égale à la somme des carrés des écarts à la moyenne divisée par l’effectif total.
Si x = (x1, x2, ……xn)
La variance est notée var (x), σ2, ou s2 pour l’échantillon.
n
2
 x X
n
2
s2 (X) = i  1
 x  X 
N
i 1


La variance a l’unité de la variable au carré: si x est par exemple une longueur exprimée en cm, la
variance est exprimée en cm2
Si on développe le numérateur, on obtient
n
x X

i 1

2   xi2     xi 2

N

On peut écrire la formule de la variance sous la forme suivante.
2
s2 (X) = T2  T1 / N avec
N
T1 =
N
x
i 1
i
et
T2 =
N
 x c’est la formule la plus utile pour
i 1
2
i
effectuer des calculs.
Propriétés de la variance
Changement d’origine : un changement d’origine ne modifie pas la variance
X’ = X – x0
On démontre que
s2 ( X ' ) = s2 (X)
s2 (X) = s2 ( X ' )
Changement d’échelle :
s2 (X )
X
X’ =
s2 ( X ' ) =
s2 (X) = h2. s2 ( X ' )
h
h2
Changement d’origine et Changement d’échelle :
X  x0
s2 (X )
s2 ( X ' ) =
s2 (X) = h2. s2 ( X ' )
X' =
h
h2
4.2.5 L’écart-type
Si l’on souhaite exprimer la dispersion avec une même unité que la variable elle-même,
Il faut considérer l’écart type = racine carré de la variance.
s(X) = var  X 
s(X) = s 2  X 
5. Somme de 2 variables
Pour la moyenne
Soit Y et Z deux variables quantitatives (ou plus généralement 2 variables aléatoires)
et soit X = Y + Z
On démontre que X  Y  Z
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L’espérance d’une somme algébrique de variables aléatoires est la somme algébrique des
espérances de ces variables.
IL en résulte que :
 y  Y  z  Z 
2
N
s2 (X) =
i
i 1
i
N
En développant, on trouve
2
s (X) =
 y
i
N
Y

2
 z

i
N
Z

 y
N
2
2
i 1
i

 Y zi  Z

N
 y
N
cov Y , Z  
i 1
i

 Y zi  Z

N
s2 (Y + Z) = s2 (Y ) + s2 ( Z) + 2 cov (Y, Z)
La relation entre les variances se simplifie si les 2 variables Y et Z résultent de 2 tirages
indépendants dans une population. Mais
La covariance de deux variables aléatoires indépendantes est nulle.
Cov (Y, Z) = 0 et donc
s2 (Y + Z) = s2 (Y ) + s2 ( Z)
Remarque si X = Y – Z
De la même façon :
X Y Z
s2 (Y - Z) = s2 (Y ) + s2 ( Z) - 2 cov (Y, Z)
et on retrouve si Y et Z sont indépendants
s2 (Y - Z) = s2 (Y ) + s2 ( Z)
Exercice
On dose une enzyme chez 100 individus normaux avec les résultats suivants (les dosages sont exprimés
en unités arbitraires :U)
Classe
Effectif
[4à6 U[
25
[6à8 U[
40
[ 8 à 10 U [
20
[10 à 12 U[
10
[12 à 14 U[
5
(Pour les classes : borne inférieure comprise, borne supérieure exclue)
1.1 - Quelle est la classe modale de cette distribution ? Donner sa définition.
1.2 – On admet que X est le centre de classe.
Après un changement d’origine : Y = X – 9, on obtient :
- la somme des valeurs de Y niyi = - 140
- la somme des carrés des valeurs de Y niyi2 = 680
Calculer la moyenne et la variance du taux de cette enzyme.
1.3 – Quels sont les pourcentages de sujets ayant :
a) une valeur inférieure à 8
b) une valeur supérieure ou égale à 10
1.4 – Tracer l’histogramme correspondant à cette distribution
Corrigé
1.1 : Classe modale 6 à 8
Sa définition : c’est la classe des valeurs de cette variable la plus souvent rencontrée (ou encore ayant
l’effectif le plus élevé).
1.2 : Calcul de la moyenne et de l’écart-type
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12
4à6
6à8
8 à 10
10 à 12
12 à 14
U
U
U
U
U
N =100,
effectif
25
40
20
10
5
niYi
niYi2
N =100
T1 = -140
T2 =680
T1 = -140,
- Y = X – x0
- my =
- s2 y =
 niyi  -1,4 U
N
T2 =680
mx = my + x0
mx = - 1,4 + 9
mx = 7,6 U
T2  T12 N
N
s2y = 4,84
s2y = s2x
s2x= 4,84 U2
1.3 – pourcentage de sujets ayant
a) une valeur inférieure à 8
= 65 /100 = 0,65 soit 65%
b) une valeur supérieure ou égale à 10 = 15 /100 = 0,15 soit 15%
Probabilités et Statistiques
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Chapitre 2
Principales distributions de probabilité
En général, on ne connaît pas les distributions des variables que l’on étudie dans une population et
on essaie de rattacher ces distributions à certaines lois théoriques qui constituent des modèles.
1.
Notion de variable aléatoire
On peut caractériser une variable aléatoire X par la donnée complète de la distribution de
probabilité.
Soit E un ensemble d’évènements pour lesquels on a défini une distribution de probabilité. On
appelle variable aléatoire X une fonction numérique définie sur cet ensemble E
Une variable aléatoire traduit une situation liée au hasard.
Par convention on écrit :
En majuscules la variable
En minuscules la valeur déterminée que prend la variable (la réalisation de la variable)
La variable peut-être discontinue (ou discrète) ou continue.
La variable x est dite discontinue si elle ne peut prendre que certaines valeurs x1, x2, xi..xn. On
parle aussi de variable discrète.
On peut associer à chaque valeur de xi une probabilité pi telle que : pi= Pr (X=xi).
Les lois principales sont :
- la loi binomiale
- la loi de Poisson
Une variable est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs sur un certain intervalle fini ou
infini.
La principale loi de probabilité est la loi de Laplace-Gauss dite encore loi Normale.
2.Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète
2.1 Loi Binomiale ou distribution de Bernoulli
Soit une variable aléatoire ayant 2 valeurs possibles 1 et 0 (événement et son contraire)
Exemples : succès / échec
Boules noires / boules blanches dans une urne.
La variable prend la valeur 1 avec une probabilité p et la valeur 0 avec la probabilité q
Elle suit la loi de Bernouilli. On parle de variable de Bernoulli de paramètre p.
(q = 1 – p)
Sa moyenne vaut p et sa variance p (1 –p) = pq
La variable binomiale est la somme de n variables de Bernoulli indépendantes.
Considérons une suite de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Appelons k le
nombre de réalisations de l’événement A (nombre de succès ou nombre de boules noires) au cours
de n épreuves.
k est une réalisation d’une variable K qui peut prendre les valeurs 0, 1,2….n (intervalle fini).
La loi binomiale dépend de 2 paramètres p et n.
Formule de la loi Binomiale :
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Pour une variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres p et n
P (X = k) : C kn . p k .q nk avec C kn = nombre de combinaison de n « objets » pris k par k ;
n!
C kn =
k!(n  k )!
Rappel : Le nombre n! se lit "factorielle n". exemple : 5! 5.4.3.2.1
La variable binomiale a pour moyenne la somme des moyennes (n.p) et comme variance la somme
des variances (n.p.q)
Moyenne : E (X) = n.p ,
Variance : Var (X) = n.p.q et écart-type  (X) = n. p.q
Si l’on exprime les résultats en pourcentage observé po = k/n
pop
Varpopq / n
2.2 Loi de Poisson :
La loi de Poisson s’applique aux évènements « rares », p est très petit.
Définition : lorsqu’une variable aléatoire X suit une loi de Poisson, ses valeurs possibles sont 0, 1,
2, 3…k
La probabilité pk d’observer la valeur k est donnée par la formule :
a
ak
k!
P (X = k) = e
a étant le paramètre de la loi de Poisson
Moyenne E (X) = Var (X) = a
C’est donc une loi discontinue qui ne dépend que d’un seul paramètre a.
On appelle aussi la loi de Poisson la loi des petites probabilités
 De nombreux phénomènes suivent une loi de Poisson. Elle permet de représenter la survenue
d’évènements qui se produisent au hasard dans le temps ou dans l’espace.
Exemple : en pharmacovigilance, la loi de Poisson permet d’estimer la fréquence des évènements
adverses à partir des rares cas signalés.
Exemple : le nombre d’éléments (bactéries, hématies…etc.) d’une solution très diluée observée
dans le champ d’un appareil appelé hématimètre.
Cet appareil comporte un certain nombre de carrés et on compte le nombre d’éléments par carré. Si
la préparation est homogène, la distribution observée doit suivre une loi de Poisson. Dans le cas
contraire, la préparation n’est pas homogène.
3.Loi de probabilité d’une variable aléatoire continue
3.1 Loi de Laplace –Gauss (ou loi normale)
3.1.1 Définition de la loi normale
Soit une variable continue X pouvant prendre toutes les valeurs de  à  
La loi normale est définie par sa densité de probabilité s’écrit :
1 x  2
 (
)
1
e 2 
f (x) =
(formule à ne pas retenir)
 2
e est la base des logarithmes népériens.
µ désigne l’espérance (la moyenne) et  2 est la variance de la variable aléatoire X
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L’écart-type  = racine carrée
Si X obéit à une loi normale de moyenne  et d’écart-type  , on note en abrégé X est
N ( , )
3.1.2 Courbe représentative de la densité de probabilité
La courbe représentative de la densité de probabilité est souvent appelée «courbe en cloche»
Elle est symétrique par rapport à l’abscisse  pour f(x)
 

