Cohomologie des groupes profinis et classification des groupes de

Cohomologie des groupes profinis et classification des
groupes de Demuškin
Alexandre Jannaud et David Leturcq
Juin 2014
1
Introduction
L’objet de cet exposé sera d’étudier une certaine famille de groupes infinis, mais dont les
propriétés sont proches de celles des groupes finis. On introduira donc d’abord la notion de limite
projective pour définir les groupes profinis qui sont alors obtenus comme limites de groupes finis,
et les pro-p-groupes qui sont limites de p-groupes. On définira en particulier F (n) comme le
pro-p-groupe libre sur n éléments.
Après avoir montré quelques propriétés générales sur ces groupes, nous définirons leur cohomologie, outil très puissant défini à partir des applications continues de Gn dans un groupe
abélien discret. Il s’agira alors d’utiliser la définition assez complexe des objets cohomologiques
pour comprendre ce qui se passe en petite dimension. L’interprétation de H 1 et H 2 nous permettra alors de donner des informations sur des présentations d’un groupe par générateurs et
relations.
Finalement, nous nous attellerons dans une dernière partie à classifier un certain nombre de
groupes profinis, dits de Demǔskin, pour lesquels on dispose de deux invariants simples notés n
et q. Le théorème que l’on obtiendra finalement est le suivant :
Théorème 1.1. Soit G un groupe de Demuškin d’invariants (n, q) avec q 6= 2
Alors
q
G∼
= F (n)/ hx1 (x1 , x2 )(x3 , x4 )...(xn−1 , xn )i
Serre donne également un autre théorème pour le cas q = 2, n impair que nous donnons sans
essayer de le démontrer ici :
Théorème 1.2. Soit G un groupe de Demuškin d’invariants (2m + 1, 2) Alors il existe k ∈
{0, 2, 4, 8, 16, · · · } tel que ;
G∼
= F (n)/ x21 .xk2 .(x2 , x3 )(x4 , x5 )...(x2m , x2m+1 )
Ces résultats permettent donc de classifier une classe de groupes infinis en fonction de seulement deux entiers. Les groupes profinis apparaissant naturellement comme groupe de Galois
des extensions galoisiennes infinies d’un corps, ces théorèmes permettent alors de déterminer la
structure du groupe de Galois de certaines extensions de corps.
1
Nous essaierons de suivre la démonstration de Serre (dans [5]) au cours de notre exposé. Il en
existe également une seconde plus précise et permettant de traiter le cas q = 2 par introduction
d’un troisième invariant dont nous nous contenterons de mettre le lien en bibliographie ([3]).
2
2.1
Groupes profinis, pro-p-groupes
Limite projective, profinitude
Pour définir l’idée de "limites de groupes" évoquée en introduction, on utilisera une structure
appelée limite projective et définie ainsi :
Définition 2.1. On appelle système projectif de groupes topologiques, la donnée :
– D’un ensemble ordonné I, tel que : ∀α, β ∈ I, ∃γ tq γ ≥ α et γ ≥ β (deux indices
admettent toujours un majorant commun.).
– Pour tout α ∈ I, d’un groupe topologique Gα .
– Pour tout α > β, d’un morphisme continu fα,β : Gα → Gβ .
Si (Gα , fαβ )α∈I,β≤α est un système
Q projectif , on définit sa limite projective comme étant le
sous-groupe topologique lim Gα de Gα muni de sa topologie produit défini par :
←−
lim Gα = {(gα )α∈I : ∀α > β, fαβ (gα ) = gβ }.
←−
On appellera groupe profini (resp pro-p-groupe) un groupe qui peut s’écrire comme limite
projective de groupes finis (resp. de p-groupes.).
On remarque que les "flèches" vont dans le sens décroissant des indices, ce qui justifie la
notation lim et la nomenclature assez
Q répandue de limite inverse.
←−
Dans la suite, on notera prα : Gα → Gα et πα : lim Gα → Gα les projections canoniques
←
sur les Gα .
Si G est un groupe profini et H et K deux sous-groupes, on notera (H, K) le sous-groupe fermé
distingué engendré par les commutateurs h.k.h−1 .k −1 où h ∈ H, k ∈ K, et H q le sous-groupe
fermé distingué engendré par les hq où h parcourt H.
Comme limites de groupes finis, donc d’espaces discrets, un pro-p groupe va hériter de certaines propriétés topologiques.
Proposition 2.1. Si les Gα sont finis, G = lim Gα est un groupe compact et totalement discon←−
tinu (i.e. a Q
pour composantes connexes des singletons) pour la topologie induite par la topologie
produit sur Gα .
Démonstration.
• compacité :
Le théorème de Tychonoff nous assure que le produit est compact, donc il suffit de montrer
que lim Gα est fermée dans le produit. Pour cela, on remarque que le complémentaire est ouvert.
←−
Q
Soit en effet, (xα ) ∈ Gα \ lim Gα . Il existe donc β < α, tel que fαβ (xα ) 6= xβ et pr−1
α ({xα }) ∩
←−
pr−1
({x
})
est
un
ouvert
du
complémentaire
contenant
(x
),
ce
qui
conclut.
β
α
β
• discontinuité totale :
En effet, si C ⊂ G est connexe (et non vide), on a par continuité de πα que πα (C) est connexe et
donc réduit à un point xα , car un groupe fini est discret donc totalement discontinu. Il s’ensuit
que C = {(xα )α∈I }.
G est donc totalement discontinu.
2
On remarque aussi également par définition de la topologie sur lim Gα qu’on a la caractérisa←−
tion suivante de la convergence des suites qui nous permet de mieux comprendre le comportement
topologique du groupe que l’on vient de construire.
Remarque 2.1. Soit G = lim Gα un groupe profini. Alors pour toute suite (xn )n≥0 de G et
←−
élément y = (yα ), on a :
(xn ) converge vers y si et seulement si (πα (xn ))n≥0 converge vers yα pour tout indice α.
Cette remarque traduit le fait que la topologie produit correspond à la convergence simple
des coefficients et est la "plus petite topologie rendant les πα continus".
On va maintenant énoncer et démontrer la "propriété universelle de la limite projective" qui
caractérise la structure de la limite projective en fonction des morphismes de groupes topologiques.
Proposition 2.2. Si on a un groupe K et des morphismes (φα )α∈I tels que le diagramme
> Gα
φα
K
fαβ
φβ
Gβ
soit commutatif pour tout α ≥ β,
il existe alors un unique morphisme continu φ : K → lim Gα tq ∀α ∈ I, φα = πα ◦ φ.
←−
On a donc une bijection entre les familles de morphismes compatibles avec les fαβ et les
morphismes à valeurs dans la limite projective. C’est ce qui justifie le nom de propriété universelle
pour cette proposition.
Démonstration.
Q Connaissant la propriété universelle du produit, on a l’unicité et l’existence de φ : K →
Gα tq prα ◦ φ = φα
Reste à vérifier que φ(K) ⊂ lim(G), ce qui est immédiat.
←−
Pour étudier par la suite les groupes profinis en tant que groupes topologiques nous aurons
besoin de quelques lemmes généraux de topologie des groupes. Le premier concerne la description
d’une base de voisinages de l’élément neutre dans un groupe topologique. Notons que nous ne
parlons que de sous-groupes fermés d’un groupe profini. Nous ne nous étendrons pas sur ce
point, la raison principal en est que si on retire cette hypothèse, le groupe quotient n’est a priori
pas séparé pour la topologie induite.
Lemme 2.1. Soit G un groupe compact. Alors :
– Les sous-groupes distingués fermés d’indice fini de G sont exactement ses sous-groupes
distingués ouverts.
– Si G est profini, ses sous-groupes distingués ouverts forment une base de voisinage de l’unité
(i.e. tout voisinage de l’unité en contient un).
Démonstration.
Pour le premier point, on remarque qu’un sous-groupe d’indice fini est le noyau d’un morphisme continu dans un groupe discret. Donc comme c’est l’image réciproque d’un ouvert, il
3
est encore ouvert. Réciproquement, si H / G est ouvert, on écrit G =
S
gH et la défini-
g∈G/H
tion de la compacité associée au fait que ce recouvrement soit une partition (donc n’ait pas de
sous-recouvrement strict) prouve que G/H est fini.
Pour le second point, on remarque que si U est un voisinage de e, il contient par construction
de la topologie produit un voisinage de la forme πα−1
(U1 ) ∩ · · · ∩ πα−1
(Un ) avec Ui ⊂ Gαi pour tout
1
n
−1
−1
i, qui contient lui-même πα1 ({e1 }) ∩ · · · ∩ παn ({en }), qui est évidemment un sous-groupe ouvert
distingué.
On établit maintenant un critère de densité très pratique pour les groupes profinis, que nous
utiliserons très régulièrement dans la suite, pour conclure certaines démonstrations.
Lemme 2.2. Soient G = lim Gα une limite projective de groupes (non nécessairement finis), et
←−
H un sous-groupe de G.
On suppose que pour tout α, πα (H) = Gα . Alors, H est dense dans G.
En particulier, si, avec les notations de la proposition 2.2, K est compact et les φα surjectifs,
alors le morphisme φ qu’ils induisent est surjectif.
Démonstration.
Soit U un ouvert non vide de G, et x = (xα )α∈I ∈ U .
