Chapitre 8 : Mouvement d`un système soumis à une force centrale

Mécanique
Chapitre 8
PTSI
Introduction
On s’intéresse ici à un point matériel M de masse m soumis à une seule force centrale et en
mouvement dans un référentiel galiléen Rg lié au point vers lequel est dirigée la force.
L’exemple typique de système étudié est une planète du système solaire ou un satellite
soumis à la force d’attraction gravitationnelle du Soleil ou de la Terre dirigée en permanence
vers le centre du Soleil ou de la Terre.
× M
f = f (r ) er
ez
r
er
ex
O
ey
On étudiera plus spécialement les forces centrales newtoniennes ou force en
1
r2
.
I. Généralités sur les forces centrales
Notion de force centrale – Exemples
Une force f est dite centrale s’il existe un point fixe dans Rg , noté ici O et appelé « centre de
force », tel que ∀ t, f = f (r ) er avec OM = r er .
Exemples :
Force d’interaction gravitationnelle f g = −
on note g (M ) = −
GmO m
r2
er . Cette force est toujours attractive. Si
GmO
er , champ de gravitation en M, cette force s’écrit f g = mg .
r2
Force d’interaction électrostatique (ou force de Coulomb) f e =
1
qO q
er . Cette force est
4πε0 r 2
attractive si les charges sont de signes opposés (q×qO < 0) et répulsive si les charges sont de
même signe (q×qO > 0).
Remarques :
Ces deux forces sont proportionnelles à
1
: on parle de forces newtoniennes.
r2
1
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q q
K
e avec K = −GmO m et K = O . K est
2 r
4πε 0
r
donc un coefficient algébrique : K < 0 correspond à une interaction attractive, K > 0
correspond à une interaction répulsive.
On peut écrire ces forces sous la forme f =
Énergie potentielle associée
Pour force centrale dérivant d’une énergie potentielle,
()
δW f = f .dr = f (r ) er .dr = f (r )dr = −dE p soit f (r ) = −
dE p
dr
.
K
K
K
, soit dE p = − f (r )dr = − 2 dr = d
2
r
r
r
K
E p (r ) =
r
Dans le cas d’une force newtonienne, f (r ) =
avec par convention lim E p (r ) = 0 .
et :
r →+∞
On obtient alors :
E p (r ) = −
GmO m
E p (r ) =
1
r
qO q
4πε 0 r
pour le force gravitationnelle,
pour la force électrostatique.
II. Lois de conservation
Conservation du moment cinétique – Loi des aires
En appliquant le théorème du moment cinétique au point O, centre de force, on constate que
dLO
= OM ∧ f = rer ∧ f (r )er = 0 . Le vecteur moment cinétique est donc constant.
dt
Conséquences :
1. Le point M évolue dans un plan. En effet, ∀ t on a OM ⊥ L O avec O fixe dans le
référentiel d’étude. M évolue donc dans le plan perpendiculaire à L O et passant par O. On
peut alors étudier le mouvement en coordonnées polaires.
(
)
2. En écrivant le moment cinétique en coordonnées polaires L O = rer ∧ m rer + rθeθ = mr 2 θez
on a L O = cste = mr 2 θ et on définit la « constante des aires »
par C = r 2 θ =
LO
m
.
dA C
=
dt
2
est constante et on en tire la loi des aires : « Pendant des
3. On établit alors (cf. cours) que la vitesse aréolaire
2
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intervalles de temps égaux, le vecteur OM balaye des aires égales ».
Conservation de l’énergie mécanique
La force centrale étant conservative, l’énergie mécanique se conserve et peut s’écrire sous la
forme :
1
Em = mv 2 + Ep (r )
2
1
1
= mr 2 + mr 2θ2 + Ep (r )
2
2
Soit en introduisant la constante des aires et en distinguant la partie radiale de l’énergie
cinétique :
1 2
1 C2
Em =
mr
+ m 2 + Ep (r )
2
2 r
Ep,eff ( r )
énergie potentielle effective
énergie cinétique
radiale
Em = Ec,r + Ep,eff (r )
Par l’intermédiaire de la constante des aires, on s’est ramené à un mouvement à un seul degré
de liberté r = OM et à une énergie potentielle « effective » Ep,eff (r ) qui permet d’étudier
l’aspect radial du mouvement.