 
La moyenne est  et est en même temps la médiane et le mode
L’écart-type est  . On montre que  est la distance entre l’axe de la courbe et le point d’inflexion
de la courbe.
3.1.3 Loi normale centrée réduite
Une loi normale est complètement définie par la structure de sa fonction de densité et les données
de son espérance et de son écart-type.
Il y a autant de variables X normales que de couples de nombres  et  .
1
Cas particulier  = 0 et  = 1 alors, f (x) =
1  2 ( x )2
e
2
On a alors affaire à la loi normale réduite.
Désignons la variable réduite par le symbole U (elle est parfois nommée ε). On montre qu’on peut
passer d’une variable normale quelconque X à une variable réduite U par un changement de
variable linéaire de la forme :
X 
X =  + U
Soit U =

Propriétés de la loi normale réduite
La moyenne E(U) = 0, la variance Var (U) = 1
U = N (0,1) C’est la variable normale centrée réduite (encore appelée variable réduite) ;
La densité de probabilité de la Loi normale centrée réduite est
1
1  2 ( u )2
x 
e
f (u) =
u=

2
La courbe de cette loi normale centrée réduite
-u
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0
+u
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Règle : Pour obtenir une variable normale réduite U à partir d’une variable normale X de
moyenne  et d’écart-type  , il suffit de lui retrancher sa moyenne et de la diviser par son écartX 
type. U =
.

Toute question posée sur X sera transformée en question posée sur U.
On déduit facilement la probabilité pour qu'une variable suivant une loi normale quelconque X(μ, σ)
de moyenne μ et d'écart-type σ, soit comprise dans un intervalle donné [x1, x2] :
Pr (x1 < X <x2) = Pr (
x1  

<U<
x2  

)
3.1.4 Table de l’écart –réduit P (u) est associée à cette loi normale : elle donne pour chaque valeur
de U la probabilité que U soit à l’extérieur de l’intervalle (-u ; +u)
P (u) = Pr (U < -u ou U > u)
Ou = Pr (| U| > u)
P(u )
2
-u
0
+u
P(u )
2
1 – P(u)
P(u) est représenté par la zone hachurée.
On en déduit que
1 – P(u) = Pr (-u ≤ U ≤ u)ou ≤
On utilisera souvent en statistique les relations suivantes avec un seuil   5%
Pr (| U| >1,96) = 0,05
Pr (-1,96 ≤ U ≤ 1,96) = 1 – 0,05 = 0,95
On peut lire la table à partir de P(u) ou à partir de U :
La valeur de P(u) est obtenue par addition des nombres inscrits en ligne et en colonne.
A leur intersection est lue la valeur de U
Ex pour α = 0,05, la valeur U est lue à l’intersection de la ligne indicée par 0,00 et de la colonne
indicée par 0,05 (est alors 0,00 + 0,05) U =1,96.
U=1
P(u) =0,32
1 – P(u) = 0,68
2
U = 0,68 (  )
P(u) =0,50
1 – P(u) = 0,50
3
U=1
P(u) =0,32
1 – P(u) = 0,68
U = 1,96 (  2 )
P(u) =0,05
1 – P(u) = 0,95
Quelques probabilités :
a) Pr1(u) = Pr (U > u)
b) Pr2(u) = Pr (U < u)
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P(u )
2
P(u )
Pr2(u) = 1 2
Pr1(u) =
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c)
Pr3 (u) = (0 < U < u)
Pr3 (u) =
1  P( u )
2
d) Pr4 (u) = (U < 0) ou Pr4 (u) = (U > 0)
(ou encore 0,5 –
P(u )
)
2
Pr4 (u) = 0,50
3.1.5 Importance de la loi normale
-L’importance de la loi normale vient du théorème fondamental énoncé ci-dessous.
La moyenne d’un échantillon extrait d’une population quelconque est distribuée selon une loi
pratiquement normale quand la taille de l’échantillon est suffisamment grande.
-Autres raisons de l’importance de cette loi normale :
- La loi normale est la loi limite de la loi binomiale et de la loi de Poisson
En pratique, l’approximation est valable quand :
np et n (1 – p) > 10 pour la loi binomiale
np = a > 10
pour la loi de Poisson
Remarque : la loi de Poisson qui devient normale garde sa propriété essentielle
Moyenne E (X) = Var (X)
- Si des variables sont gaussiennes, il en est de même de leur somme et de leur différence.
- Souvent une transformation simple conduit à une distribution normale.
On peut écrire X = log Y. X est alors distribuée normalement.
3.2. Lois dérivées de la loi normale
3.2.1 Loi du chi-deux
Définition de la loi de chi-deux
Soit U1 U2…….UV , n variables aléatoires indépendantes distribuées chacune selon une loi normale
centrée réduite (c’est-à-dire de moyenne 0 et d’écart-type 1), la somme des carrés de ces variables
aléatoires définit une nouvelle variable aléatoire, notée  2
 2 U12 + U22……+.UV2
Cette nouvelle variable suit une loi de  2 à v degré de liberté (ddl).
La variable aléatoire  2 à 1 ddl correspond donc au carré d’une loi normale centrée réduite
La table de la loi de  2 donne la valeur de
telle que p = Pr (  2   2
fonction du nombre de ddl.
Pour le test de V : voir chapitre 9.
3.2.2 Loi de Student
Soit X une variable aléatoire distribuée selon une loi normale de moyenne µ et de variance σ2. Soit
X1, X2,….Xn, un échantillon de taille n. Soit m et s2 les estimations de µ et σ2. La quantité t
m
suit une loi de probabilité de Student à n-1 ddl.
t
s2
n1
La table de Student donne la probabilité p telle que p= Pr| t |> tα, pour n-1 ddl
Pour le test de Student / : voir chapitre 6.
Remarquons que quand n > 30, t suit approximativement une loi normale réduite U car m est
distribué normalement et s2 ne s’écarte pas trop de σ2.
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Exercices
Exercice 1.
Soit une variable aléatoire X distribuée selon une loi normale centrée réduite
Quelle est la valeur de la limite y pour que les expressions suivantes soient vérifiées ?
a) Pr (x > y) = 0,70
b) Pr (x > y) = 0,40
Exercice 2.
Dans une population, on admet que la valeur X du taux de cholestérol sanguin obéit à une loi normale
de moyenne  = 2,2 g/l et d’écart-type  = 0,5 g/l.
2.1 – De quel type de variable s’agit-il ?
2.2 - Quelles sont les probabilités pour qu’un sujet tiré au hasard ait un taux de cholestérol
a) – supérieur à 1,2g/l
b) – compris entre 1,2g/l et 2,7g/l
__________________________
Corrigé exercice 1
X est une variable aléatoire distribuée selon une loi normale centrée réduite
La valeur de la limite y pour que les expressions suivantes soient vérifiées
a)Pr (x > y) = 0,70
y<0
1-

= 0,70
2
  0,60
y = - 0,524

= 0,40
2
b)Pr (x > y) = 0,40
  0,80
y = 0,253
Corrigé exercice 2
2.1 – Le taux de cholestérol sanguin est une variable quantitative
2.2 - X est N (  ,  )
Y = x 

avec  = 2,2 g/l et  = 0,5 g/l.
Y est N (0, 1)
a) Calcul de la probabilité pour que x > 1,2g/l
Pr (x > 1,2) = Pr (Y > 1,2  2,2 )
Pr (x > 1,2)
= Pr (Y > - 2)
0,5
Y=2
  0,05
La probabilité recherchée est 1 -  = 1 – 0,025 = 0,97
p = 0,97
2
b) Calcul de la probabilité pour que 1,2 < x < 2,7 g/l
Pr (1,7 < x < 3,2) = Pr ( 1,2  2,2 < Y < 2,7  2,2 )
0,5
0,5
Pr (-2 < Y < 1)
Y1 = 2 1  0,05
 2  0,32