(Un )
(U1 ) ∩ · · · ∩ πα−1
On peut supposer par construction de la topologie produit que U = πα−1
n
1
avec pour tout i, Ui ouvert dans Gαi . On prend alors β majorant tous les αi , ce qui est rendu
possible par la définition d’un système projectif.
Soit donc alors y ∈ H tel que πβ (y) = πβ (x), qui existe par hypothèse sur H. Alors, on vérifie
en utilisant les fβαi que παi (x) = παi (y) ∈ Ui et donc y ∈ πα−1
(U1 ) ∩ · · · ∩ πα−1
(Un ).
1
n
En particulier U ∩ H 6= ∅, ce qui conclut.
La conséquence vient juste du fait que si les φα = πα ◦φ sont surjectifs, on a pour tout indice :
πα (φ(K)) = Gα , ce qui montre que φ(K) est dense. Comme il est également fermé, comme image
continue d’un compact, il est égal à G tout entier d’où la surjectivité de φ.
Ce lemme de structure très utile va nous permettre de bien manier la topologie des groupes
profinis et d’en étudier les propriétés élémentaires. Une des premières conséquences va être la
proposition qui suit, qui nous montre qu’on peut toujours retrouver, à partir d’un groupe profini,
un système projectif dont il est limite, et nous donne une caractérisation topologique de la
profinitude.
Proposition 2.3. Si G est un groupe compact tel que tout voisinage de l’unité contient un
sous-groupe ouvert, alors on a G ∼
G/V où V parcourt l’ensemble des sous-groupes ouverts
= lim
←−
distingués de G.
En particulier, le résultat s’applique si G est un sous-groupe fermé d’un groupe profini. Par
conséquent, tout sous-groupe fermé d’un groupe profini est lui-même profini.
Démonstration. Pour V ouvert distingué, G/V est fini, par le lemme 2.1. On a alors un mor
phisme continu de groupes
G/V construit par la proposition 2.3
T profinis G 7→ lim
←−
On a Ker() =
V = {e}, car on regarde l’intersection d’une base de voisinages
V /G ouvert
dans un espace séparé.
Par le lemme 2.2., est surjectif, car les applications G → G/V de sa construction le sont
et que G est compact. Alors (G) = lim G/V (−1 est continu par compacité de G, donc ceci
←−
montre que est un isomorphisme continu).
Pour la seconde partie de la proposition, il suffit de remarquer que si G est un sous-groupe
d’un groupe profini G0 , il est compact, et qu’une base de voisinages de l’unité est donnée par :
4
{U ∩ G : U sous-groupe ouvert de G0 } et que si U < G0 est ouvert, U ∩ G est un sous-groupe
ouvert de G.
Pour finir cette section, on montre une proposition permettant encore de simplifier le système
projectif donnant naissance à un groupe profini, et qui nous permettra de raisonner de manière
plus itérative.
Proposition 2.4. Soient G un groupe compact (par exemple profini) et Gn une suite décroissante de sous-groupes fermés d’intersection triviale (on parlera de filtration de G). Alors, G est
isomorphe à la limite projective des G/Gn .
Démonstration. On a des morphismes G → G/Gn qui sont surjectifs et évidemment compatibles
avec les projections G/Gm → G/Gn (avec m > n), d’où le morphisme annoncé. Par le lemme
2.2, ce morphisme est surjectif, et comme son noyau est l’intersection des Gn donc est trivial,
c’est un isomorphisme. Sa réciproque est aussi continue par compacité de G.
En particulier, dans ce cas la remarque 2.1 se simplifie encore en :
Remarque 2.2. Si G est un groupe compact et (Gn )n≥0 une filtration de G, alors une suite
converge si et seulement si elle converge modulo Gn pour tout n.
2.2
Pro-(p-)complètion d’un groupe, pro-p-liberté
Définition 2.2. On définit un système projectif pour un groupe abstrait G donné par :
– I = {quotients finis de G} ordonné par l’inclusion inverse des sous-groupes distingués associés.
– ∀(G/H, G/K) ∈ I 2 , tel que H ⊂ K, les morphismes de projection canoniques φK,H :
G/H G/K.
b
La limite projective de ce système est appelée complété profini de G, et est notée G.
En prenant comme I l’ensemble {quotients de G qui sont des p-groupes}, on obtient le pbp .
complété de G, noté G
b (ensemble des entiers profinis) et
Dans le cas où G = Z, on obtient de la sorte le procomplété Z
le pro-p-complété Zp (ensemble des entiers p−adiques).
Dans le cas où G est le groupe libre de rang n, L(n), on notera son pro-p-complété F (n, p) (ou
F (n) lorsque p est défini sans ambiguïté).
F (n, p) est appelé le pro-p-groupe libre à n générateurs.
On a la propriété suivante qui définit les cas où les procédés précédents définissent bien une
"complètion" de G, c’est à dire au moins, un espace dans lequel G s’injecte de manière dense.
b compatible avec les proProposition 2.5. Il existe un unique morphisme continu θ : G 7→ G,
b sur les G/H.
jections naturelles de G et G
T
• θ est injectif si et seulement si
H = {e}
H∈I
b
• On a θ(G) = G
bp
• On a un résultat similaire avec G
5
Démonstration. On a
/ / G/H
G
! ! G/K
commutatif quand H ⊂ K, d’où,Tpar la proposition 2.2 un unique θ continu : G → lim(G/H).
←−
On a immédiatement Ker(θ) =
H = {e}.
H∈I
Enfin, montrons que G est dense. On a bien que les projections G → G/H sont surjectives, donc
par le lemme 2.2, comme πG/H (θ(G)) = G/H pour tout G/H ∈ I, on a la densité annoncée.
On peut alors appliquer le résultat précédent aux deux cas introduits dans la fin de la définition précédente, pour obtenir finalement le corollaire suivant :
Proposition 2.6.
θ
• On a une injection d’image dense Z ,→ Zp
θ
• On a une injection d’image dense L(n) ,→ F (n)
Démonstration.
T
Il suffit, par la proposition 2.3, de montrer que
k≥0
T
H = {0}, ce qui est trivial (car
H/Z
|Z/H|=pk
T
pk ZT
= ∅), et que :
H = {e}, ce qui l’est moins.
H/L(n)
L(n)/H
p−groupe
Posons pour démontrer la seconde partie H1 = L(n), et pour i ≥ 1, Hi+1 = Hip .(H, Hi )
On a directement
T Hi / L(n), et on voit que Hi /Hi+1 est un p−groupe, donc Hi ∈ I.
On a de plus
Hi = 0 (en utilisant le plongement construit par Lazard en [4]), ce qui
i≥0
conclut.
Désormais on identifiera régulièrement L(n) et Z à leurs images par ces injections.
De la densité de L(n) dans F (n), on va pouvoir déduire en quoi le groupe F (n) mérite encore
l’adjectif de "libre". Cette justification réside dans la propriété suivante :
Proposition 2.7. Si G est un pro-p-groupe, alors
Hom(F (n), G) →
˜ Gn
F
−→ (F (xi ))1≤i≤n
est une bijection.
Notons bien que l’application ci-dessus n’est pas un morphisme a priori, puisque l’ensemble
Hom(F (n), G) n’est pas un groupe si G n’est pas abélien.
Démonstration. Écrivons G = lim Gα où (Gα , fαβ ) est un système projectif de limite G. L’ap←−
plication présentée ci-dessus est injective par densité de L(n).
Soit (yi )1≤i≤n ∈ Gn . Posons pour α ∈ I, gα (xi ) = πα (yi )
Ceci définit gα : L(n) → Gα .
On pose alors Nα = Ker(gα ) et on peut donc passer au quotient et trouver g̃α : L(n)/Nα →
Gα . Notons que comme Gα est un p-groupe, L(n)/Nα aussi.
6
D’où un morphisme fα : F (n) → L(n)/Nα → Gα , c’est à dire défini par fα = g̃α ◦ πL(n)/Nα
De plus, si α ≥ β, on a : ∀x ∈ L(n), φαβ (fα (x)) = fβ (x) (car cette égalité est vraie pour les
xi ).
Donc, par densité, φαβ (fα (x)) = fβ (x) sur F (n) et φαβ ◦ fα = fβ .
On en déduit f : F (n) → G telle que ∀α, fα = πα ◦ f. On a alors f (xi ) = (fα (xi ))α∈I =
((yi )α )α∈I = yi .
L’application de l’énoncé est donc bien surjective.
2.3
Générateurs topologiques d’un groupe
L’objet de cet exposé étant l’étude de certaines présentations de groupes par générateurs et
relations, on introduit la notion de générateurs topologiques d’un groupe profini.
Définition 2.3. On dit que (xi )i∈I engendre topologiquement un groupe profini G lorsque G est
le plus petit sous-groupe fermé contenant tous les xi
Proposition 2.8. Soit G un pro-p-groupe et (g1 , ..., gn ) ∈ Gn ; Les assertions suivantes sont
équivalentes :
(i) (g(
1 , ..., gn ) engendrent topologiquement G.
θ
F (n) → G
xi 7→ gi
(ii)
(
(iii)
est un morphisme surjectif de groupes.
