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Forces centrales, forces intermoléculaires (Centrale, Supélec TSI 2003) A) Forces centrales Une particule de M de masse µ est soumise à une force centrale dérivant de l’énergie potentielle U : dU Avec r OM r e r , F F(r) e r er dr On désigne par E la constante de l’énergie et par L O le moment cinétique à l’origine O, dans le référentiel galiléen de l’étude. A.1) Rappeler les propriétés essentielles : du vecteur L O , de la trajectoire, de l’aire dA balayée par le rayon vecteur r pendant le temps dt. A.2) a) r et θ représentant les coordonnées polaires de la particule M. Exprimer LO en fonction de µ, r d et . dt b) Que peut-on dire de la nature du mouvement dans les deux cas : LO = 0 et LO 0 ? A.3) a) Montrer que la constante d’énergie E est une fonction simple des paramètres ou variables : µ, LO, r, r et U(r). 2 Ueff 1 b) En déduire l’ "équation radiale" : µ r E U eff où l’énergie potentielle dite "effective" 2 sera exprimée en fonction de U(r), LO, µ et r. c) À quelle condition l’équation radiale présente-t-elle une solution physique ? Exprimer enfin r et en fonction de r et des constantes. 1 A.4) Le terme en 2 qui s’ajoute à U(r) dans l’expression de Ueff est généralement appelé "énergie r potentielle centrifuge". a) Montrer que le mouvement radial de la particule M se produit dans un référentiel tournant d) dont on précisera la vitesse angulaire de rotation . b) Exprimer la force associée à l’énergie potentielle centrifuge. Elle représente la force d’inertie centrifuge associée au mouvement radial lorsque l’étude est menée dans le référentiel précédent. En déduire dU l’équation différentielle du mouvement radial sous la forme : µ r G(r, , µ, L O ) . Expliciter la dr fonction G. B) Forces intermoléculaires Dans le cas d’un gaz suffisamment dilué, la force d’interaction entre deux molécules voisines M1 et M2 dénuées de moment dipolaire est appelée force de Van der Waals. Lennard-Jones, en 1929, étudiant la liaison chimique à partir des orbitales moléculaires, la considère comme dérivant de l’énergie potentielle : a b U(r ) 12 6 où r représente la distance entre les deux molécules. r r Ce modèle est appliqué ici à un gaz formé de molécules de dioxyde de carbone CO2, pour lesquelles : a = ε σ 12 et b = ε σ 6 avec ε = 6.10–2 eV (1 eV = 1,6.10–19 J) et σ = 3,7.10–10 m. B.1) Exprimer la force d’interaction F exercée par M1 sur M2. Dans quel domaine de distances la force d’interaction est-elle attractive, répulsive, nulle ? Déterminer les positions d’équilibre. B.2) L’étude du mouvement d’un tel système isolé formé de deux particules s’effectue dans le référentiel barycentrique B . a) b) B.3) Rappeler la définition de ce référentiel. Est-il galiléen ? 1 1 1 2 , où m µ m m m kg. Sa position est définie dans le référentiel Soit M une particule fictive (" mobile équivalent ") de masse µ telle que désigne la masse d'une molécule CO2 : m = 7,31.10–26 barycentrique molécules. B par le vecteur r GM M1M 2 r e r , G représentant le centre de masse des deux a) Exprimer les positions r1 GM 1 et r2 GM 2 des deux molécules en fonction de r . b) Par quelle transformation mathématique passe-t-on de la trajectoire de M à celles de M1 et de M2 dans le référentiel barycentrique ? Que peut-on conclure quant aux formes de ces trajectoires ? B.4) Montrer que la quantité de mouvement barycentrique de M2 s'exprime très simplement en fonction de celle M. B.5) En appliquant le principe fondamental à M2 dans le référentiel barycentrique, montrer que tout se passe comme si M était soumis à la force F calculée au B.1). On est donc ramené à l'étude du cas simple d'une particule M de masse µ soumise à la force centrale F de pôle G, dérivant de l'énergie potentielle d'interaction U(r). B.6) a) Montrer par un changement de variable approprié que Ueff peut s'exprimer sous la forme : U eff 1 1 p 12 6 2 . x x x Exprimer la nouvelle variable x en fonction de r et σ. Exprimer r en fonction de x, avec µ, p, ε et l'énergie E.. Vérifier que p est une fonction simple de LO, µ, ε et σ. Calculer LO pour p = 0,2 et p = 0,8. U Le premier graphique ci-après représente la variation de eff en fonction de x. Le second graphique E µ représente les variation de y sont r en fonction de x. Sur le second graphique les valeurs de indiquées en caractères droits pour p = 0,2 et en italique pour p = 0,8. Le candidat admettra que, pour une telle forme d'énergie potentielle (Lennard-Jones), et dans l'intervalle d'énergie considéré, les trajectoires ne sont en général pas fermées. Dans la discussion suivante, on distinguera clairement les états liés et les états de diffusion de M par rapport au pôle G. b) c) d) U eff B.7) Discussion : Dans le cas où p = 0,2, E0 on désigne par le premier extremum E (minimum) et par 3 le second extremum (maximum) de l'énergie de M, E3 = 0,03474 (voir second graphique). a) Que se passe-t-il pour E = E0 ? En particulier que vaut r ? Quelle est la nature du mouvement de M (trajectoire, vitesse angulaire ω...) ? Quelle est la nature de l'"équilibre" pour la variable r ? p=0.8 p=0.2 E3 E0 x0 x3 x y 0.2 0.2 0.1 0.1 0.03474 x -0.05 0 b) On étudie maintenant la nature du mouvement de M pour une valeur E1 de E telle que E 0 E1 0 . Tracer, d'une manière qualitative, l'allure des mouvements de M dans le référentiel B . Donner dans ce cas, sous la forme d'une intégrale, l'avance δθ du péricentre (distance angulaire entre deux minima successifs de r). Donner un exemple de potentiel (hors problèmes intermoléculaires) pouvant conduire à des trajectoires fermées. c) On choisit une valeur E2 de E telle que 0 < E2 < E3. Quels sont les états possibles de M ? d) Montrer que E = E3 correspond à quatre états possibles. Montrer l'allure des trajectoires correspondantes. e) Étudier de même la situation E = E4 avec E4 > E3. Peut-on représenter par une intégrale un angle caractéristique de ce mouvement ? f) Décrire la situation relative à p = 0,8. U B.8) Commenter ces résultats de façon précise au moyen du graphe y(x), comparé au graphe eff ( x ) . E À quelle valeur commune de correspondent les deux trajectoires de phase (pour p = 0,2) pour lesquelles cette valeur n'a pas été notée sur le tracé ? B.9) Comment déduire les trajectoires barycentriques des deux molécules de l'étude précédente ? Comment définissez-vous alors les notions d'état lié et d'état de diffusion dans le cas de deux particules isolées ?
