Chapitre 7: Forces centrales

Chapitre 7: Forces centrales
Introduction
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En présence d’une force centrale dérivant d’une énergie potentielle (seul cas considéré dans ce
chapitre), le mouvement du point matériel M peut-être parfaitement décrit. Dans le cas
particulier d’une force en « 1/r2 » (force de gravitation, force électrique), la trajectoire est une
conique (ellipse, parabole ou hyperbole).
http://www.space.com/23782-comet-ison-is-alive-survives-sun-swing-video.html
Trajectoire de la comète
ISON lors de son passage
au plus près du SOLEIL
entre le 28 Novembre et le
1er décembre 2013
Photos prises par le sattelite SOHO

Chapitre 7: Forces centrales
I Caractéristiques d’un mouvement à force centrale
II Energie potentielle effective
III Application à une force en « 1/r2 »
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Chapitre 7: Forces centrales
I CARACTERISTIQUES D’UN MOUVEMENT A FORCE CENTRALE
1) Planéité de la trajectoire
Soit une force centrale (dérivant d’une énergie potentielle) dont le centre est O.
Dans tout ce chapitre, on supposera le référentiel galiléen. On en déduit que le
moment cinétique en O est conservé.
3
F
v
O
M
OM
O
L
Plan contenant
et à chaque instant
OM
v
pOMvmOMLO
OMLO
vLO
Le déplacement d’une particule soumise à une
force centrale s’effectue dans un plan
perpendiculaire au vecteur moment cinétique.

Chapitre 7: Forces centrales
I CARACTERISTIQUES D’UN MOUVEMENT A FORCE CENTRALE
2) Loi des aires
4
O
O
L
http://www.youtube.com/watch?v=uzTq94bF6jo
Plus le satellite est proche de la Terre et plus il tourne vite. Lorsque la trajectoire est
circulaire, il se déplace à vitesse constante.
A1
A1
Les deux aires colorées ont la même surface
Loi des aires :
ste
OC
2m
L
dt
dA 
Le rayon vecteur (d’origine O) balaie des aires
égales pendant des intervalles de temps égaux.
v
v

Chapitre 7: Forces centrales
I CARACTERISTIQUES D’UN MOUVEMENT A FORCE CENTRALE
3) Lois de conservation
5
La force est centrale et on suppose qu’elle ne dépend que de et qu’elle dérive
d’une énergie potentielle Ep. On utilise les coordonnées polaires pour repérer le point
dans le plan de la trajectoire (perpendiculaire au moment cinétique).
-) L’énergie mécanique est donc conservée :
(on peut vérifier que si on dérive cette expression par rapport au temps, on retrouve le PFD)
-) Le moment cinétique est conservé :
OMr
urur r
v
2222 θrrv 
0p
222
p
2
pcm rEθ rrm
2
1
rEmv
2
1
EEE ECste  
ste
C z
2
0u θ r mL 
Nous venons d’écrire deux constantes du mouvement. Il y a deux inconnues, r(t) et (t) et
nous avons deux équations, on peut donc déterminer ces deux fonctions ainsi que
l’équation de la trajectoire r().