ψ
Hom(G, Fp ) → Fnp
F 7→ (F (gi ))1≤i≤n
est un morphisme injectif de Fp -espaces vectoriels.
Démonstration.
• (i) ⇒ (ii)
θ(F (n)) est compact, comme image continue d’un compact, donc fermé dans G.
De plus, en notant G = lim G/H avec H parcourant l’ensemble I des sous-groupes ouverts
←−
distingués de G, on a que πG/H (g1 ), ..., πG/H (gn ) engendrent le groupe G/H. Donc πG/H ◦ θ est
surjectif.
Par suite, on a ∀H ∈ I, πH (θ(F (n))) = G/H.
On applique alors le lemme 2.2 qui montre la surjectivité de θ.
• (ii) ⇒ (iii)
Si F ∈ Ker(ψ), on a ∀i, F (θ(xi )) = 0
Or, F ◦ θ ∈ Hom(F (n), G), donc F ◦ θ = 0.
Comme θ est surjectif, on en déduit F = 0, d’où l’injectivité de ψ.
• (ii) ⇒ (i)
On a θ(F (n)) = θ(L(n)) ⊂ θ(L(n)) par continuité de θ.
Donc θ(L(n)) = G, ce qui conclut, car θ(L(n)) est le sous-groupe engendré par les gi .
• (iii) ⇒ (ii)
Montrons la contraposée :
Si θ n’est pas surjectif, alors il existe H / G tq πG/H ◦ θ(F (n)) ( G/H.
Comme G/H est un p-groupe, il existe un sous-groupe d’indice p de G/H contenant πG/H ◦
θ(F (n)) (ceci résulte de [1] proposition 12, page 73).
Ceci nous donne φ : G/H → Z/pZ non nul tq φ(πG/H (θ(F (n)))) = {0}.
On a alors φ ◦ πG/H ∈ Ker(ψ) et φ ◦ πH 6= 0, ce qui conclut.
7
3
Cohomologie des groupes profinis
3.1
Premières définitions
Définition 3.1. Soit G un groupe profini. On note CG la classe des groupes abéliens discrets
(A, +) munis d’une action compatible de G.
Nous demandons aux actions d’être compatibles :
– Avec la structure de groupe de A : ∀(g, x, y) ∈ G × A2 , g.(x + y) = g.x + g.y
– Avec la topologie de G : on demande que l’application G × A → A donnant l’action soit
continue.
On appellera plus rapidement G-module ou G-module discret un élément de CG .
Pour tout G-module A, on note C n (G, A) les applications continues de Gn dans A, et on appelle
cochaînes ses éléments.
On appellera G−morphisme de A ∈ CG dans A0 ∈ CG tout morphisme de groupes abéliens tel
que ∀(g, a) ∈ G×A, f (g.a) = g.f (a). (Les topologies étant dicrètes la continuité est automatique).
On va introduire désormais la notion de groupes de cohomologie d’un groupe profini G à
valeurs dans un module A, qui nous sera très utile par la suite, car elle contient des invariants
utiles et calculables du groupe d’origine.
Définition 3.2. On définit l’application de cobord dn : C n (G, A) → C n+1 (G, A) par la formule :
∀(g1 , ...gn+1 ) ∈ Gn+1 ,
Pn
dF (g1 , ..., gn+1 ) = g1 ·F (g2 , ..., gn+1 )+ i=1 (−1)i F (g1 , ..., gi−1 , gi gi+1 , gi+2 , ..., gn )+(−1)n+1 F (g1 , ..., gn ).
On appelle cobord un élément de la forme dF pour une certaine cochaîne F , et cocycle une
cochaîne telle que dF = 0.
La formule du cobord est justifiée par la proposition suivante qui rend possible la définition
de la cohomologie.
Proposition 3.1. (i) on a dn+1 ◦ dn = 0.
( On peut alors bien définir le n-ième groupe de cohomologie de G à valeurs dans A par :
H 0 (G, A) = Ker(d0 ).
H n (G, A) = Ker(dn )/Im(dn−1 ), pour n ≥ 1.
On notera par la suite [F ] la classe d’un cocycle F .
G
(ii) H 0 (G, A) = A
: le premier groupe2 de cohomologie s’identifie
aux éléments fixes par G.
1
(iii) H (G, A) = u : G → A|∀g, h ∈ G , u(gh) = u(g) + g · u(h) / {g ∈ G 7→ g · a − a, a ∈ A}.
(iv) : en particulier, si G agit trivialement, H 0 (G, A) = A et H 1 (G, A) = Hom(G, A).
Démonstration.
(i) c’est un calcul, les signes se simplifient.
(ii) un élément de C 0 (G, A) est une constante a ∈ A.
On a alors d0 a : g ∈ G → g · a − a ∈ A.
donc, Ker(d0 ) = AG (éléments de A fixes par G)
(iii) Im(d0 ) = {g ∈ G → g · a − a, a ∈ A}
∀F ∈ C 1 (G, A), d1 F (g1 , g2 ) = g1 · F (g2 ) − F (g1 , g2 ) + F (g1 ) d’où le résultat.
8
f
Proposition 3.2. Si A → B est un morphisme de G-modules, il induit un morphisme Hn (f ) :
H n (G, A) → H n (G, B).
Démonstration. On a un morphisme naturel fn :
C n (G, A) →
φ
C n (G, B)
→ f ◦φ
en vérifiant que d(f ◦ φ) = f ◦ dφ, on peut construire le morphisme annoncé par passage au
quotient.
3.2
Suite exacte longue de cohomologie
On va montrer une des propriétés fondamentales des groupes de cohomologie qui permet leur
calcul explicite dans certains cas précis. On reconnait ici, une forme habituelle ressemblant aux
suites de Mayer Vietoris en cohomologie de de Rham.
i
p
Proposition 3.3. Soit 0 → A → B → C → 0 une suite exacte courte de G-modules. On a alors
la suite exacte longue de cohomologie suivante :
0 → H 0 (G, A) → H 0 (G, B) → H 0 (G, C) → H 1 (G, A) → H 1 (G, B) → H 1 (G, C) → ...
La preuve de cette suite exacte longue est portée en annexe. L’ingrédient essentiel en est le
lemme du serpent.
3.3
Suite d’inflation-restriction-transgression
On va maintenant montrer comment des morphismes de groupes permettent de créer des
morphismes entre les groupes de cohomologie. Ceci nous sera très utile pour définir une deuxième
suite exacte de cohomologie plus tard.
Définition 3.3. Soient G un groupe profini, et f : G0 → G un morphisme de groupes profinis
(i. e. un morphisme continu de groupes).
Si A ∈ CG , on peut considérer A comme un G0 -module Af en posant ∀(g 0 , a) ∈ G0 × A, g 0 · a =
f (g 0 ) · a.
n
C (G, A) → C(G0 , Af )
On définit alors fn :
φ → φ(f (·), ..., f (·))
qui définit de manière évidente fn∗ : H n (G, A) → H n (G0 , Af ).
f
Définition 3.4. Soient G0 → G un morphisme de groupes profinis, A un G-module, A0 un G0 module, et u : A → A0 morphisme additif tel que ∀a ∈ A, ∀g 0 ∈ G0 , u(f (g 0 ) · a) = g 0 · u(a)
Alors u est un G0 -morphisme de Af dans A0 et induit des morphismes un : H n (G0 , Af ) →
H n (G0 , A0 ).
On a alors des morphismes entre les cohomologies donnés par : un ◦ fn∗ : H n (G, A) →
n
H (G0 , A0 ).
9
La définition précédente va nous permettre de définir les morphismes d’inflation et de restriction dans deux cas particuliers que voici :
Définition 3.5. Soit G un groupe profini, H < G fermé, et K / G fermé.
Soit A ∈ CG , alors :
(i) L’injection canonique i : H → G définit des morphismes Resn : H n (G, A) → H n (H, A)
(ii) f = π : G G/K et u : AK ,→ A induisent des morphismes Inf n : H n (G/K, AK ) →
H n (G, A)
Remarque 3.1. Notons que :
– si f représente une classe x de H n (G, A), Resn (x) est représenté par f|H n d’où le nom de
restriction.
– si f représente une classe x de H n (G/K, AK ), Inf n (x) est représenté par h : (g1 , · · · , gn ) ∈
Gn 7→ f (g 1 , · · · , g n ).
Par la suite on omettra souvent les indices sur les morphismes définis ci-dessus. Toutes ces
définitions nous permettent enfin d’obtenir la suite évoquée précédemment qui relie les cohomologies de G, H, et G/H.
Proposition 3.4. Soient G un groupe profini, H / G fermé, et A ∈ CG sur lequel G agit trivialement. On fait agir G sur H 1 (H, A) par la construction suivante : pour g ∈ G, et F ∈ C 1 (H, A),
on pose g.F : h ∈ H 7→ F (g.h.g −1 ) ∈ A. Cette action donne, par passage au quotient une action
sur H 1 (H, A).
(i) On a H 1 (H, A)G = [F ] ∈ H 1 (H, A) : F ((H, G)) = {0}
(ii) Il existe un morphisme "de transgression" tg tel que la suite
tg
Inf
Res
Inf
0 → H 1 (G/H, A) → H 1 (G, A) → H 1 (H, A)G → H 2 (G/H, A) → H 2 (G, A) soit exacte.
