Mouvements à force centrale

Mouvements à force centrale
I Définition – interaction newtonienne
A) Force centrale

On dit que M est soumis à une force centrale F lorsqu’il existe un point O fixe


dans (R) galiléen tel que, à chaque instant, F // OM et F ne dépend que de r  OM .


F

ur
M
O (point force)
 OM er
(1 vecteur des coordonnées cylindriques)
ur 
OM


F  F (r , t )  u r
B) Interaction newtonienne
1) Interaction gravitationnelle
M
m

ur
O
m1

mm 
Loi de Newton : FO  M  G 1 u r
OM ²
 [OM ]2
G : constante de la gravitation [G]  [ F ]
 kg 1m 3s 2
[m1m]
G  6,67.10-11 kg 1m 3s 2
Si O est fixe dans un référentiel galiléen :
m m  Gm1m
F ( M )  G 1 
OM ²
r²
La force gravitationnelle est une force centrale (exemple : soleil – planète,
planète – satellite)
2) Interaction coulombienne
M
q

ur
r  OM
O
q1
Force de Coulomb :

1 q1q 
FOM 
u r (dans le vide)
40 r ²
où  0 est la permittivité électrique du vide
1
 9.10 9 N.m 2 .C -2  9.10 9 kg.m 3 A 2 s  4
40

Fcoulomb est une force centrale si O est fixe dans (R) galiléen (exemple :
proton – électron)
3) Interaction newtonienne

k 
C’est une force s’exprimant sous la forme FOM 
u r ( r  OM )
r²
La force est attractive si k  0 , répulsive si k  0 .
L’interaction newtonienne est un exemple de force centrale
C) Energie potentielle


On considère une force centrale F  F (r )u r
M

ur
O
Pour un déplacement infinitésimal :



* d OM  d (r  u r )  dr  u r  r  du r


u r unitaire  u r2  1
 
 d (u r  u r )  0


 2u r  d (u r )  0


 u r  d (u r )





* W ( F )  F  d OM  F (r )u r  (dr  u r  r  du r )  F (r )dr
dU
  F (r ) (à une constante additive près)
On définit U par
dr


W ( F )  F (r )dr  dU . Donc U est l’énergie potentielle dont dérive F .

La force F est donc conservative.
Exemple : interaction newtonienne
 k 
F
ur
r²
k
k
dU
 k  k
 cte 
   2   2 donc U (r ) 
U est définie par
r
r
dr
 r  r
 Gm1m
r
q1q
Dans le cas coulombien, U (r ) 
40 r
Dans le cas gravitationnel, U (r ) 
II Lois générales des mouvements à force centrale
A) Conservation du moment cinétique
1) Intégrale première du moment cinétique
M

F

ur
O
On suppose O fixe :


 O  OM  m  v M /(R )
D’après le théorème du moment cinétique appliqué à M en O fixe dans (R)
galiléen, on a :

 
 
d O
 M O ( F )  OM  F  0
dt ( R )

Donc  O est indépendant du temps




C
 O  mC avec C  OM  v M /(R ) , ( est la vitesse aréolaire)
2


 O et C sont donc indépendants du temps
2) Mouvement plan


OM (t )   O ou C

C
M
O
Donc
M décrit un mouvement plan : il appartient au plan contenant O de

normale C (à tout instant)
Dans le plan de la trajectoire de M :
y

u
M
r

x

j
O 
k i

ur
 
( k //  O )
  
(u k , u , k ) forme une base cylindrique
r
m  r
0


  OM 0  m  v
m  r 
0
0
M /( R )
0
m  r ²




Donc  0  m  r ²  k ou C  r ²  k
Donc r ²  C  cte
0
3) Loi des aires
y
r
M (t )

  d
j



O
k i
x
r
dr
M (t  dt )
On note dS l’aire balayée par le rayon vecteur OM entre t et t  dt
M (t  dt )
H
dS
O
M (t )
r
dS  dS  o( r.d )  dS
d 1
 r ² d
2 2
1
1
ou dS  OM  MH  r  arc