La probabilité recherchée est : 1 - 1 - 2 = 1 – 0.025 – 0,16 p = 0,81
2
2
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Y2 = 1
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Chapitre 3
PROBABILITÉS CONDITIONNELLES
INDÉPENDANCE ENTRE ÉVENEMENTS - THÉORÈME DE BAYES.
1.Généralités
On appelle évènements élémentaires, l’ensemble des éventualités possibles résultant d’une
expérience ou d’une observation.
Exemple : en jetant un dé, les événements élémentaires sont constitués par l’apparition de l’une des 6
faces.
L’évènement est un sous-ensemble A d’un ensemble E (constitué par toutes les éventualités
possibles).
Les éventualités résultant d’une expérience:
Evènement certain : se produit à coup sûr. Sa liste comprend tous les évènements élémentaires. Il est
identique à E.
Evènement impossible  , ne se produit pas
Evènement contraire : Si l’on s’intéresse à un évènement A, deux éventualités sont possibles A et son
complémentaire A , A  A  E
Si l’on s’intéresse à deux évènements A et B
-L’évènement {A ou B} se réalise si se produit un évènement élémentaire appartenant à A ou à
B ou les deux : A  B
-L’évènement {A et B} est réalisé si A et B se produisent les deux à la fois. On note A  B
-A et B sont incompatibles A et B ne peuvent se produire en même temps. On parle de sousensemble disjoint : A  B = 
Propriétés élémentaires des probabilités
- La probabilité de tout évènement associé à une épreuve est un nombre compris entre 0 et 1.
- La probabilité de l’évènement certain est égale à 1 (100%).
Pr (E) = 1
Pr(  ) = 0
-Si la réalisation de A entraîne celle de B on écrit A  B
-Si deux évènements A et B sont incompatibles (ou disjoints) A  B =  , la probabilité de
l’évènement {A ou B} est égale à la somme des probabilités de A et de B.
Pr( A  B) = Pr A  Pr B
-Si A et B sont deux évènements quelconques, on a Pr ( A  B)  Pr A  Pr B  Pr( A  B)
-Si A est le complémentaire de A., Pr( A)  Pr( A.)  1
2. Probabilités conditionnelles
Dans un ensemble E des évènements possibles, considérons deux évènements A et B.
A est le complémentaire de A
B est le complémentaire de B
Il est possible de calculer la probabilité de l’évènement A si l’évènement B s’est déjà produit.
Il s’agit d’une probabilité conditionnelle
Pr( A  B)
Pr (A si B) ou Pr A sachant B ou Pr (A|B)
Pr (A|B) =
Pr(B)
Soit le rapport de Pr ( A et B) sur Pr (B)
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Cette formule est valide si Pr(B) > 0 : B n’est pas un évènement impossible.
Réversibilité de la formule
(A et B) est le même évènement que (B et A) ; Ils correspondent tous les deux à l’ensemble des
évènements appartenant à la fois à A et à B.
On peut écrire de manière équivalente Pr (A  B) = Pr (A).Pr (B|A)
Pr (B  A) = Pr (B) . Pr (A| B)
Pr (A  B) = Pr (B  A)
Au total : Pr (A) . Pr (B|A) = Pr (B) . Pr (A| B)
3. Indépendance en Probabilité
On dit que deux évènements A et B sont indépendants si la connaissance de l’un ne modifie pas la
probabilité de l’autre.
Alors si A et B sont indépendants,
Pr (A) = Pr (A|B). La réalisation de B n’a aucune influence sur celle de A
Pr (B) = Pr (B|A) La réalisation de A n’a aucune influence sur celle de B.
Selon la probabilité conditionnelle Pr (A  B) = Pr (A) . Pr (B|A)
Pr (A  B) = Pr (A) . Pr (B)
4.Théorème de Bayes
On s’intéresse à la modification des probabilités d’évènements suite à la connaissance des faits.
Il s’agit d’exprimer Pr (A|B), probabilités de A à posteriori (connaissant B) en fonction de probabilité
de A à priori.
Pr( A  B)
Pr (A|B) =
Pr(B)
En changeant la formulation du numérateur
Pr(B A). Pr( A)
Pr (A|B) =
Pr(B)
En général, on ne connait pas B. On peut l’exprimer en fonction de A
Pr (B) = Pr (A  B) + Pr ( A  B)
Les évènements (A  B) et ( A  B) sont incompatibles. La probabilité d’avoir l’un et l’autre est
la somme des probabilités.
Pr (B) = Pr (B|A) . Pr (A) + Pr (B| A ) . Pr ( A ).
Le théorème de Bayes
Pr (A|B) = Pr( A  B) 
Pr( B)
Pr( B A). Pr( A)
Pr(B A). Pr( A)  Pr( B A). Pr( A)
____________________________________________
Exercices
Exercice 1
Considérons 2 évènements :
A : tirer une face paire au jeu de dés
B : tirer un multiple de 3.
Donner les valeurs des proabilités suivantes : Pr(A), Pr(B) et Pr (A  B)
Exercice 2
Soixante pout cent des individus atteints d’une maladie (M) sont des femmes. Elles proviennent d’une
population ou il y a 50% de femmes et 50% d’hommes. Dans cette population, la fréquence de la
maladie est de 2%. Quelle est la fréquence de la maladie chez les femmes.
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Corrigés
exercice 1 : Tirer une face paire et tirer un multiple de 3 sont deux évènements indépendants en probabilité.
Pr (A) =
3
6
Pr (B) =
2
6
Pr (A  B) = probabilité de tirer une face paire multiple de 3 (c’est à la dire la face 6)
On trouve un résultat identique avec le calcul de Pr (A  B) = Pr (A) . Pr (B) =
=
1
6
3 2 6 1
. 

6 6 36 6
exercice 2
En fonction des probabilités conditionnelles, on peut écrire Pr (F). Pr (M|F) = Pr (M). Pr (F| M)
Pr (F| M)= 0,60
Pr (F) = 0,50
Pr (M) = 0,02
La fréquence de la maladie chez les femmes.
Pr (M|F)=
0,60.0,02
 0.024
0,50
Probabilités et Statistiques
Pr (M|F)=
Pr(F M ). Pr(M )
Pr(F )
La fréquence de la maladie chez les femmes. Pr (M|F) = 2,4%
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Chapitre 4
Fluctuation d’échantillonnage
1 Population des Echantillons issus d’une population d’individu
A partir d’une population P, on peut extraire de multiples façons des échantillons E.
Le tirage au sort d’échantillons successifs E1, E2 ……EI conduit le plus souvent à des valeurs
différentes des quantités f (fréquence), m (moyenne) , s2 (variance).
Les caractéristiques fournies ne sont pas les caractéristiques exactes. Elles s’en écartent plus ou
moins selon le hasard de l’échantillonnage.
On dit qu’elles ont des fluctuations d’échantillonnage.
Le calcul d’un intervalle de fluctuation est donc une autre manière de représenter la dispersion
d’une variable.
2. Fluctuations d’échantillonnage d’une moyenne
Soit X une variable quantitative de moyenne  et d’écart-type  dans une population P. En
considérant différents échantillons de même effectif N tirés de P, on observe des moyennes m1, m2,
….mn
Ces moyennes subissent une fluctuation d’échantillonnage (induite par le hasard).
On démontre que :
La moyenne de ces moyennes observées vaut 
2
La variance de ces moyennes vaut  et l’écart-type 
N
N
Intervalle de Pari d’une moyenne (ou intervalle de fluctuation) au risque  .
La moyenne m observée dans un échantillon tiré au sort est susceptible de se trouver dans un

intervalle [  + U 
] avec une probabilité ( 1 -  )
N
Pour une moyenne observée obéissant à une loi normale,
Si N > 30 (condition de validité)
Ou Si X est N (  ,  ) dans P, les moyennes observées dans les échantillons d’effectifs N

tirés au hasard suivent une distribution normale N (  ,
)
N
L’intervalle de pari au risque 