Démonstration.
Notons que l’action introduite passe bien au quotient car si dF = 0, alors d(g.F )(h) =
dF (g.h.g −1 ) = 0.
(i) immédiat
(ii)
Commençons par constuire tg.
Soit s : G/H → G une section continue de G G/H telle que s(e) = e.
On pose pour g ∈ G, π(g) = gs(g mod H)−1 ∈ H
Comme s(e) = e, π(h) = h pour tout h ∈ H et π(hx) = hπ(x) pour tout (h, x) ∈ H × G
Soit maintenant [φ] ∈ H 1 (H, A)G et ψ = d(φ ◦ π) ∈ C 2 (G, A)
On a pour (h, k) ∈ H 2 , (x, y) ∈ G2 ,
ψ(hx, ky)
=
φ ◦ π(hx) + φ ◦ π(ky) − φ ◦ π(hxky)
= φ(hπ(x)) + φ(kπ(y)) − φ(hπ(xky))
=
φ(h) + φ(π(x)) + φ(k) + φ(π(y)) − φ(h) − φ(π(xky))
=
φ ◦ π(x) + φ(k) + φ ◦ π(y) − φ ◦ π(xky)
10
Mais,
φ(π(xky))
= φ(xkys(xy
mod H)−1 )
=
φ(xkx−1 k −1 kxys(xy
mod H)−1 )
=
φ(xkx−1 k −1 ) + φ(h) + φ ◦ π(xy)
=
φ(k) + ψ(xy) car φ est fixe par G donc φ((G, H)) = {0}
d’où ψ(hx, ky) = φ ◦ π(x) + φ ◦ π(y) − φ ◦ π(xy).
Ce qui prouve que ψ(x, y) ne dépend que des classes de x et y mod H, donc que ψ = Inf(t)
pour un unique t ∈ C 2 (G/H, A).
On pose tg(φ) = [t] ∈ H 2 (G/H, A).
Si on avait pris une autre section s0 , on aurait obtenu de même π 0 : g ∈ G 7→ g.s0 (g
mod H)−1 ∈ G, et ψ 0 = d(φ ◦ π 0 ), et enfin t0 ∈ C 2 (G/H, A) tel que Inf(t0 ) = d(ψ 0 )
d’où :
Inf(t − t0 )(x, y)
= φ(π 0 (x).π(x)−1 ) + φ(π(y).π(y)−1 ) − φ(π 0 (xy).π(xy)−1 )
= φ(s(xmodH)s0 (xmodH)−1 ) + φ(s(ymodH)s0 (ymodH)−1 ) − φ(s(xymodH)s0 (xymodH)−1 )
= d(g)(x mod H, y
mod H)
(où g : x ∈ G/H 7→ φ(s(x)s0 (x)−1 ) ∈ A).
On en déduit alors t − t0 = dg, d’où [t] = [t0 ], et d’où l’existence de tg.
Mais comme G → G/H est surjective, il est immédiat que Inf est injective (par exemple dans
sa formule explicite en remarque 3.1). On en tire donc t = t0 .
Inf
Exactitude de 0 → H 1 (G/H, A) → H 1 (G, A).
Il suffit de remarquer que d’après la formule de la remarque 3.1, Inf est injective.
Inf
Res
Exactitude de H 1 (G(H, A)) → H 1 (G, A) → H 1 (H, A)G :
on a
Res ◦ Inf(φ)(h)
=
=
φ(h) par construction de Res et Inf.
φ(eG/H )
=
0
Si φ ∈ H 1 (G, A) et Res(φ) = 0, on a Ker(φ) ⊃ H donc φ se factorise par G G/H d’où
φ ∈ Im(Inf) et l’exactitude.
Res
tg
Exactitude de H 1 (G, A) → H 1 (H, A)G → H 2 (G, A)
Si φ ∈ H 1 (G, A), alors ∀h ∈ H Res(φ)(h) = φ(h), donc Res(φ)(g.h.g −1 .h−1 ) = φ(g) + φ(h) −
φ(g) − φ(h) = 0. Donc Res arrive bien dans H 1 (H, A)G .
Et avec les notations précédentes, ψ(x, y) = d(φ ◦ π)(x, y) = φ ◦ π(x) + φ ◦ π(y) − φ ◦ π(xy)
Mais, φ ◦ π(x) = φ(xs(x)−1 ) = φ(x) − φ(s(x)), car Res(φ) ∈ Hom(H, A).
Donc ψ(x, y) = φ ◦ s(xy) − φ ◦ s(x) − φ ◦ s(y) = d(φ ◦ s(x, y))
D’où ∀(x, y) ∈ (G/H)2 , t(x, y) = d(φ ◦ s)(x, y)
et t ∈ Im(d1,g/H ) d’où tg(φ) = [t] = 0 ∈ H 2 (G/H, A)
donc tg ◦ Res = 0.
Soit φ ∈ H 1 (H, A)G tel que tg(φ) = 0
Alors t = du avec u ∈ C 1 (G/H, A)
11
et ∀x, y ∈ G2 , Inf(du)(x, y) = du(x, y) = d(φ ◦ π)(x, y) = φ ◦ π(x) + φ ◦ π(y) − φ ◦ π(xy).
De manière évidente, Inf(du) = d(Inf u), donc, en posant u0 = Inf(u − φ ◦ π), on a du = 0.
D’où u0 (xy) = u0 (x) + u0 (y), et u0 ∈ H 1 (G, A).
Enfin Res(u0 ) = Res(Inf(u − φ ◦ π)) = −Res(φ ◦ π)
Donc Res(u0 )(h) = −φ(h · s(h)−1 ) = −φ(h)
d’où finalement φ = Res(−u0 ) et Ker(tg) ⊂ Im(Res).
tg
Inf
Exactitude de H 1 (H, A)G → H 2 (G/H, A) → H 2 (G, A)
· Par définition Inf(tg(φ)) = d(φ ◦ π) = 0 ∈ H 2 (G, A), d’où Inf ◦ tg = 0.
· Soit x ∈ Ker(Inf).
x est une classe de cohomologie, donc si x = [f ] on a : ∀g1 , g2 , g3 ∈ G/H, df (g1 , g2 , g3 ) = 0,
c’est-à-dire f (g1 , g2 g3 ) − f (g1 g2 , g3 ) = f (g1 , g2 ) − f (g2 , g3 ).
En faisant g2 = e, on trouve f (g1 , e) = f (e, g3 ) = f (e, e) pour tous g1 , g3 dans G
Comme pour une fonction constante x ∈ G/H → a ∈ A, da vaut aussi a, on peut considérer
f (e, e) comme un élément de Im(d1,G/H ) et donc choisir f tel que ∀g ∈ G/H, f (g, e) = f (e, g) = 0.
On a alors Inf(f ) ∈ Im(d1,G ) (sa classe est 0).
C’est à dire l’existence de g ∈ C 1 (G, A) tel que ∀x, y ∈ G2 , f (x, y) = g(x) + g(y) − g(xy).
On a alors immédiatement ∀x, y ∈ H 2 , g(xy) = g(x) + g(y) (car f (x, y) = 0)
Et si on pose ψ = Res(g), on a donc ψ ∈ H 1 (H, A), et pour (h, x) ∈ H × G,
ψ(hxh−1 x−1 )
=
ψ(h) + ψ(xh−1 x−1 )
=
g(h) + g(x) + g(h−1 x−1 ) − f (x, h−1 x−1 )
= g(h) + g(x) + g(h−1 ) + g(x−1 ) − f (x, h−1 x−1 ) − f (h−1 , x−1 )
= g(x) + g(x−1 ) − f (x, x−1 ) − f (e, x−1 )
= g(xx−1 ) − 0
= g(e) = f (e, e) = 0
Donc ψ s’annule sur (H, G) donc ψ ∈ H 1 (H, A)G
Maintenant, on a pour x dans G :
(g − ψ ◦ π)(x)
= g(x) − ψ(xs(x)−1 )
= g(x) − g(xs(x)−1 )
= g(s(x))
=
Inf(g ◦ s)(x)
Donc dg − dψ ◦ π = d(Infg ◦ s).
Mais dg = Inf(f ) et dψ ◦ π = Inf(t).
Donc Inf(f − t − d(g ◦ s)) = 0.
Et f = t + d(g ◦ s) d’où en passant à la cohomologie : x = tg(ψ), ce qui conclut.
3.4
Cup-produit sur les groupes de cohomologie
On définit ici le cup-produit qui est une application bilinéaire entre groupes de cohomologie
induite naturellement par une application bilinéaire entre les modules respectifs.
12
Définition 3.6. Soient G un groupe profini, A1 , A2 , et A des G-modules et u : A1 × A2 → A
bilinéaire continue.
On définit
u
C p (G, A1 ) × C q (G, A2 ) → C p+q (G, A)
φ1 , φ2 → φ1 ∪ φ2
par : ∀(g1 , ..., gp+q ) ∈ Gp+q , φ1 ∪ φ2 (g1 , ..., gp+q ) = u(φ1 (g1 , ..., gp ), φ2 (gp+1 , ..., gp+q ))
Proposition 3.5. Pour tous φ1 , φ2 , on a : d(φ1 ∪ φ2 ) = dφ1 ∪ φ2 + (−1)p φ1 ∪ dφ2
Démonstration. calcul
Définition 3.7. On peut donc passer à la cohomologie et obtenir le cup-produit H p (G, A1 ) ×
u
H q (G, A2 ) → H p+q (G, A).
