7. Arithmétique 1) Critères de divisibilité (rappels) Un nombre entier

7. Arithmétique
1) Critères de divisibilité (rappels)
Un nombre entier est divisible :
- par 2, si son chiffre des unités est pair.
- par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5.
- par 10, si son chiffre des unités est 0.
- par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
- par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
- par 4, si le nombre constitué de ses deux derniers chiffres
est un multiple de 4.
Exemple :
Parmi les nombres 12 ; 30 ; 27 246 ; 325 et 6 139, indiquer
ceux qui sont divisibles : par 2 ; par 3 ; par 4 ; par 5 et par
9 ; par 10.
2) Nombres premiers
Définition : Un nombre premier est un nombre entier
positif qui admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et
lui même.
Exemple :
La liste des nombres premiers inférieurs à 20 est : …….
Remarque : 1 n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un
seul diviseur !
Propriété : Tout nombre entier supérieur ou égal à 2 se
décompose de manière unique en produit de facteurs
premiers.
Exemple :
La décomposition en facteurs premiers de 24 est :
La décomposition en facteurs premiers de 180 est :
3) Fractions
La décomposition en facteurs premiers est très utile pour
simplifier au maximum une fraction (on dit alors que la
fraction est irréductible).
Exemple :
on veut simplifier au maximum la fraction −180
54
On commence par décomposer le numérateur et le
dénominateur en produit de facteurs premiers :
180=2×2×3×3×5
54=2×3×3×3
On peut ensuite simplifier les facteurs commun
On pourra aussi retenir la définition :
Définition: Soient a et b deux entiers.On dit que la fraction
a est irréductible si a et b n'ont aucun diviseurs
b
communs.
Application :
Rendre la fraction 120 irréductible à l’aide de la
84
décomposition en facteurs premiers.