m  [  + U
] (U  valeur de l’écart-réduit correspondant à  )
N
* Grand échantillon pour variable quantitative
3
: si N > 30
Fluctuations d’échantillonnage d’une proportion
Soit Y une variable qualitative Y ayant pour fréquence (ou proportion) P pour un caractère donné
dans une population P
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Considérons différents échantillons de même effectif N tirés au sort.
Les fréquences « observées » f subissent une fluctuation d’échantillonnage (induite par le hasard )
On démontre que
-
la moyenne des fréquences f , moy (f) = P
P.Q
- La variance des fréquences var (f) =
avec Q = 1 - P
N
Les fréquences observées dans les échantillons d’effectifs N tirés au hasard suivent une distribution
normale N (P, P.Q )
N
Intervalle de Pari d’une proportion (ou intervalle de fluctuation), au risque  .
On ne peut définir un intervalle de pari pour un risque qui lui est associé (risque d’erreur
 consenti).
La fréquence observée est susceptible de se trouver dans un intervalle défini par un écart autour de
P.
Conditions d’application Si N.P et NQ > 5
Ip au risque  : f
 [ P + U
P.Q
]
N
avec Q = 1 – P.
** Grand échantillon pour variable qualitative
: N.P et NQ > 5 (ou > 10 pour certains
auteurs).
Dans le domaine médical, les paramètres étudiés suivent souvent (de manière approchée) une loi
normale
Ainsi on peut démontrer, qu’une moyenne ou une fréquence observée suivent approximativement
une loi normale dès que la taille de l’échantillon est assez grande.
Ce résultat est approché lorsque l’effectif de l’échantillon est « grand » est exact si la distribution de
la variable X est elle même normale.
___________________
Exercice 1
Dans une population, la fréquence d’un facteur est de 12%.
On tire au hasard un échantillon de 100 sujets.
Calculer l’intervalle de pari à 95% et à 99% de la fréquence de ce facteur
Corrigé 1
P = 0,12 et n=100
Les conditions d’applications sont vérifiées pour le calcul de l’intervalle de pari d’un pourcentage puisque :
np =12 et Nq = 88 sont > 5
L’intervalle de fluctuation à 95% (  = 0,05
U  = 1,96)
f
 0,12 + 1,96
0,12 * 0,88.
100
0,12 + 0,064
Ip95% [0,06 – 0,18]
L’intervalle de fluctuation à 99% (  = 0,01
0,12 + 2,576
U  = 2,576)
0,12 * 0,88.
100
0,12 + 0,084
Ip99% [0,04 – 0,20]
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Exercice 2
Dans une population, le poids de naissance des nouveau-nés a une moyenne  = 3300g et une
variance = 250 000 g2. Considérons des échantillons de 400 nouveaux nés tirés au sort dans cette
population. Calculer l’intervalle de pari à 95% et à 99% de la moyenne du poids de naissance.
N > 30
1. Intervalle de fluctuation ( pari) à 95% de la moyenne m des poids de naissance observés sur ces
échantillons est
3300 + 1,96
250000
400
3300 + 49
m  [3251 ; 3349] g
2. Intervalle de fluctuation ( pari) à 99%
3300 + 2,57
250000
400
3300 + 64
m  [3236 ; 3364] g
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Chapitre 5
Estimation – Intervalle de confiance
Généralités :
Lorsque l’on étudie une caractéristique dans une population, il est souvent nécessaire d’étudier cette
caractéristique dans un groupe de sujets (échantillon) avant de généraliser les résultats à la population.
L’estimation est la théorie qui permet cette généralisation de l’échantillon à la population.
Ex : On souhaite évaluer la prévalence (fréquence) de l’hypertension artérielle (HTA) dans un
département d’outre mer.
La population de ce département est trop vaste
On sélectionne un échantillon représentatif (tiré au sort) de cette population.
On décrit sur cet échantillon la prévalence de l’HTA.
Puis, on cherche à estimer la prévalence de l’HTA dans la population.
On distingue 2 types d’estimation :
l’estimation ponctuelle qui fournit une valeur que l’on souhaite la plus proche possible de la
vraie valeur du paramètre
l’estimation par intervalle qui donne un intervalle, appelé intervalle de confiance, qui a une
probabilité fixée à priori de contenir la vraie valeur du paramètre.
1.Estimation ponctuelle
Définitions et notations
L’estimation consiste à attribuer une valeur au paramètre étudié à partir des observations faites sur l’échantillon.
Cette valeur numérique = estimation
Il est préférable, de noter différemment la valeur vraie (valeur théorique) du paramètre dans la
population, et la valeur estimée sur un échantillon.
Les notations des estimations des paramètres les plus couramment utilisées :
Paramètre
Valeur théorique
Fréquence
Moyenne
Variance

2
P
Estimation
sur un échantillon
po ou f
m
s2
Estimateur, définition
La formule ou procédure mathématique utilisée pour « estimer » s’appelle l’estimateur
Biais d’un estimateur
Le biais d’un estimateur est évalué par la différence entre les estimations d’un paramètre obtenues sur des
échantillons successifs et la vraie valeur du paramètre.
Les qualités d’un estimateur dépendent de la formule utilisée pour le calculer et de la façon dont a été choisi
l’échantillon.
Les échantillons représentatifs de la population (en pratique, tirés au sort) permettent d’éviter la plupart
des erreurs dues au choix de l’échantillon.
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Pour qu’un estimateur convienne, il faut vérifier qu’il présente 2 qualités principales : absence de biais
et variance faible.
Estimateur sans biais : un estimateur sans biais donne en moyenne la bonne valeur du
paramètre.
Une variance faible indique que les estimations sont peu dispersées et qu’il y a donc peu d’écarts
entre les valeurs issues de 2 échantillons distincts
L’absence de biais signifie que les estimations obtenues sur des échantillons successifs ne s’écartent
pas de la vraie valeur de manière systématique.
Un estimateur est donc d’autant meilleur qu’il est sans biais et a une variance minimum.
Estimateur de la fréquence, de la moyenne et de la variance d’une variable.
La moyenne des fréquences observées f sur des échantillons tirés au sort était égale à la fréquence P
théorique dans la population de la variable qualitative étudiée
E (f) = P
f estime P
La moyenne des moyennes observées m sur des échantillons tirés au sort était égale à la moyenne 
théorique dans la population de la variable quantitative étudiée
E (m) = 
m estime 
La fréquence et la moyenne observées (sur des échantillons tirés au sort) sont des estimateurs sans
biais des moyennes et fréquences théoriques.
La variance
Soit E un échantillon, d’effectif N, correctement extrait de P. On s’intéresse à une variable quantitative
X dans cette population.
Soit  2 la variance théorique et inconnue d’une variable quantitative X dans une population P.
m et s2 étant respectivement la moyenne et la variance de X observées dans l’échantillon E .
N
2
s (X) =
 x
i 1
i
 m
2
N
On démontre que s2 est un estimateur biaisé pour  2 .
1
1
L’estimateur de  2 comprend un facteur
(et non )
N 1
N
2 Estimation par intervalle de confiance.
Soit P une population dans laquelle la variable quantitative X a une moyenne  inconnue (ou la
variable qualitative Y a une fréquence théorique p inconnue).
L’intervalle de confiance d’un paramètre inconnu est l’intervalle dans lequel le paramètre inconnu
qu’on cherche à estimer a une probabilité (1 - α) de se trouver et α de ne pas se trouver.
2.1 Variable quantitative – estimation d’une moyenne par intervalle de confiance (Ic)
Cas des grands échantillons (N > 30)
La condition de validité (N > 30) doit être pour appliquer la formule de l’intervalle de confiance.
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La moyenne m suit une loi normale de moyenne  et d’écart-type 
m est N (  ,  )
N
U=
m

N
est N (0, 1)
N
Ic de  au seuil α :

+ Uα
s
N 1
]
Cas des petits échantillons (N < 30)
Calcul de l’intervalle de confiance dans le cas où la variable étudiée X est normale