4
4.1
Utilisation de la cohomologie des pro-p-groupes
Rôle du premier groupe de cohomologie
Lorsque G est un pro-p-groupe, on notera H i (G) = H i (G, Z/pZ) où G agit trivialement sur
Z/pZ.
On note alors que C n (G, Z/pZ) a une structure d’espace vectoriel sur Z/pZ, et que le cobord
est linéaire. Il s’ensuit donc que les groupes de cohomologie ont une structure de Z/pZ-espaces
vectoriels.
Proposition 4.1. On a H 0 (G) = Z/pZ et H 1 (G) = Hom(G, Z/pZ).
Démonstration. C’est une réecriture de la proposition 3.1
On va tenter de préciser ici le lien entre H 1 (G) et le rang de G, ce qui nous permettra de
montrer que H 1 (G) contient déja des informations précises sur le nombre de générateurs du
groupe G.
Définition 4.1. On appelle rang d’un groupe profini G le nombre minimal (éventuellement
infini) de générateurs nécessaires pour engendrer topologiquement G. On le note rg(G).
Lemme 4.1. Soient G un pro-p-groupe, et G∗ = Gp (G, G), (c’est à dire le sous-groupe fermé
distingué engendré par les g p et les commutateurs). Alors H 1 (G) = H 1 (G/G∗ )
Démonstration. il suffit de voir que tout morphisme G → Z/pZ s’annule sur Gp (G, G) donc se
factorise par G/G∗ .
13
Remarque 4.1. L’intérêt de cette proposition est de montrer qu’on peut ramener le calcul du
premier groupe de cohomologie de G à celui de G/G∗ qui a naturellement une structure de Z/pZespace vectoriel.
Proposition 4.2. Soit G un groupe profini. On a rg(G) = dim(H 1 (G)).
Démonstration.
· Si rg(G) ≤ n, soient g1 , ..., gn engendrant G. On a alors une injection associée Hom(G, Z/pZ) ,→
(Z/pZ)n .
d’où dim(H 1 (G)) ≤ n.
· Si dim(H 1 (G)) ≤ n, posons :
G → H 1 (G/G∗ )∗
Θ:
g → (f ∈ H 1 (G/G∗ ) → f (g) ∈ T
Z/pZ) = evg
Alors Θ est surjective. En effet, on a que
Ker(evg ) = {0}, ce qui est trivial et nous permet de
g∈G
trouver par récurrence g 1 , ..., g n ∈ G/G∗ tels que evg1 , ..., evgn soit une famille libre de H 1 (G/G∗ )∗
donc une base.
Par la proposition déjà vue, on a alors que g1 , ..., gn engendrent G topologiquement.
D’où rg(G) ≤ n.
4.2
Rôle du deuxième groupe de cohomologie
On va maintenant étudier le rôle de H 2 (G). On va voir qu’il nous donne en fait le nombre de
relations nécessaires à engendrer G, dans un sens que l’on précisera.
Définition 4.2. Soit R un sous-groupe fermé distingué d’un groupe G. Alors, on dit que r1 , · · · , rn
engendrent R dans G, si R est le plus petit sous-groupe fermé distingué les contenant. On note
alors R = (r1 , · · · , rn )G .
On appelle alors rang de R dans G le nombre minimal d’éléments d’une famille engendrant
R dans G à ce sens. On le notera rg(R / G).
Remarque 4.2. A priori, il n’y a aucune raison pour que le rang de R dans G soit égal au rang
de R comme groupe. En effet, pour engendrer R dans G avec les ri , on considère des produits
d’éléments de la forme g.ri .g − 1 avec g ∈ G, alors que pour l’engendrer en tant que groupe
seul, on utilise des produits d’éléments de la forme r.ri .r−1 avec r ∈ R. Ceci dit, on remarque
immédiatement alors que rg(R / F (n)) ≤ rg(R).
On montre alors le lemme suivant qui remplace la proposition 2.8 pour cette nouvelle forme
de génération, en faisant de nouveau le lien entre un certain premier groupe de cohomologie et
la génération de R.
Lemme 4.2. Soit R un sous-groupe distingué fermé de G. On fait agir G/R sur H 1 (R/R∗ ) =
H 1 (R) par g · π(x) = π(gxg −1 ) ce qui ne dépend pas du choix du représentant g.
On a alors équivalence entre :
(i) (
r1 , .., rn engendrent R dans G.
(ii)
H 1 (R)G/R
π
θ
→
→
(Z/pZ)n
est injectif.
(π(r1 ), ..., π(rn ))
14
On en déduit alors que rg(R / G) = dim(H 1 (R)G/R )
Démonstration.
•(i) ⇒ (ii)
Si on a (i), on a pour π ∈ Ker(θ), π(r1 ) = ... = π(rn ) = 0
Comme π est fixe par G/R, on a que π(xri x−1 ) = π(ri ) = 0, ∀x ∈ R.
Par continuité, on a π = 0.
•(ii) ⇒ (i)
Soit R0 le groupe fermé distingué engendré par les ri .
i
φ
On a R0 ,→ R d’où H 1 (R) → H 1 (R0 ) et H 1 (R)F → H 1 (R0 )F
Par hypothèse, comme π(R0 ) = 0 ⇒ π(R) = 0 (car (r1 , ..., rn ) ∈ R0n ), φ est injectif.
Si on avait R0 ( R, on pourrait trouver π : R/H → Z/pZ non nul s’annulant sur R0 /H avec H
ouvert distingué (même méthode que pour le dernier point de la démonstration de la proposition
2.8.).
D’où π ∈ Ker(φ). D’où R0 = R.
L’égalité annoncé résulte alors du même raisonnement qu’en proposition 4.2.
Lemme 4.3. H 2 (F (n)) = {0}
Démonstration. On va admettre ce point. Il résulte d’une étude du lien entre les extensions de
F (n) par Z/pZ, et du fait que toute extension de ce type est scindée (i.e. admet une section
continue.).
On montre alors la proposition suivante qui est le résultat centrale de cette sous-section, car
elle permet d’établir un lien entre tous les entiers précedemment introduits.
Proposition 4.3. Soit R / F (n) fermé et G = F (n)/R.
rg(R / F (n)) = r < ∞ ⇔ dim(H 2 (G)) < ∞
Si c’est le cas, r = n − dim(H 1 (G)) + dim(H 2 (G))
Démonstration.
On écrit notre suite d’inflation restriction :
tg
Inf
Res
Inf
0 → H 1 (G) → H 1 (F (n)) = (Z/pZ)n → H 1 (R)G → H 2 (G) → 0 = H 2 (F (n))
On a (Z/pZ)n → H 1 (R)G H 2 (G) → 0 ce qui prouve que si dim(H 1 (R)G ) < ∞, dim(H 2 (G)) <
∞
et que si dim(H 2 (G)) = h2 < ∞, alors dim(H 1 (R)G ) ≤ n − h2 donc rg(R / G) < ∞
De plus, dans le cas où ces nombres sont finis, on a, par théorème du rang :
rg(Inf 1 ) = dim(H 1 (G)) = dim(Ker(Res))
= n − rg(Res) = n − (dim(H 1 (R)G ) − rg(tg)) = n − dim(H 1 (G)) + dim(H 2 (G))
Proposition 4.4. Soit G un groupe profini tel que dim(H 1 (G)) = n < ∞ et dim(H 2 (G)) =
m<∞
Alors on a la présentation 0 → R → F (n) → G → 0 où rg(R) = m.
15
Démonstration. cas où n = dim(H 1 (G))
Ce résultat permet donc de montrer que dim(H 2 (G)) donne, d’un certain point de vue, le
nombre de relations nécessaires à définir G avec son nombre minimal de générateurs n.
4.3
Morphisme de H 2 (G) dans Z/pZ lié à une relation
On va maintenant introduire des morphismes particuliers, qui nous permettrons d’identifier
H 2 (G) à Z/pZ, lorsque ceux-ci sont isomorphes.
Définition 4.3. Soit G un groupe profini tel que dim(H 1 (G)) = n < ∞ et dim(H 2 (G)) = m <
∞, et soit la présentation 0 → R → F (n) → G → 0 de la proposition 4.4.. Alors :
tg
– H 1 (R)G → H 2 (G) est un isomorphisme.
2
H (G) → Z/pZ
– Pour r ∈ R (que l’on appellera plus tard relation), on définit alors r :
a → tg−1 (a)(r)
En particulier, on voit que si m = 1, r est soit nul soit un isomorphisme.
Démonstration. On remarque que la première fléche de la suite d’inflation restriction est un
isomorphisme, donc la seconde est nulle et la troisième est injective.
5
5.1
Groupes de Demuškin
Premières propriétés, invariants et objectifs
Définition 5.1. On dit qu’un pro-p-groupe G est un groupe de Demuškin si :
(i) dim(H 2 (G)) = 1
(ii) dim(H 1 (G)) = n < ∞ et le cup-produit H 1 (G)×H 1 (G) → H 2 (G) ∼
= Z/pZ est non dégénéré.