Étude du mouvement radial dans le cas de l’interaction newtonienne
Les limites du mouvement radial, autrement dit le domaine des valeurs possibles de r, sont
alors données par l’inégalité Ec,r = Em − Ep,eff ≥ 0 qui montre que l’énergie potentielle Ep,eff
est nécessairement inférieure à l’énergie mécanique.
Cas d’une interaction attractive (K < 0) :
Dans le cas attractif, la courbe d’énergie potentielle effective est de la forme :
Ep,eff
Em,1
Em,2
r1
rmin
rmax
r
Em,3
r2
Em,1 > 0, le domaine des valeurs possibles de r est [r1;+∞[ : état de diffusion (et trajectoire
hyperbolique) ;
Em,2 = 0, le domaine des valeurs possibles de r est [r2 ;+∞[ : état de diffusion (et trajectoire
parabolique) ;
3
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Em,3 < 0, le domaine des valeurs possibles de r est [rmin ; rmax ] : état lié, trajectoire
elliptique ;
Em,4 < 0 et minimale, r n’a qu’une valeur possible : état lié, trajectoire circulaire.
Cas d’une interaction répulsive (K > 0) :
Dans le cas répulsif, l’énergie potentielle effective est positive et de la forme :
Ep,eff
Em
r
r1
L’énergie mécanique est nécessairement positive (car supérieure à Ep,eff ).
Le domaine des valeurs possibles de r est [r1 ;+∞[ , on a donc un état de diffusion.
Remarque :
On retiendra, que dans le cas de l’attraction newtonienne :
Em ≥ 0 correspond à des états de diffusion,
Em < 0 correspond à des états lié.
III. Mouvement dans un champ de forces centrales
newtonien attractif
Mouvements des planètes et des satellites – Lois de Képler
Le mouvement des planètes du système solaire est étudié dans le référentiel de Copernic.
Celui des satellites terrestres, dans le référentiel géocentrique.
Les 3 lois de Képler sont :
1ère loi : dans le référentiel de Copernic, les trajectoires des planètes sont des ellipses dont
l’un des foyer est le centre du Soleil.
2ème loi : le rayon reliant le centre S du Soleil et le centre P de chaque planète balaye des
aires égales pendant des intervalles de temps égaux (loi des aires).
T2
3ème loi : Le rapport 3 où T est la période de révolution et a le demi-grand axe de
a
l’ellipse est le même pour toutes les planètes du système solaire. Ce rapport vérifie a
4π 2
T2
posteriori l’égalité 3 =
où M S est la masse du Soleil.
a
GM S
Trajectoire circulaire
Un mouvement à force centrale C = r 2 θ = cste circulaire R = cste, est nécessairement
uniforme v = Rθ = cste .
K
Relation énergie - rayon : Em =
(cf. cours pour la démonstration).
2R
4
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K
(cf. cours pour la démonstration).
mR
4π 2
T2
Relation période - rayon : 3 =
(3ème loi de Képler) avec mO masse du système
R
GmO
attracteur placé en O.
1ère vitesse cosmique vc1 ou vitesse de l’orbite circulaire rasante sur Terre :
Relation vitesse - rayon : v = −
vc1 = g 0 RT ≈ 7,9 km.s −1 .
Satellite géostationnaire : satellite de même période de rotation que la Terre, situé toujours
à la même distance d’un point quelconque de la surface de la Terre et en orbite circulaire à
environ 36 000 km de la surface de la Terre.
Trajectoire elliptique
K
< 0 (admise sans démonstration).
2a
Points particuliers : au périastre (noté P) et à l’apoastre (noté A), on a OM ⊥ v soit en
utilisant la conservation du moment cinétique en ces points rAv A = rP vP .
Relation énergie – demi-grand axe : Em =
Trajectoire parabolique
État de diffusion tel que Em = 0 (admis sans démonstration). Au-delà, la trajectoire est
hyperbolique et Em > 0 .
2ème vitesse cosmique vc 2 ou vitesse de libération : vitesse minimale d’un satellite au
lancement de la surface de la Terre qui échappe définitivement à l’attraction terrestre (état de
diffusion d’énergie minimale) vc 2 = 2 g 0 RT ≈ 11,2 km.s −1 .
Récapitulatif
5