Dans ce cas m est N (  ,
)
N
Ic de  au seuil α
  [ m + tα s ]
N 1
tα est donné par la table de Student à (N – 1) degrés de liberté.
2.2 Variable qualitative – estimation d’une fréquence par intervalle de confiance
Cas des grands échantillons (Np et Nq > 5)
Les conditions de validité du calcul sont vérifiées à postériori aux bornes de l’intervalle de
confiance
f est N (p,
p.q
N
)
Ic de p au seuil α
U=
[f +
f p
f (1  f )
N
est N (0, 1)
f (1  f )
N
]
Cas des petits échantillons (Np et Nq < 5)
L’intervalle de confiance est donné par des tables spéciales : abaques
3. Précision d’un intervalle de confiance
Pour un risque α donné, la précision du renseignement est donnée par l’intervalle de confiance.
Elle d’autant plus grande que l’intervalle est petit.
Uα.
Uα.
s
N 1
f (1  f )
N
est la précision de l’estimation de la moyenne.
est la précision de l’estimation du pourcentage.
4. Nombre de sujets nécessaire
En bio statistique, la question suivante est souvent posée : Combien faut-il de sujets, pour répondre à
une question, dans une étude.
Il est possible de déterminer le nombre minimum de sujets nécessaire pour un sondage, à condition :
de fixer i (la précision désirée) et 
de connaître P. P étant inconnu, on peut utiliser une valeur approximative par ex f obtenue au
préalable sur un petit échantillon.
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Si on veut obtenir une précision fixée à l’avance, c'est-à-dire un intervalle de confiance déterminé par
± i, on doit avoir, pour un risque α donné
i = Uα.
f (1  f )
N
U  f (1  f )
i2
2
et donc
n=
______________________
Exercice 1
Dans une population P , on s’intéresse au taux de cholestérol sanguin (g/l).
On tire au hasard un échantillon de 32 femmes . La moyenne et l’écart-type du taux de cholestérol de
l’échantillon sont égal à 2,2 et 0,52.
Calculer l’intervalle de confiance à 99% pour le taux moyen de cholestérol de la population totale des
femmes.
Corrigé de l’exercice 1
Taux de cholestérol sanguin en g/l = variable quantitative
N est grand > 30
 = 0,01
Ic à 99%
U  = 2,57
  m + U
Ic 99%
s
N 1
2, 2 + 2,57 
  [1,96 ; 2,44] g/l
0,52
31
2, 2 + 2,57  0,09
Exercice 2
Dans un centre anti-cancéreux, on examine après tirage au sort un échantillon de 100 femmes pour
lesquelles on suspecte un cancer utérin.. En fait 25% de ces femmes présentent un cancer utérin. Quel est
l’intervalle de confiance au risque 5 % de la fréquence du K utérin dans la population féminine suspecte
reçue au centre anti-cancéreux.
Corrigé de l’exercice 2
L’Ic au risque 5% de la fréquence du K utérin dans la population féminine suspecte au centre anti-cancéreux.
N =100 f =0,25. On suppose que l’échantillon est grand. Les conditions d’application (npi , nqi, nps, nqs > 5
seront vérifiées à portériori).
P  [0,25+ 2
0,25  0,75
]
100
Ic95%
P  [0,16 ; 0,34]
Conditions vérifiées : npi, nqi, nps, nqs > 5
___________________________________________________________
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Chapitre 6
Comparaison d’une caractéristique observée à une caractéristique
théorique. Les tests statistiques.
La question posée dans le cas d’une moyenne, dans le cas d’une moyenne : la moyenne observée
m diffère t’elle de moyenne théorique (connue) ?
L’échantillon E est-il représentatif de P ?
En fait, on veut savoir si la différence observée est attribuable aux fluctuations d’échantillonnage ou
si elle correspond à une différence réelle.
Le test statistique permet de répondre à cette question. Il est basé sur l’estimation de l’écart-réduit.
Etapes d’un test statistique - grands échantillons:
1.1 Les hypothèses nulle et alternative
H 0 : hypothèse nulle : E est représentatif de P
La moyenne observée ne diffère pas de la moyenne t
La fréquence observée ne diffère pas de la fréquence t
H 1 : hypothèse alternative : E n’est pas représentatif de P
1.
1.2 La statistique du test statistique
Après vérification des conditions de validité du test.
Si l’effectif de l’échantillon E est grand, ce paramètre U obéit sous H 0 à une loi connue
m
U=
est N (0,1) Puisque que N > 30
2
N
Ou U =
f p
avec m = moyenne de x dans l’échantillon
 = moyenne de x dans la population
  écart-type dans la population
N = taille de l’échantillon (N est grand > 30)
est N (0,1)
p(1  p)
N
Avec f = fréquence de x dans l’échantillon
p = fréquence de x dans la population
N = taille de l’échantillon (N est grand Np et N(1-p) > 5)
1.3 Définir le seuil  : seuil de signification ou risque de première espèce.
Généralement on choisit  = 0,05
1.4 Définir la zone de rejet de H0 (zone hachurée)
Au risque  choisi, correspond un intervalle [-U 
+ U  ] ou le paramètre a 1 -  de
chance de se trouver.
La zone de rejet comprend 2 parties
ainsi, au seuil  = 0,05
_________________________________
-1,96
0
+ 1,96
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1.5 Calculer le paramètre (valeur numérique de la statistique)
On calcule le paramètre en fonction des données du problème.
1.6 Décision
- Si X tombe dans la zone de rejet, on rejette H 0 avec un risque d’erreur < 
 = risque de première espèce
-Si X ne tombe pas dans la zone de rejet, je ne rejette pas H 0
si on accepte H 0 , cette décision est associée à un risque  de deuxième espèce
2.
Risque de première et deuxième espèces, puissance d’un test statistique
a)  = risque de première espèce. Risque d’erreur, est le risque de rejeter l’hypothèse nulle alors
qu’en fait elle est exacte.
b)  = risque de deuxième espèce ou manque de puissance, est le risque de ne pas rejeter l’hypothèse
nulle alors qu’en fait elle est fausse. C’est la probabilité de ne pas mettre en évidence une
différence qui existe réellement.
Les risques  et  , sont antagonistes.
Si l’on choisit un risque  très petit, on ne peut le plus souvent rejeter H0.
On choisit le plus souvent un risque  de 5%. Ce risque  fixé est appelé seuil de signification,
c) 1 -  :puissance du test. C’est la probabilité de mettre en évidence une différence qui existe
réellement.
Synthèse
Réalité
H0 vraie
H0 fausse
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Décision
On ne rejette pas H0
1- 

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Rejet de H0

1- 
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Exemples
Exercice 1
On suppose que la moyenne de la taille normale des nouveaux -nés à terme est 50cm et l’écart-type 3.
Sur un échantillon de 50 nouveaux –nés représentatifs des prématurés (enfant nés avant terme) on
observe une moyenne de taille égale à 45 cm.
La différence est-elle significative ? C’est à dire peut-on affirmer que les prématurés naissent plus
petits que les nouveaux nés à terme ?
Corrigé de l’exercice 1
Dans la population P,   50cm et   3cm . Pour l’échantillon m= 45 cm
Il s’agit de comparer une moyenne observée à une moyenne théorique.
1 . Hypothèse nulle Ho
Il n’y a pas de différence significative entre la taille des prématurés et celle des nouveaux nés à terme
2 Sous l’hypothèse nulle Ho
N étant > 30.
U=
m

N
qui est N (0, 1)
3 Le seuil  = 0,05 (dans la table de l’écart-réduit,  = 0,05 U  = 1,96.
4 La zone de rejet (hachurée)
_________________________________
-1,96
0
+ 1,96
5) Calcul de la valeur numérique de U
U cal =
45  50
5
= - . 50 = - 11,7
3
3
50
5) Décision U calculé tombe dans la zone de rejet. Je rejette H0 avec un risque de première espèce
  0,05 et même à 10-4 . Il y a une différence significative entre les 2 moyennes
La taille des prématurés est significativement plus petite que celle des nouveaux nés à terme.
Exercice 2
Sur les 10 000 enfants nés de 1968 à 1973, on a compté 5300 filles.
On demande si la proportion de filles est compatible avec l’hypothèse d’équiprobabilité d’une fille et
d’un garçon au risque 1%?
Corrigé de l’exercice 2
On utilise le test de comparaison d’une fréquence observée à une fréquence théorique p = 0,5
1) L’hypothèse nulle : équiprobabilité des naissances d’une fille ou d’un garçon.
2) Sous H0
np et n(1-p) > 5
U=
f p
p (1  p)
n
Np et N(1-p) > 5)
3) Seuil  = 0,01 U  = 2,567
4) Zone de rejet hachurée
___________________________
-2,57
0
+ 2,57
5) calcul de U
Ucal =
0,53  0,50
0,50 * 0,50
10000
=6
6) je rejette H0 avec un risque de 1ère espèce  = 0,01 (et même < 10-8)
Il n’y a pas d’équiprobabilité de naissance d’une fille ou d’un garçon.
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Chapitre 7
COMPARAISON de DEUX VARIANCES
Pour comparer les distributions d’une variable dans deux populations, on peut être amené à
comparer les variances.
La comparaison des variances permet aussi de vérifier les conditions d’application de tests
statistiques (exemple : test de Student).
1 Le Test de Fisher
Nous présentons la comparaison de deux variances observées, par leur rapport.
Soit deux échantillons d’effectifs n1 et n2 tirés au sort dans 2 populations.
Notons s1 et s2 les variances d’une variable X observées dans les deux échantillons.
On souhaite comparer les variances observées
Les étapes du test
H0 et H1 doivent porter sur les valeurs vraies
1ère étape : H0 hypothèse nulle, pas de différence entre les variances
 12 =  22 .
H1 hypothèse alternative
 12 ≠  22 .
2ème étape : Statistique du test
Sous l’hypothèse nulle, c'est-à-dire si  12 =  22 , le rapport des variances F
F=
s12
s 22
2
2
(si
s
>
s
)
ou
F
=
(si s22 > s 12 )
1
2
s 22
s12
F suit une loi de Fisher à (n1-1) et (n2-1) ddl notée Fnn2111 ou Fnn1211
Condition de validité : les deux séries sont extraites de populations à distribution normale.
3ème Le seuil choisi est 

4ème La zone de rejet est déterminée à partir de avec k1 et k2 ddl
2
k1 pour le numérateur de F (plus grande variance) : effectif échantillon – 1
soit n1 – 1 ou n2 - 1
k2 pour le dénominateur de F : égal à n2 - 1 ou n1 – 1

soit  = 0,025 et le rapport est
2
ainsi comparé à la valeur de F donnée par la table (point 2,5%) à l’intersection de la colonne
(n1 – 1) et de la ligne (n2 – 1)
Si le seuil choisi est  = 0,05. Il faut utiliser la table de
La zone de rejet est hachurée
F
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4ème Calcul de F0 On calcule celui des deux rapports qui est supérieur à 1.
5ème Décision
-Si F0 ne tombe pas dans la zone de rejet : on ne rejette pas H0 (l’hypothèse d’égalité des variances
est vérifiée). Les deux variances ne diffèrent pas significativement à 5%.