Proposition 5.1. Soit G un groupe de Demǔskin. Alors :
– rg(G) = n.
– G∼
= F (n)/R avec R = (r)F (n) engendré par une seule relation (que l’on fixe désormais)
comme sous-groupe fermé distingué de F (n).
– G/(G, G) ≡ (Zp )n−1 × (Zp /qZp ) pour un unique entier q.
Démonstration. Comme G = F (n)/(r), on a que G/(G, G) = (F (n)/(F (n), F (n)))/R0 où R0
est le sous-groupe fermé distingué de F (n)/(F (n), F (n)) engendré par la classe de r. Comme
F (n)/(F (n), F (n)) ∼
= Znp , on a que R0 est le sous-groupe fermé engendré par un élément, donc
est isomorphe à Zp . On en déduit le résultat.
16
Définition 5.2. On dit qu’un groupe de Demuškin G est d’invariants (n, q) si n = rg(G) et si
G/(G, G) = Zn−1
× Zp /qZp .
p
Par la définition 4.3, r(défini en proposition 5.1) induit un isomorphisme r qui nous servira à
identifier H 2 (G) à Z/pZ.
On veut arriver au théorème suivant :
Théorème 5.1. Soit G un groupe de Demuškin d’invariants (n, q) avec q 6= 2
q
Alors G ∼
= F (n)/ hx1 (x1 , x2 )(x3 , x4 )...(xn−1 , xn )i
Ou de manière plus précise :
Théorème 5.2. Soit r ∈ F (n), et soient R = (r) et G = F (n)/R.
Si G est un groupe de Demuškin d’invariants (n, q), où q 6= 2, il existe un système générateur
(x1 , ..., xn ) de F (n) tel que r = xq1 (x1 , x2 )...(xn−1 , xn ).
5.2
Quelques objets utiles à la démonstration
Pour démontrer le théorème annoncé, nous allons avoir besoin de certaines définitions supplémentaires sur lesquelles nous passerons rapidement.
Définition 5.3. On appelle algèbre de Lie sur un anneau R une R-module A muni d’ une
application bilinéaire [·, ·] : A × A 7→ A telle que :
– ∀x ∈ A, [x, x] = 0.
– ∀x, y, z ∈ A, [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0. (identité de Jacobi). L
On appelle algèbre de Lie graduée, une algèbre de Lie de la forme A =
Ai où [Ai , Aj ] ⊂
i≥0
Ai+j .
Définition 5.4. On appelle algèbre de Magnus A en t1 , ..., tn l’algèbre associative et non commutative des séries formelles en n lettres t1 , ..., tn et à coefficients dans Zp , munie de la topologie
de la convergence simple des coefficients.
Si x ∈ A, et I = {i1 , · · · , in }, on notera aI (x) le coefficient de ti1 · · · tin dans x.
En particulier, comme toute algèbre associative, l’algèbre de Magnus est munie d’une structure d’algèbre de Lie grâce au crochet donné par la formule [x, y] = xy − yx. On va maintenant
y plonger notre pro-p-groupe libre F (n).
Proposition 5.2. On note UA l’ensemble des éléments de A de terme constant égal à 1.
Alors UA est un groupe compact, et même un pro-p-groupe.
Il existe donc un morphisme continu : F (n) 7→ UA envoyant les xi sur les 1 + ti .
De plus, est injectif, donc permet d’identifier F (n) à un sous-groupe de UA .
17
Démonstration.
Montrons que UA est un sous-groupe de A∗ .
Soit 1 + x ∈ UA .
∞
P
(−x)n qui converge (car les coefficients de chaque ti1 , ..., tin sont constants à
On pose y =
n=0
partir d’un certain rang).
Alors xy = yx = 1, et y ∈ UA . De plus, UA est évidemment stable par produit, et contient 1,
donc c’est un sous-groupe de A∗ .
UA est un fermé de A, car c’est le noyau de l’application qui à un élément de A associe son
terme constant, et que celle-ci est continue par définition de la convergence simple. De plus,
A s’identifie à un produit de copies de Zp muni de la topologie produit, donc est compact par
Tychonov. On a alors bien la compacité de UA .
Notons que A est totalement discontinu comme produit d’espaces totalement discontinus,
donc UA l’est encore.
Par application de la proposition 2.3, on a alors que UA est un groupe profini, et même un prop-groupe (ce point étant admis). On a vu, en proposition 2.7, qu’il existait alors : F (n) → UA
envoyant les xi sur les 1 + ti .
On admet l’injectivité de ce morphisme (expliquée dans la thèse de Lazard [4]).
Définition 5.5. Soit q = pr .
On définit pour x ∈ A, v(x) = inf{vq (ai1 ,i2 ,...,ip ) + i1 + ...ip } où vq (x) désigne la valuation
q−adique de x, c’est à dire la plus grande puissance de q divisant x, et on pose Gm = {x ∈ UA :
v(x − 1) ≥ m}.
On va maintenant démontrer quelques propriétés sur v, qui nous serons utiles par la suite.
Lemme 5.1. On a les formules suivantes sur la valuation v :
– (i) : Pour x et y dans A, v(x + y) ≥ inf(v(x), v(y))
– (ii) : Pour tous x et y dans A, on a v(xy) = v(x) + v(y), donc v([x, y]) ≥ v(x) + v(y)
– (iii) : Pour α dans Zp et x ∈ A, v(αx) = v(x) + vq (α), donc si α ∧ p = 1, v(αx) = v(x)
– (iv) : v((g) − 1) ≥ 1 pour tout g ∈ F (n).
– (v) : v((gh−1 ) − (g) + (h) − 1) ≥ inf(v((g) − 1), v((h) − 1)) + 1 pour tous g, h dans F (n)
– (vi) : ∀g, h ∈ F (n), v(((g, h)) − 1 − [(g) − 1, (h) − 1]) ≥ v((g) − 1) + v((h) − 1) + 1.
Démonstration.
(i) immédiat
(ii) immédiat
(iii) conséquence de (ii).
(iv) il suffit de remarquer que ∀a ∈ UA , v(a − 1) ≥ 1.
(v) Posons (g) = 1 + a, (h) = 1 + b, (gh−1 ) = 1 + c, (g −1 ) = 1 + a0 , (h−1 ) =
1 + b0 , ((g, h)) = 1 + d
On a (1 + a)(1 + a0 ) = 0 donc a + a0 + aa0 = 0 et v(a0 ) + v(1 + a) = v(−a) = v(a)
De même v(b0 ) = v(b).
On a c = a + b0 + ab0 = a − b − bb0 + ab0 et c = (a − b)(1 + b0 )
18
d’où (gh−1 ) − (g) + (h) − 1 = c − a + b = (a − b)b0
Et v((gh−1 ) − (g) + (h) − 1) = v(a − b) + v(b0 ) ≥ inf(v(a), v(b)) + 1.
(vi) : ((g, h)) − [(g) − 1, (h) − 1] = d − ab + ba.
Mais d = ab − ba + abb0 − baa0 + ba0 b0 + aba0 b0
Donc d − ab + ba = abb0 − baa0 + ba0 b0 + aba0 b0 .
Et finalement
v(((g, h)) − 1 − [(g) − 1, (h) − 1])
≥
inf (v(abb0 ), v(baa0 ), v(ba0 b), v(aba0 b0 ))
≥
v(a) + v(b) + 1
≥
v((g) − 1) + v((h) − 1) + 1
Ce qui conclut.
De ces propriétés, on va déduire des informations sur une suite de sous-groupes de F (n), que
voici.
Proposition 5.3. Pour m ≥ 1, on pose Fm = −1 (Gn ).
On définit ainsi une suite de sous-groupes fermés de F (n) vérifiant :
– Fm+1 ⊂ Fm ⊂ · · · F1 = F (n)
– (F
Tm , Fp ) ⊂ Fm+p
–
Fn = {1}
n≥0
Démonstration. Si g, h ∈ Fm , on a :
v((gh−1 ) − 1)
=
v((g) − (h)) − v((h))
=
v((g) − (h))
≥
inf(v((g) − 1), v((h) − 1))
≥
m
Donc g.h−1 ∈ Fm , et Fm est un sous-groupe de F (n). Il est fermé car Gm l’est aussi de
manière évidente.
Si (g, h) ∈ Fm × Fp , on a :
v(((g, h)) − 1) ≥
inf(v(((g, h)) − 1 − [(g) − 1, (h) − 1]), v([(g) − 1, (h) − 1]))
≥
inf(v((g) − 1) + v((h) − 1) + 1, v((g) − 1) + v((h) − 1))
≥
m+p
On a trivialement Fm+1 ⊂TFm et F1 = F (n) donc (Fm , F (n)) = Fm+1 ⊂ Fm et Fm / F (n).
Fn , v((x) − 1) = +∞, d’où immédiatement (x) = 1, et x = 1.
Enfin, on a que si x ∈
n≥0
On va désormais énoncer la propriété qui va nous permettre d’utiliser les Fn ainsi introduits
pour étudier F (n).
q
Proposition 5.4. On a : ∀m ≥ 1, Fm+1 = Fm
(F, Fm )
19
Démonstration.
