Mouvements à force centrale

I Définition – interaction newtonienne
A) Force centrale
On dit que M est soumis à une force centrale
F
lorsqu’il existe un point O fixe
dans (R) galiléen tel que, à chaque instant,
FOMF et //
ne dépend que de
OMr
.
O
r
u
M
(point force)
F
OM
OM
ur
(1er vecteur des coordonnées cylindriques)
r
utrFF 
 ),(
B) Interaction newtonienne
1) Interaction gravitationnelle
m1
m
M
O
r
u
Loi de Newton :
rMO u
OM
mm
GF 
²
1
G : constante de la gravitation
231
1
2smkg
][ ][
][][   mm
OM
FG 
231-11 smkg6,67.10 
G
Si O est fixe dans un référentiel galiléen :
²²
)( 11 rmGm
OM
mm
GMF 
La force gravitationnelle est une force centrale (exemple : soleil – planète,
planète – satellite)
2) Interaction coulombienne
q1
q
M
O
OMr
r
u
Force de Coulomb :
rMO u
rqq
F
²4 11
0
(dans le vide)
Mouvements à force centrale

où
0
est la permittivité électrique du vide
42392-29
0
sAkg.m10.9.CN.m10.9
41
coulomb
F
est une force centrale si O est fixe dans (R) galiléen (exemple :
proton – électron)
3) Interaction newtonienne
C’est une force s’exprimant sous la forme
rMO u
rk
F
²
(
OMr
)
La force est attractive si
0k
, répulsive si
0k
.
L’interaction newtonienne est un exemple de force centrale
C) Energie potentielle
On considère une force centrale
r
urFF 
)(
M
O
r
u
Pour un déplacement infinitésimal :
drrFudrudrurFOMdFFW
udu
udu
uud
uu
udrudrurdOMd
rrr
rr
rr
rr
rr
rrr
)()()()(*
)(
0)(2
0)(
1unitaire
)(*
2
On définit U par
)(rF
dr
dU 
(à une constante additive près)
dUdrrFFW  )()( 
. Donc U est l’énergie potentielle dont dérive
F
.
La force
F
est donc conservative.
Exemple : interaction newtonienne
r
u
rk
F
²
U est définie par
22 rk
rk
dr
dU 
donc
rk rk
rU  cte)(
Dans le cas gravitationnel,
rmGm
rU 1 )( 
Dans le cas coulombien,
r
qq
rU
0
1
4
)(
II Lois générales des mouvements à force centrale
A) Conservation du moment cinétique
1) Intégrale première du moment cinétique

M
OF
r
u
On suppose O fixe :
)/(RMO vmOM  
D’après le théorème du moment cinétique appliqué à M en O fixe dans (R)
galiléen, on a :
0)(
)(
 FOMFM
dt
dO
R
O
Donc
O
est indépendant du temps
Cm
O
avec
)/(RM
vOMC
, (
2
C
est la vitesse aréolaire)
O
et
C
sont donc indépendants du temps
2) Mouvement plan
O
tOM )(
ou
C
OM
C
Donc M décrit un mouvement plan : il appartient au plan contenant O de
normale
C
(à tout instant)
Dans le plan de la trajectoire de M :
y
x
r
O
M
r
u
u
i
j
k
(
O
k
//
)
),,( kuuk
forme une base cylindrique
²
0
0
00
0)/(0rm rm
rm
vm
r
OM RM
Donc
krm  ²
0
ou
krC  ²
Donc
cte²  Cr
3) Loi des aires

y
x
r
O
i
k
j
d
dr
r
)(tM
)( dttM 
On note
dS
l’aire balayée par le rayon vecteur
OM
entre t et
dtt
r
dS
H
O
)(tM
)( dttM 
dSdrodSdS  ).(
Cdtdt
dt
d
rdrdS
rMHOMdS
dr
d
rdS
rd
2
1
²
2
1
²
2
1
arc
2
1
2
1
ou
²
2
1
2
²
Donc
C
dt
dS 2 1
(rappel :
2
C
, soit
dt
dS
est la vitesse aréolaire)
Le rayon vecteur balaye des aires égales pendant des temps égaux.
O
)( ttM 
)(tM
)'(' tM
)'(' ttM 
tttttt SS   ''
TCdSS 2
1
(T est la période)
B) Formules de Binet
On considère un mouvement à force centrale. Dans le plan de la trajectoire :

y
x
r
O
M
r
u
u
i
j
k
2
)/(
et r
C
dt
d
dt
d
d
dr
dt
dr
r
ururv
urOM
rRM
r
On pose
r
u1
. Donc
d
dr
r
d
dt
rr
d
dt
dt
r
d
d
du 
 22 1
)
1
(
Donc
d
du
C
r
C
d
du
rr  2
2
Et
Cu
r
C
r
Donc
uCuu
d
du
Cv r
Ou
2
2
222
2
22 u
dt
du
CuC
dt
du
Cv
1ère formule de Binet, ou formule de Binet relative au module de la vitesse. On
peut ainsi accéder à v² directement en connaissant la trajectoire.
m
F
urrurra rRM  )2()( 2
)/(
Comme
F
est une force centrale, sa composante selon
u
est nulle
Donc
02 
rr
Donc
rRM urra 
)( 2
)/(
32
3
24
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
)(
uC
r
r
r
dud
uC
dud r
C
dud
C
d
du
C
d
d
drd dt
d
dt
rd
r
Donc
rRM uuC
dud
uCa   )( 32
2
2
22
)/(
Ou
rRM u
dud
uuCa   )( 2
2
22
)/(
2ème formule de Binet (ou formule de Binet relative à l’accélération)
C) Conservation de l’énergie mécanique
r
urFF 
)(
dérive d’une énergie potentielle U définie par
)(rF
dr
dU 
Donc
)(
2
12
méca rUmvE
est une constante du mouvement
(
)(
2
10
2
0mécaméca 0rUmvEE 
)
III Energie potentielle effective (ou efficace)
A) Définition