- Si F0 dépasse la valeur seuil (correspondant à
dans la table de Fisher aux ddl appropriés), on
2
rejette H0 et on conclut à une différence significative entre les variances au risque  .
2 . La table de Fisher (en annexe table de F point 2,5% et table avec 0,05, 0,025, 0,01, 0,001)
La table de Fisher FKk12 donne la valeur de Fα telle que  = Pr ( FKk12 > Fα).
________________________________
Exercice :
On compare les variances d’une variable X estimée dans deux échantillons de taille n 1 = 6 et n2 = 15.
s12
On trouve F = 2 = 3. La variable X est distribuée normalement. Les deux variances sont-elles différentes au
s2
seuil
 = 5 %.
Corrigé de l’exercice:
H0 :  12 =  22 .
Le seuil n’est pas précisé dans l’énoncé, donc  = 5 %.
Fnn2111 on cherche la valeur de F  pour k1 (n1-1) et k2 (n2-1) ddl dans la table de Fisher pour la
ligne  / 2 = 2,5 %. (ou dans la table de Fisher 2,5%).
Condition de validité : distribution normale de X.
Pour F145 on trouve F  0,025 = 3,66
Conclusion ; je ne rejette pas H0
Les variances ne diffèrent pas significativement
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Chapitre 8
Comparaison entre deux caractéristiques observées.
1. Comparaison de 2 moyennes observées
2 situations différentes selon que
*E1 et E2 sont 2 échantillons indépendants
Ou
*E1 et E2 sont 2 échantillons appariés. C’est à dire que les individus qui les constituent sont
liés entre eux, parfois, ils sont les mêmes.
1.1 Cas des échantillons indépendants
Exemple concret :
Un échantillon de 110 malades atteints de cancer du colon a été comparé à un échantillon 180 témoins non
malades quant à leur consommation moyenne de caféine. Pour les malades elle est égale à m1 = 149 mg/j et pour
les témoins à m2 = 130 mg/j. Ces deux moyennes sont-elles différentes.
De manière plus générale, soit 2 échantillons d’effectifs n1 et n2 tirés au sort dans chacune des 2
populations que l’on compare.
Ces échantillons sont définis par
n1 m1 s1
n2 m2 s2
Problème: les moyennes m1 et m2 diffèrent-elles significativement ou non ?
On veut savoir si la différence observée entre m1 et m2 est attribuable aux fluctuations
d’échantillonnage ou correspond à une différence réelle entre les valeurs vraies dans les populations
dont sont tirés les deux échantillons
Notons  1 et  2 les moyennes vraies dans les populations d’où sont issus les échantillons.
Les hypothèses nulles et alternatives s’écrivent :
H0 :  1 =  2
(les 2 échantillons proviennent de la même population de moyenne  )
H1  1 ≠  2 (test bilatéral)
 1 >  2 ou  1 <  2 test unilatéral.
1.1.1. Grands échantillons : n1 et n2 > 30. Approximation par la loi normale
Lorsque les deux échantillons sont grands (en pratique, n1 > 30 et n2 > 30)
m1 suit approximativement une distribution normale, N (  1 ,
 12
)
n1
et m2 suit approximativement une distribution normale est N (  2 ,
 22
)
n2
La différence m 1 -m 2 suit approximativement une loi normale de moyenne  1 -  2 et de variance
 12
 22
+
si les deux échantillons sont indépendants.
n1
n2
On note classiquement m 1 et m 2 les estimations de  1 et  2 et s1 et s2 les estimations de  12 et
 22 .
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on démontre que m est N (0,
s12
s2
 2 )
N1 N 2
 Si les échantillons sont grands et indépendants,
L’hypothèse nulle Ho (m1 = m2)  1 =  2 ou  1 -  2 = 0
L’hypothèse alternative H1  1 ≠  2 test bilatéral
Pour comparer les deux moyennes, on utilise la statistique
m1  m2
U=
qui suit approximativement une loi normale centrée réduite ;
s12
s22

N1
N2
est N (0, 1)
Les étapes du test : comparaison de 2 moyennes observées pour 2 échantillons indépendants
1) H0 : pas de différence significative entre  1 et  2
Ou encore, les 2 échantillons sont issus de la même population.
2) Statistique de test
Sous H0,
3)
4)
5)
6)
U=
m1  m2
s12
s2
 2
N1
N2
est N (0, 1)
Choix du seuil 
Déterminer la zone de rejet
Calcul de U
Décision
* si U calculé tombe dans la zone de rejet
- on rejette H0 avec un risque de première espèce < 
- la différence entre m1 et m2 est significative
 si U calculé ne tombe pas dans la zone de rejet
- les données ne permettent pas de rejeter l’hypothèse d’égalité des
moyennes
- ou on accepte H0 avec un risque de 2ème espèce 
Exercice :
On a appliqué à deux lots de souris deux traitements A ou B après tirage au sort. Les résultats sont
présentés dans le tableau suivant :
n
Traitement A
50
Traitement B
50
Le délai moyen diffère t-il entre les deux groupes
Corrigé :
M en jours de survie
16
18
s2
16
14
- il s’agit de la comparaison de 2 moyennes observées pour 2 échantillons indépendants
- H0 : il n’y a pas de différence entre  A =  B
-La statistique de test
les échantillons sont grands nA et nB ≥ 30
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U=
m A  mB
est N (0, 1)
s A2
s B2

nA
nB
-Au seuil  = 0,05,
U  = 1,96
-Définition de la zone de rejet de Ho (zone hachurée)
-Calcul Ucalculé =
16  18
16 14

50 50
________|_______________________|_________
-1,96
0
+ 1,96
=
2
0,6
= - 2,6
-Décision :
On rejette H0 avec un risque  < 0,05 et même < 10-5
Les délais moyens de survie sont significativement différents dans le sens d’une guérison
plus longue avec B (18 jours) ou plus courte avec A (16 jours).
1.1.2. Petits échantillons : n1 ou n2 < 30
Quand au moins un des échantillons a une taille trop petite (en pratique n1 < 30 ou n2 < 30)
l’approximation par la loi normale n’est plus possible.
On peut utiliser le test du t de Student-Fisher
-Si la distribution de la variable étudiée est normale dans chacune des deux populations
- Et si les variances σ12 et σ22 sont égales
Pour la condition 1 : la distribution peut-être normale compte tenu de la nature même de la variable
étudiée
Pour la condition 2, quand les échantillons sont petits, les estimations s12 et s 22
de σ12 et σ22
peuvent s’écarter beaucoup des vraies valeurs. On aborde le problème de la manière suivante :
On peut d’abord réaliser le test d’égalité des variances.
Si on suppose que σ12 = σ22, on calcule sur l’ensemble des échantillons une variance commune
s2, obtenue à partir des deux échantillons.
2
2
avec s2 = (n1  1) s1  (n2  1) s2
n1  n2  2
Cette variance commune, prend en compte la taille de chaque groupe.
Le paramètre T =
m1  m2
suit une loi de Student à (n 1 + n 2 - 2) ddl
1 1
s

n1 n2
Si | t | < à la valeur de t lue dans la table, au risque α pour n1+n2-1 ddl, on ne rejette pas H0. La
différence n’est pas significative.
Dans le cas contraire (si t > t n1+n2-2) au seuil risque α on rejette H0. En fonction des valeurs
observées, m1 > m2 ou m2 > m1
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On recherche, dans la table, le degré de signification p ; c’est la plus petite valeur telle que t > t
n1+n2-2
L’utilisation du test t reste possible dans le cas des grands échantillons
La table de la loi de Student indique, pour un nombre de ddl allant de 1 à 120, la probabilité
d’obtenir une valeur de T à l’extérieur de l’intervalle [- t , +t ] .
La table :
Indique donc la valeur  telle que  = Pr[T > t  ]
La première colonne de la table correspond au nombre de degrés de liberté,
La première ligne donne des valeurs de 
L’intersection d’une ligne et d’une colonne indique la valeur de t .
1.2 Cas des échantillons appariés
Dans cette situation, chaque élément de la série 1 est lié à un élément de la série 2.
Ex : comparer les corrections d’un sujet d’examen (n copies) par deux examinateurs :
Pour chaque copie, il y aura 2 notes La liaison est représentée par la copie et pour chaque
copie, il y a un couple de note.
On peut disposer des notes données par l’examinateur 1 et des notes données par
l’examinateur 2 pour les N copies.
Pour traiter ce problème, on s’intéresse à la différence observée pour chaque couple de notes entre les
n copies.
De manière générale, pour comparer les moyennes de deux séries appariées, on forme pour chaque
paire la différence des deux mesures et on compare l moyenne des n différences à 0.
Pour les grands échantillons n ≥ 30
La moyenne de ces différences md  
di
n
n couples (observations appariées)
Condition d’application : n ≥ 30
d i  md 2