2
2 rd
1
1 d
1
dS  r ² d  r ²
dt  Cdt
2
2 dt
2
dS 1
dS
C
 C (rappel : , soit
Donc
est la vitesse aréolaire)
dt 2
dt
2
Le rayon vecteur balaye des aires égales pendant des temps égaux.
dS    r ² 
M (t  t )
M (t )
O
M ' (t ' )
M ' (t ' t )
S t t  t  S t 't ' t
1
S   dS  C  T (T est la période)
2
B) Formules de Binet
On considère un mouvement à force centrale. Dans le plan de la trajectoire :
y

u
r

ur

x

j
O 
k i
M

OM  r  u r



v M /( R )  r  u r  r  u
d C
et  

dt r 2
1
d( )
du
dt  r dt
1 dr
1
On pose u  . Donc
 r 
 2 
 2 
r
d
dt
d r
d
d
r
du
C
du
C
Donc r  r 2
Et r   Cu
 2  C
d r
d
r
r 
dr dr d


dt d dt
2
2




du 
2
2  du 
2 2
2   du 
v

C

C
u

C
 u2 
 u r  Cu  u Ou
Donc v  C
 


  dt 

d
 dt 


1ère formule de Binet, ou formule de Binet relative au module de la vitesse. On
peut ainsi accéder à v² directement en connaissant la trajectoire.



a M /( R )  (r  r 2 )u r  (2r  r)u

F

m


Comme F est une force centrale, sa composante selon u est nulle
Donc 2r  r  0


Donc a
 (r  r2 )u
M /( R )
r
2
dr d dr  d
du
d 2u
C 2 d 2u
2 2 d u


 
(C )  C 2   2


C
u
dt dt d
d
d
d
r d 2
d 2
r 4 2
r 2  3  C 2 u 3
r


d 2u
 C 2u 3 )  u r
Donc aM /( R )  (C 2u 2
2
d

d 2u 
2 2
)  ur
Ou a M /( R )  C u (u 
d 2
2ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l’accélération)
r 
C) Conservation de l’énergie mécanique


dU
F  F (r )u r dérive d’une énergie potentielle U définie par
  F (r )
dr
1
Donc E méca  mv 2  U (r ) est une constante du mouvement
2
1
( E méca  E méca 0  mv02  U (r0 ) )
2
III Energie potentielle effective (ou efficace)
A) Définition
E méca 
1 2
mv  U (r )
2
2



C2
C
v M /( R )  r  u r  r  u  v 2  r 2  r 2 2  r 2  r 2  2   r 2  2
r
r 
2
1 C
 1
1
Donc Eméca  mr 2   m 2  U (r )   mr 2  U eff (r )  un seul paramètre r.
2
r
2
2

U eff ( r )
B) Mouvements liés et mouvements de diffusion
Une fois connues les conditions initiales, on a :
C  r 2  r020
E méca 
1 2
mr  U eff (r )  E méca (0)
2
1 2
mr  E méca  U eff (r )  0
2
Donc U eff (r )  E méca
Il y a donc des contraintes sur le mouvement de M
Donc
Cas particulier :
On suppose la force centrale newtonienne F (r )  
k
k
. Donc U ( r )  
2
r
r
1 C2 k
Donc U eff (r )  m

2
r
r
 si k  0 (attractif)
lim U eff (r )   ; lim U eff (r )  0 
r 0
r 
U eff (r )
E2
0
E1
E0
r2
r1
r0
r'1
r
1er cas : Eméca  E2  0
U eff (r )  E2  r  r2
On a donc un mouvement de diffusion : M peut s’éloigner à l’infini du point force.
O
r2
M
Exemple : certaines comètes ou sondes Voyager
2ème cas : Eméca  E1  E0 ;0
U eff (r )  E1  r1  r  r '1
On a donc un mouvement borné (ou lié)
O
r1
r' 1
Exemple : planètes autour du soleil,
mouvement de l’électron autour du proton
3ème cas : E méca  E0
U eff (r )  E0  r  r0
On a donc un mouvement circulaire et C  r 2  r020    cte  0
Le mouvement est donc circulaire uniforme.
Si k  0 (répulsif)
1 C2 k
U eff (r )  m
 0
2
r
r

U eff (r )
r
Donc E méca  0 et on a un mouvement de diffusion quelle que soit cette énergie
mécanique.
q
q1
r