Montrons Gqm .(UA , Gm ) ⊂ Gm+1 . Notons que le groupe de gauche est, par définition, engendré
par les éléments de la forme (1 + y)q .(1 + z, 1 + t) avec y et t dans Gn et z dans UA en tant que
sous-groupe fermé distingué de UA . Il suffit donc de montrer que ceux-ci sont dans Gn+1 , qui est
fermé et distingué pour conclure.
Si 1 + x = (1 + y)q (1 + z, 1 + t) avec v(t), v(y) ≥ n :
v(x)
=
v((1 + y)q (1 + z)(1 + t)(1 + z)−1 (1 + t)−1 − 1)
=
v((1 + y)q (1 + z)(1 + t) − (1 + t)(1 + z))
q X
q k
v([1 + z, 1 + t] +
y (1 + z)(1 + t))
k
=
k=1
Donc,
v(x) ≥ inf(v([1 + z : 1 + t]), v(
q X
q
k=1
≥
≥
≥
≥
q X
k
y k (1 + z)(1 + t)))
q k
y ))
k
k=1
q k
y ))
inf(n + 1; inf v(
k=1...q
k
q
inf(n + 1; inf (vq ((
)) + kv(y)))
k=1...q
k
inf(n + 1, inf (1 + kn)) ≥ n + 1.
inf(n + 1; v(
k=1...q
D’où Fnq (F, Fn ) ⊂ Fn+1
On admettra l’inclusion inverse qui résulte du travail de Lazard pour montrer que tout élément
s’écrit en produit infini d’éléments zi des Fi .
Nous allons introduire l’objet principal qui nous servira pour démontrer le théorème recherché
sur la structure des groupes de Demǔskin. On considère pour cela la filtration Fn introduite ciavant, et on forme les quotients successifs Fn /Fn+1 , puis leur somme directe. C’est-à-dire :
Définition 5.6. On pose gri (F ) = Fi /Fi+1 et gr(F ) =
∞
L
gri (F ).
i=1
On a, comme (Fi , Fj ) ⊂ Fi+j et Fi /Fi+1 est abélien et annulé par q, que gr(F ) a une structure
d’algèbre de Lie graduée sur Z/qZ.
Proposition 5.5.Soit q 6= 2.
F → F
(i) Notons πinit :
x → xq
20
Alors πinit induit un morphisme πi : gri (F ) → gri+1 (F ) puis un morphisme π : gr(F ) →
gr(F ).
(ii) Il existe alors une structure d’algèbre de Lie sur Z/qZ[π] de gr(F ).
Démonstration.
(i)on a πinit (Fi ) ⊂ Fi+1
πinit
Fi+1 → Fi+1 /Fi+2 s’annule sur Fi+1 ⊂ Fi
Donc Fi →
π
D’où en passant au quotient : Fi /Fi+1 →i Fi+1 /Fi+2 .
(ii) On note x, la classe de x dans gri (F ) lorsque x ∈ Fi . On a alors pour x, y dans gri (F ) :
πi (x + y)
=
π(x + y)
=
(xy)q
=
xq + y q , car Fi /Fi+1 abélien.
=
πi (x) + πi (y) d’où le fait que πi soit un morphisme.
On pose π k · x = π k (x) et on définit ainsi une structure de module sur Z/qZ[π].
Reste à montrer [π · x, y] = π · [x, y], c’est à dire que (xq , y) = (x, y)q mod (Fi+j+2 ) pour
(x, y) ∈ Fi × Fj .
Notons que en général, ∀(x, y, z) ∈ F 3 , (xy, z) = (x, (y, z))(y, z)(x, z), donc si (x, y) ∈ Fi × Fj ,
on a :
(xn , y)
=
(x, y)n
=
n
(x, y)
mod (Fi , (Fi , Fj ))
mod F2i+j
Si i ≥ 2, on a donc le résultat recherché. Si i = 1, par une autre récurrence, on trouve :
n
(xn , y) = (x, (x, y))( 2 ) (x, y)n mod (Fj+3 )
Comme q 6= 2, on a : 2q ≡ 0[q]
q
et donc (x, (x, y))(2) ∈ (Fi , (Fi , Fj ))q ⊂ Fj+3 .
D’où encore (xn , y) = (x, y)n mod (Fj+3 ).
Et donc on a finalement π · [x, y] = [π · x, y].
Par symétrie π · [x, y] = [x, π · y] également, donc le crochet est Z/qZ[π]−bilinéaire.
Donc gr(F ) est une Z/qZ[π]-algèbre de Lie.
Définition 5.7. Soit R un anneau commutatif unitaire. On appelle R-algèbre de Lie libre sur
un ensemble X une algèbre de Lie L(X) vérifiant la propriété universelle :
X
/ L0 R − algèbre de Lie
6
L(X)
C’est à dire la donnée d’une algèbre de Lie L(X) et d’une application i : X 7→ L(X), tels que
toute application f de X dans une algèbre de Lie L0 induise un unique morphisme d’algèbres de
Lie de L(X) dans L0 tel que f˜(i(x)) = f (x) pour tout x ∈ X.
21
Proposition 5.6. (i) L(X) est unique à unique isomorphisme près.
(ii) L(X) est engendré par les
([x1 , [x2 , [x3 , ...[xn−1 , xn ]]...] : (x1 , ..., xn ) ∈ X (N) ) en tant que R−module.
Démonstration.
(i) Si L(X) et L0 (X) sont deux solutions, on a :
/ L(X)
;
X
f
g
{
L (X)
0
f ◦ g = IdL(X)
g ◦ f = IdL0 (X)
(ii) Résulte de la construction explicite de l’Algèbre de Lie libre : par exemple, dans [?]
et par unicité dans la proposition universelle
Nous admettrons pour notre part qu’on a alors qu’on a le résultat suivant :
Proposition 5.7. gr(F ) est la Z/qZ[π]-algèbre de Lie libre sur (y1 , · · · , yn ) où yi = xi mod F2 .
On a une graduation donnée par le fait que π et les yi sont de degré 1.
5.3
Expression de la relation définissant un groupe de Demǔskin
On va maintenant essayer de déterminer la forme de notre relation r.
Lemme 5.2.
P Soit r laPrelation définie en définition 5.2 . Alors r est un élément de F2 . Par
ai π.yi +
bj,k [yj ; yk ] pour certains entiers modulo q (où r désigne la classe de r
suite, r =
j<k
dans F2 /F3 = gr2 (F )).
P
∼
Démonstration. Écrivons r mod F2 =
ai .yi . En regardant r dans Fa = F (n)/(F (n), F (n)) =
n
(Zp ) , on trouve (c1 , · · · , cn ), avec ai = ci mod q.
Comme le quotient Fa /(c1 , · · · , cn ) contient un élément d’ordre q, il faut pgcd(c1 , · · · , cn ) ∈
qZ, ce qui donne que les ai sont nuls. Donc r ∈ F2 .
On peut alors bien définir r ∈ gr2 (F ), qui s’écrit par la proposition 5.6 sur les éléments du
système générateur de degré 2, c’est à dire les [yi , yj ] et les πyi .
On pose de plus bi,i = 0 et bj,i = −bi,j , sij < i, et on définit ainsi une matrice antisymétrique
B ∈ Mn (Z/qZ).
Proposition 5.8. Avec les notations précédentes, les ai sont premiers entre eux dans leur ensemble, et la réduction modulo p de B est la matrice du cup-produit dans la base canonique de
H 1 (G) = Hom(G, Z/pZ), donc est inversible.
Alors B est inversible, et n = 2m est pair.
Démonstration. On a vu que G/(G, G) avait un sous-groupe de torsion d’ordre q et aucun d’ordre
plus grand. Comme l’image de r dans F (n)/(F (n), F (n)) ∼
= (Zp )n est r0 = (q.a01 , · · · , qa0n ) où
0
0
0
ai = ai mod q, si on note d = pgcd(a1 , · · · , an ), on a un sous-groupe de torsion de G/(G, G)
a0
a0
d’ordre qd, engendré par la classe modulo r0 de ( d1 , · · · , dn ). Il s’ensuit donc que d = 1.
22
Posons χi l’élément de H 1 (G) envoyant xj sur δi,j .
Alors, χi ∪ χj (x, y) = χi (x)χj (y) On a : Inf(χi ∪ χj ) ∈ H 2 (F (n)) = {0} Donc il existe une
cochaîne u ∈ C 1 (F (n), Fp ), telle que du(x, y) = χi (x)χj (y). On a alors : u(xy) = u(x) + u(y) −
χi (x)χj (y) On peut choisir u s’annulant sur les xi , quitte à retrancher un homomorphisme de
F (n) dans Z/pZ.
On remarque ensuite que tg(Res(u)) = χi ∪ χj (on restreint à R = (r)).
Inf
Res
On rappelle la suite exacte d’inflation-restriction-transgression : 0 → H 1 (G) →1 H 1 (F (n)) →
F (n) tg
Inf2
H 1 (G)
→ H 2 (G) → H 2 (F (n)) = 0
Comme H 1 (F (n)) = H 1 (G), on a la bijectivité de tg : la première flèche est surjective donc
la deuxième est nulle, et la troisième est injective. De plus, Inf 2 = 0, d’où la surjectivité.
Donc tg− 1(χi ∪ χj ) = u|R
Or, par la définition 5.2, on reconnait ici l’isomorphisme r entre H 2 (G) et Z/pZ.