2
sd =
variance des différences
N
Sous l’hypothèse nulle
md
Le paramètre U=
sd n  1
Si | U | < Uα (ex : < 1,96 si α = 5%), je ne rejette pas H0, les moyennes ne diffèrent pas
significativement.
| U | ≥ Uα (ex : ≥ 1,96 si α = 5%), je rejette H0 au risque correspondant à U (lu dans la table de
l’écart-réduit).
Pour les petits échantillons n < 30
Condition d’application, les différences di sont distribuées selon une loi normale.
On compare la moyenne des différences md à 0 par le rapport :
md  0
md
t=
ou
qui suit une loi de Student à (n – 1) ddl.
sd n
sd n
md et sd désignent la moyenne et l’écart-type estimés sur l’échantillon des n différences
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Si | t | < tα lu dans la table de t pour (n -1) ddl, et un risque α donné, je ne rejette pas H0, les
moyennes ne diffèrent pas significativement.
Si | t | ≥ tα lu dans la table de t pour (n -1) ddl,, je rejette H0 au risque correspondant à t (lu dans la
table de t). Les moyennes diffèrent significativement.
2
Comparaison de 2 fréquences observées
Soit une variable qualitative et 2 échantillons
E1
N1
f1
E2
N2
f2
NB : Nous verrons dans un autre chapitre que l’on peut utiliser les test de
fréquences
pour comparer 2
2.1 Cas des échantillons indépendants
Comparaison de 2 proportions pour grands échantillons
Soit une variable qualitative et 2 échantillons ayant respectivement les effectifs n1 et n2. La
comparaison des 2 pourcentages observés f1 et f2
Conditions :
n1 .f1 et n1. (1– f1) > 5
n2 .f2 et n2. (1– f2) > 5
Sous H0 (ou f1 = f2), la différence (f1 – f2) est distribuée selon une
1 1
loi N (0, p.q.(  ) )
n1 n2
n1. f1  n2 . f 2
et q = 1-p
n1  n2
p et q désignent des proportions évaluées sur l’ensemble des deux échantillons.
- on estime la fréquence théorique par p =
La comparaison des 2 pourcentages est basée sur le test de l’écart-réduit.
f1  f 2
Le paramètre U =
est N (0, 1)
1 1
p.q.(  )
n1 n2
Si | U | < Uα (ex : < 1,96 si α = 5%), je ne rejette pas H0, les fréquences ne diffèrent pas
significativement.
| U | ≥ Uα (ex : ≥ 1,96 si α = 5%), je rejette H0 au risque correspondant à U (lu dans la table de
l’écart-réduit). La différence est significative.
2.2. Cas des échantillons appariés :
La comparaison des pourcentages pour les échantillons appariées sera présentée dans le chapitre du
test de chi2.
Pour la comparaison de 2 fréquences observées, préférer le test de  2
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40
Chapitre 9
Le test de chi-deux
Il est fréquent d’avoir à comparer 2 pourcentages. En effet, la maladie est souvent caractérisée par
une variable dichotomique (malade / non malade).
Par exemple, si on veut savoir si le taux de guérison est ou non amélioré par un traitement, on sera
amené à comparer des pourcentages de malades (ceux guéris sans traitement, ceux guéris sous
traitement).
Le plus souvent, on compare des pourcentages (ou des distributions) observés dans deux
échantillons (ou plus) mais on est parfois aussi amené à comparer un pourcentage à une valeur de
référence.
On utilise

2
d’ajustement : pour la comparaison d’une distribution observée sur un échantillon à une
distribution théorique
2
d’homogénéité ou d’indépendance : pour la comparaison de deux distributions observées.
1. Le
 2 d’indépendance
Problème général :
On cherche à rejeter, ou non, l’indépendance entre deux variables qualitatives (exemple Traitement
(oui/non) – Guérison (oui/non)).
Ou compare deux pourcentages observés et on cherche à savoir si la différence observée entre p o1 et
po2 (ou f1 et f2) peut-être attribuée aux fluctuations d’échantillonnage ou si elle correspond à une
différence entre les valeurs vraies du pourcentage dans les deux populations dont sont issus les
échantillons.
Notons que P1 et P2 sont les pourcentages vrais dans les populations d’où sont issus les
échantillons.
Le problème de la comparaison de 2 pourcentages
distributions.
revient en fait à la comparaison de 2
Ex : Des patients atteints de la même maladie ont été traités par 2 traitements différents. Parmi
les 70 qui ont reçu le traitement A , 22 ont guéri et parmi les 50 qui ont reçu le traitement B, 25
ont guéri. Le taux de guérison est-il différent entre les 2 traitements.
Principe du test :
On fait l’hypothèse d’indépendance entre 2 facteurs (Ex maladie et consommation de tabac, ou
Traitements -guérison).
C’est l’hypothèse nulle H0 P1 = P2
l’hypothèse alternative H1
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P1 ≠ P2
ou P1 > P2
test bilatéral
ou P1< P2 test unilatéral
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Sous H0
On pose le tableau de contingence observé
Dans les différentes cases de ce tableau, nous allons nous intéresser aux effectifs observés plutôt
qu’aux pourcentages pour une maladie (malade M+ – non malade M-) et une exposition au tabac
(Fumeurs T+ et non Fumeurs T-).
Malade
M+
MFumeur
T+
eo11
eo12
n1
Teo21
eo22
n2
m1
m2
N
e
Les pourcentages observés de malades po1 = o11 parmi les fumeurs
n1
e o 21
parmi les non fumeurs
n2
On calcule le tableau de contingence théorique
M+
MT+
et 11
et 12
et de malades po2 =
T-
et 21
et 22
n1
n2
m1
m2
N
En effet, si H0 est vraie, les effectifs observés fluctuent autour de ces effectifs théoriques (calculés).
Commençons par la première case du tableau qui correspond aux sujets malades M+ de
l’échantillon T+
pour la 1ère case : le nombre théorique de malade dans l’échantillon T+ est
m .n
e t 11 = 1 1
N
Explication Si H0 est vraie, le pourcentage de malades est le même dans les deux populations d’où sont issus les
échantillons T+ et T- : P1 =P2.
La meilleure estimation de ce pourcentage est p = m1 /N, p obtenu par la réunion de 2 échantillons. La valeur
théorique du nombre de malades attendus pour T+ est n1.p = n1 . m1/n
Il en est de même pour les autres cases.
L’effectif calculé d’une case est obtenu en multipliant les effectifs des marges correspondant à
cette case et en divisant le résultat par le total général.
Test
Si H0 est vraie, les effectifs observés, eoij fluctuent autour des effectifs calculés etij et on montre que
si la taille de l’échantillon est assez grande, et si l’hypothèse d’indépendance est vérifiée, la quantité
(e o  e t ) 2
 e suit une loi de 2 à (L-1) (C-1) ddl . L étant le nombre de lignes du tableau
t
C étant le nombre de colonnes du tableau

2
2
(
e

e
)
o
t
=
 e
t
Le test consiste à calculer  à partir des observations faites sur les échantillons
Conditions d’application du test, les effectifs théoriques ou calculés doivent être > 5
Définir un seuil
exemple, pour  = 0,05 et le ddl = 1  2 α = 3,84
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Définir la zone de rejet
 2 α zone hachurée)
lu dans table de  2 pour un seuil α
Zone de rejet >
2 α
et un nombre de ddl (L-1) (C-1)
La zone de rejet est définie par la
_____________________
2 α
0
La table de la loi de donne la valeur de  2 telle que  = P (≥  2 .
Calcul de 
Conclusion
Dans le cas d’un test bilatéral, on rejette H0 au risque  , si 2 ≥ 2
* Si 2 > 22 tombe dans la zone de rejet), on rejette H0 avec un risque d’erreur de 1ère
espèce < 
 Si 2 < 22 ne tombe pas dans la zone de rejet), on ne rejette pas H0.
(ou on accepte H0 avec un risque d’erreur de 2ème espèce 
Dans le cas d’un test unilatéral distinguer les cas selon la formulation de H1.
Si H1 s’écrit p1> p2, on rejette H0 au risque  , si 2 > 22et si p1> p2
Si H1 s’écrit p1 < p2, on rejette H0 au risque  , si 2 > 22et si p1< p2
Autres écriture du
Pour calculer le

2
2
de comparaison de 2 pourcentages
(e o  e t )
, nous avons utilisés la formule    e
t
2
2
Utilisons les notations suivantes
On montre que
2
M+
T+
a
Tc
m1
2
= ad - bc  n
n1n2 m1m2
Mb
d
m2
n1
n2
N
Cette formule est plus simple à calculer
Il ne faut pas oublier les CA d’application portent toujours surs les etij
2. Le
 2 d’ajustement
Problème général :
- On compare une distribution observée à une distribution théorique ou encore un pourcentage
observé à un pourcentage théorique
On cherche à savoir si la différence observée peut être attribuée aux fluctuations
d’échantillonnage ou si elle correspond à une différence réelle.
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La variable qualitative étudiée a K classes (ou K modalités). Si nous analysons la variable
« couleurs des yeux », cette variable peut avoir 4 classes par exemple : yeux noir, vert, bleu,
marron.
Le problème se pose donc de la façon suivante, on a observé un pourcentage po sur un échantillon
et on se demande s’il diffère d’une valeur de référence (ou théorique) que nous noterons pt.
2.1 Principe du test :
l’hypothèse nulle H0 : L’échantillon est représentatif de la population
2.1.1 Présentation du tableau de calcul de  2
M+ = malade, M- = Non malade
Malade M+
Effectifs observés
Effectifs théoriques
M+
Meo2
Et2 = nQt
eo1
et1 = nPt
n
n
Qt = 1 - Pt
2.1.2 Calcul du  2
CA : tous les effectifs théoriques sont > 5

