Fiche 22 : Reconnaître une fraction irréductible

Fiche 22 : Reconnaître une fraction irréductible
Énoncé :
Les fractions suivantes sont-elles irréductibles ? Justifier.
a.
23
27
b.
345
560
c.
23057
27908
Solution :
Commentaires / Conseils :
a.
a. Lorsque l'on peut déterminer les diviseurs
communs du numérateur et du dénominateur (grâce
aux tables de multuplication) alors la fraction est
irréductible si et seulement si 1 est le seul diviseur
commun.
Les diviseurs de 23 sont 1 et 23.
Les diviseurs de 27 sont 1, 3, 9 et 27.
23 et 27 n'ont que 1 comme diviseur commun donc la
23
fraction
est irréductible.
27
b. 345 et 560 ont 5 comme diviseur commun (car ils
345
se terminent par 0 ou 5) donc la fraction
n'est
560
pas irréductible.
(elle peut être simplifiée au moins par 5)
b. Si le numérateur et le dénominateur possède un
diviseur commun autre que 1 alors on peut simplifier
la fraction.
c.
c. Si le PGCD du numérateur et du dénominateur
d'une fraction est égal à 1 alors la fraction est
irréductible.
On utlise l'algorithme d'Euclide :
On commence toujours par énoncer la méthode
utilisée.
27908 = 23057 × 1 + 4851
23057 = 4851 × 4 + 3653
4851 = 3653 × 1 + 1198
3653 = 1198 × 3 + 59
1198 = 59 × 20 + 18
59 = 18 × 3 + 5
18 = 5 × 3 + 3
5=3× 1+2
3=2× 1+1
2=1× 2+0
Le PGCD est le dernier reste non nul dans
l'algorithme d'Euclide.
Donc PGCD (27908 , 23057) = 1
23057
est donc irréductible.
27908
On n'oublie pas de conclure.
Remarque : Cette méthode fonctionne pour tous les
nombres (qu'ils soient « grands » ou « petits »).
Cette fiche a été créée par : Kevin D. (3è3)