2
(e o  e t ) 2
= e
t
suit une loi de
2
à (K – 1) ddl (K étant le nombre
de modalités de la variable).
3. La table de la loi de  2
La table de la loi de  2 donne la valeur de  2α telle que  = Pr (  2 ≥  2α) .
La première colonne de la table indique le nombre de degrés de liberté
La première ligne indique la valeur de α
L’intersection d’une ligne et d’une colonne donne la valeur de  2α = 9,49.
Exemple
Pour un nombre de ddl égal à 4, et pour une valeur de α égale à 5 %,  2α = 9,49
Interprétation : la probabilité qu’une variable  2 (à 4ddl) prenne une valeur supérieure ou égale
à 9,49 est égale à 5%.
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Exercice 1.
Un groupe de 300 malades est réparti par tirage au sort, entre 3 chirurgiens, pour une intervention.
La fréquence des complications est présentée dans le tableau suivant :
Chirurgiens
1
2
3
Nombre de complications
10
4
6
Nombre de malades
100
100
100
Les performances de trois chirurgiens diffèrent-elles dans leur ensemble ?
Corrigé exercice 1.
Chirurgiens
1
2
3
10
4
6
6,7
6,7
6,7
NON 90
96
94
93,3
93,3
93,3
Malades
100
100
100
Complications
OUI
Fréquences des complications : Chir 1 =10%
Chir 2 = 4%
20
280
300
Chir3 = 6%
H0 Les performances des 3 chirurgiens ne diffèrent pas significativement
Les conditions d’applications du test : tous les effectifs théoriques > 5
Le test 2 d’indépendance
(e  e )
  o t
et
2
2
suit une loi de  2 à (L-1) (C-1) ddl soit 2 ddl
Le seuil α = 0,05
Le seuil n'ayant pas été précisé dans l'énoncé, on choisit 5%.
2
La zone de rejet :  > 2soit2 > pour α = 5% et 2 ddl).
_____________________

0
Calcul de 2
2
2
2
2
2
2
2 = (10  6,7)  (4  6,7)  (6  6,7)  (90  93,3)  (96  93,3)  (94  93,3)  3
6,7
6,7
6,7
93,3
93,3
93,3
Conclusion :  <  : ( ne tombe pas dans la zone de rejet),on ne rejette pas H0
Les performances des 3 chirurgiens ne diffèrent pas dans leur ensemble.
2
2
2
Exercice 2
Lors d’une enquête réalisée sur un échantillon de taille 400, représentatif des décès enregistrés dans
une région, on a observé que 140 décès (35%) étaient dus à une maladie cardio -vasculaire. Ce
pourcentage diffère-t-il de la valeur de référence (40 %) donnée par les statistiques nationales ?
Corrigé exercice 1.
On cherche donc à savoir si le pourcentage observé de maladie cardio-vasculaire est différent de la valeur
de référence
Test de 2 d’ajustement.
Hypothèse nulle H0 = Le pourcentage observé ne diffère pas de la valeur de référence
Sous l’hypothèse nulle on présente le tableau de 2 d’ajustement.
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Décès dus à une maladie cardiovasculaire
Oui
Non
140
260
Effectifs observés
Effectifs théoriques 400 x 0,40 = 160
400 x 0,60 = 240
400
400
Les conditions d’applications du test: tous les effectifs théoriques ≥ 5
Ces conditions sont vérifiées (les effectifs théoriques pour cet exemple sont 200 et 300)
Le test
2  
(e o  e t )
et
2
suit une loi de 2 à (K- 1) ddl (2 modalités – 1, soit 1 ddl).
Le seuil  = 0,05
2 . Le seuil n'ayant pas été précisé dans l'énoncé, on choisit 5%.
Définition de la zone de rejet : 2 > 2soit2 > 
Calcul de 2
2=
_____________________
0

(140  160) 2 (260  240) 2

 4,16
160
240
Conclusion : 2 > 22 tombe dans la zone de rejet), je rejette H0 avec un risque de première espèce
 Il existe une différence significative entre les pourcentages de décès par maladie cardiovasculaire
dans la région et dans l’ensemble du pays. Le pourcentage est plus faible dans la région.
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Chapitre 10
Tests non paramétriques
1. Principes des tests non paramétriques
La plupart des tests statistiques sont construits à partir d'hypothèses sur les distributions des
variables étudiées chez les individus
L'utilisation d'un test paramétrique suppose de connaître la loi (ou la famille de lois) de la
population dont est issu l’échantillon
loi normale,
distribution binomiale ou distribution de Poisson
Dans le cas des petits échantillons ces hypothèses ne peuvent être vérifiées
Soit 2 populations P1 et P2 dont on tire 2 échantillons E1 et E2
On veut savoir au vu de E1 et E2, sans faire d’hypothèses sur les lois attachées à P1 et P2,
si ces lois sont identiques ou non.
On utilise un test dit non paramétrique : en anglais « distribution free test »
Tests paramétriques
Test t de Student non appariés
Test t de Student appariés
Analyse de variance
Cas particulier de 2 variables
Tests non paramétriques
Test de Mann et Whitney
Test de Wilcoxon
Test de Kruskall et Wallis
2. Tests non paramétriques avec échantillons indépendants
Test de Mann - Whitney
Le test de Mann-Whitney est un test non paramétrique portant sur deux échantillons
indépendants issus de variables numériques ou ordinales.
Ce test non paramétrique permet aussi de comparer deux échantillons indépendants de petite taille.
Il porte sur le fait que deux séries de valeurs numériques (ou ordinales) sont issues d'une même
distribution.
Il est non paramétrique, c'est à dire qu'il ne fait aucune hypothèse sur les formes analytiques
des distributions F1(x) et F2(x) des populations P1 et P2. Il teste donc l'hypothèse :
H0 : "F1 = F2"
Il utilise les RANGS, c’est-à-dire l’ordre dans lequel apparaissent les observations des deux
échantillons réunis dans un même ensemble. Par conséquent, il est valide sur des données
quantitatives ou ordinales.
NB1 : Il est quelquefois appelé « test de Wilcoxon ». Mais à ne pas confondre avec le lest des
rangs de Wilcoxon…
NB2 : Si les populations sont supposées normales et de même variance, le test t aura la
préférence.
Le test U de Mann et Whitney pour séries indépendantes
Si 2 populations sont identiques, il doit y avoir intrication des valeurs de ces 2 populations
(hypothèse H 0 ).
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La réalisation du test est basée sur
-le classement des observations par ordre croissant (sans tenir compte du groupe) ;
-la détermination du rang de chacune d'elle (on attribue aux rangs ex-aequo la valeur
moyenne des rangs) ;
-le calcul de la plus petite somme des rangs.
Un exemple concret permet de comprendre l'affectation des rangs aux valeurs et le traitement
des ex æquo.
Exemple
Soit à comparer les notes obtenues par deux groupes d'étudiants A et B de tailles respectives n A
= 6 et nB = 8 .
Groupe A
7
8
10
13
16
18
Groupe B
4
5
7
9
10
11
12
14
Somme
Moyennes des
Des
rangs
rangs
GA
GB
na
nb
na +nb
rang
7
4
5
7
0
1
0
1
1
1
1
1
1
2
8
10
13
16
18
9
10
11
12
14
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
3 ,5
5
6
7,5
9
10
11
12
13
14
TA = 54
TB= 51
9
6,4
nA=6, nB=8
On fait pour chaque groupe la somme des rangs qui le compose.
TA= ni (A) . ri = (1x3,5) + (1x5) + (1x7,5) + (1x11) + (1x13) + (1x14) = 54
TB= ni (B) . ri = (1x1) + (1x2) + (1x3,5) + (1x6) + (1x7,5) +(1x9) + (1x10) + (1x12) = 51
On vérifie que TA + TB est égale à la somme des rangs des groupes A et B = 105. Cela permet de
vérifier qu’il n’y a pas d’erreur sur les calculs de TA etTB
Le test de Mann et Whitney définit la variable U telle que
UA = nA . nB + [ nA (nA+1) / 2 ] - TA
UB = nA . nB + [ nB (nB+1) / 2 ] - TB
Dans notre exemple
UA = 48 + 42/2 - TA = 69 – 54 = 15
UB = 48 + 72/2 - TB = 84 – 51 = 33
On peut calculer µU = (nA . nB)/2= 24
µU = 24
UA = 15
TA = 54
UB = 33
TB= 51
Probabilités et Statistiques
nA = 6
nB = 8 .
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3.La table de U présentée ci-dessous donne la limite inférieure de U telle que Pr(U<Uα) pour
deux échantillons d’effectifs n1 et n2 avec n1< n2
Dans notre exemple les effectifs sont nA = 6 et nB = 8
La valeur seuil lue à l’intersection de la ligne nA = 6 et de la colonne nB = 8 est Uα =8 pour α=5%.
UA = 15 > Uα . On ne rejette pas H0. Les notes obtenus par les étudiants du groupe A ne sont pas
significativement différentes de celles obtenues par les étudiants du groupe B.
4. Avec échantillons appariés
Le test de Wilcoxon pour séries appariées
Le test des rangs de Wilcoxon est la version non paramétrique du test t sur séries appariées. Il
repose sur les rangs des différences entre chaque paire d'observations. Il teste l'hypothèse nulle (H0)
selon laquelle la somme des différences entre les rangs homologues est égale à zéro.
Probabilités et Statistiques
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49
REFERENCES
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Principaux outils en statistique. Version du 17 octobre 2007.
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Dalmay F, Preux PM, Druet-Cabanac M. Qu’est-ce qu’un test non paramétrique. Rev Mal Resp
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