On a alors montré en fait que r(χi ∪χj ) = −u(r). On remarque que u s’annule nécessairement
surQF3 , (car
sur F2 , c’est un morphisme dans Z/pZ, et que F3 ⊂ F2∗ ). Donc on a u(r) =
q.ai Q
(xi , xj )bi,j ), d’après le lemme 5.0.6.
u( xi
i<j
On calcule ensuite que u((xk , xl )) = δi,l δj,k − δi,k δj,l et


bi,j mod p
r(χi ∪ χj ) = 0


−bj,i mod p
donc finalement, on obtient :
si i <j
si i = j
sinon
ce qui prouve exactement que la matrice du cup-produit dans la base des χi est la matrice
des (bi,j mod p).
Comme le cup-produit est non-dégénéré, cette matrice est alors inversible.
Donc det(B) ∧ p = 1, et on a det(B) ∧ q = 1, donc B est également inversible.
Proposition 5.9.
En appliquant une transformation linéaire bien choisie, on obtient alors :
m
P
Il existe un autre sytème générateur de F (n) tel que r = π.y1 +
[y2i−1 , y2i ]
i=1
Démonstration. SoitPM ∈ GLn (Z/qZ) une transformation linéaire et posons yi0 = (M −1 .Y )i .
n
On a alors yi = j=1 mi,j yj0 .
Avant toute chose calculons [yi , yj ]. On a :
[yi , yj ]
=
[
n
X
mi,k .yk0 ,
k=1
mi,l .yl0 ]
l=1
n X
n
X
=
n
X
mi,k .mj,l .[yk0 , yl0 ]
k=1 l=1
Donc
n
X
bi,j [yi ; yj ]
=
i<j
n
n
n
1 XXXX
mi,k mj,l bi,j [yk0 , yl0 ]
2 i=1 j=1
k=1 l=1
=
1
2
n X
n
X
k=1 l=1
23
[tM.B.M ]k,l [yk0 , yl0 ]
De plus :
n
P
ai πyi = π.
i=1
n P
n
P
i=1 j=1
ai mi,j yj0 =
n
P
j=1
[tM.A]j πyj0
On est donc ramené 
à trouver M inversible telle que
 :
J0 0
0 ··· 0
 
1
 0 J0

0
·
·
·
0



0


.
.
..
..
..

..
..
t
 et J0 = 0 1 , tM A = 
.
.
.
M BM = J où J = 

.. 


−1
0

.
.

 .. · · · · · ·
0 J0 0 
0
0 ··· ···
0
0 J0
Comme les ai sont premiers entre eux dans leur ensemble, il est très aisé
de trouver M0
 
1
0
 
vérifiant la seconde condition. Il s’agit ensuite de trouver M1 stabilisant  .  et telle que
 .. 
0
M1 (tM0 BM0 )M1 = J, ce qui est possible, car B définit une forme alternée non dégénerée.
t
On va enfin montrer par récurrence le résultat suivant, qui va nous permettre de construire
notre système générateur final par approximations successives.
Proposition 5.10.
Pour tout entier k ≥ 3, il existe un choix de générateurs de F (n) tel que r ≡ xq1
m
Q
(x2i−1 , x2i )
i=1
mod Fk .
Démonstration. Pour k = 3, ceci résulte de la propriété que l’on vient de démontrer.
Supposons des générateurs (xi ) solutions pour k et prenons c = (c1 , · · · , cn ) ∈ Fk−1 , et posons
m
Q
pour tout x = (x1 , · · · , xn ), r0 (x) = xq1
(x2i−1 , x2i )
i=1
On pose alors xi = ci .x0i , et on peut définir d(c) par :
m
m
Q
Q
r0 (x) = xq1
(x2i−1 , x2i ) = (c1 .x01 )q
(c2i−1 .x02i−1 , c2i .x02i ) = d(c).r0 (x0 )
i=1
i=1
On voit alors directement que d(c) est dans Fk et que son image dans grk (F ) est donnée par :
m
m
P
P
d(c) = cq1 +
([c2i−1 , y2i ] + [y2i−1 , c2i ]) = πc1 +
([c2i−1 , y2i ] + [y2i−1 , c2i ])
i=1
i=1
Comme r ≡ r0 (x) mod Fk , on a r = t.r0 (x) avec t ∈ Fk .
La formule de d(c) montre la surjectivité de (c ∈ grk−1 (F ) 7→ d(c) ∈ grk (F )), donc on peut
trouver c ∈ Fk−1 tel que d(c) ≡ t−1 mod Fk+1 .
On a alors r ≡ d(c)−1 r0 (x) mod Fk+1 , c’est à dire exactement r ≡ r0 (x0 ) mod Fk+1 , ce qui
était la relation attendue.
Notons que les x0i engendrent encore F (n). En effet, les yi0 associés forment encore une base
de gr1 (F ), dont on tire un système générateur de gr(F ) (comme en proposition 5.6). Si g ∈ F (n),
on peut alors écrire l’image de g dans gr(F ) sur ce système générateur, et en déduire g comme
composé des x0i et de crochets en les x0i .
On va maintenant formaliser le "passage à la limite" permettant de construire le système
générateur initialement recherché, par les itérations successives que nous venons de présenter.
Il s’agit en fait tout simplement d’utiliser les résultats de la partie 2 à la filtration (Fk )k≥1 du
groupe F (n).
24
(k)
(k)
(k+1)
Proposition 5.11. Si on note (x1 , · · · , xn ) les générateurs à l’étape k, et xi
(k)
(k)
avec ci ∈ Fk−1 , alors la suite des (xi )k≥3 converge pour tout i.
(k)
(k)
= ci .xi
Démonstration. Il s’agit d’une application directe de la remarque 2.3.
Théorème 5.3. Dans le système générateur obtenu ainsi, on a alors r = xq1 (x1 , x2 ).(x3 , x4 ) · · · (xn−1 , xn )
(k)
(k)
Démonstration. En effet, notons xi = lim xi . On a xi ≡ xi
mod Fk−1 , donc on a immék
m
Q
diatemment que r ≡ xq1
(x2i−1 , x2i ) mod Fk , et ce pour tout entier k ≥ 3. On en tire alors
i=1
imméditatement que r = xq1
m
Q
(x2i−1 , x2i ), par exemple en appliquant toujours la remarque 2.3
i=1
et le caractère séparé de F (n).
Remarque 5.1. On a donc bien prouvé le théorème attendu. On peut remarquer que la parité
de n résulte du fait que le cup-produit induit, comme on l’a vu au cours de la démonstration,
une forme bilinéaire alternée sur H 1 (G) et que si n était impair, ceci impliquerait qu’elle soit
dégénérée.
6
Annexe : démonstration de la suite exacte longue de
cohomologie
On démontre ici le résultat de la proposition 3.3, sur lequel nous étions passé rapidement en
premier lieu.
Démonstration.
Lemme 6.1.
0
/ C n−1 (G, A)
in−1
dn−1
0
/ C n (G, A)
0
pn−1
dn−1
in
dn
/ C n+1 (G, A)
/ C n−1 (G, B)
/ C n (G, B)
in+1
/0
dn−1
pn
dn
/ C n+1 (G, B)
/ C n−1 (G, C)
/ C n (G, C)
/0
dn
pn+1
/ C n+1 (G, C)
/0
est commutatif à lignes exactes
Démonstration. La commutativité est immédiate.
Pour l’exactitude :
•Ker(in ) = {φ : Gn → B, i ◦ φ = 0}
= {φ : Gn → B, ∀(g1 , ..., gn ), φ(g1 , ..., gn ) ∈ Ker(i) = {0}}
= {0}
•pn ◦ in = 0 car p ◦ i = 0.
• Si pn (φ) = 0, ∀(g1 , ..., gn ) ∈ Gn , φ(g1 , ..., gn ) ∈ Ker(p) = Im(i)
⇒ ∃ψ, φ(g1 , ..., gn ) = i(ψ(g1 , ..., gn ))
Mais i : A → i(A) est un isomorphisme bicontinu car A et i(A) sont discrets, donc ψ = i−1 ◦ φ
25
est continu, et φ = in (ψ)
d’où Ker(pn ) ⊂ Im(in ) et l’exactitude en C n (G, B)
• Reste la surjectivité de pn
Soit donc φ ∈ C n (G, C) et soit s : C → B une section de 0 → A → B → C → 0 ; s est continue
car C est discret.
Posons ψ = s ◦ φ. Alors ψ ∈ C n (G, B) et pn (ψ) = φ donc Im(pn ) = C n (G, C)
On a bien prouvé que 0 → C n (G, A) → C n (G, B) → C n (G, C) → 0 est exacte
Lemme 6.2. On pose B n (G, X) = Im(dn−1,X ) et Z n+1 (G, X) = Ker(dn−1,X ), où X ∈
{A, B, C}.
Alors,
i0
C n−1 (G, A)/B n (G, A)
∂n,A
0
/ C n−1 (G, B)/B n (G, B)
p0
∂n,B
/ Z n+1 (G, A)
i00
/ Z n+1 (G, B)
/ C n−1 (G, C)/B n (G, C)
/0
∂n,C
p00
/ Z n+1 (G, C)
peut être construit naturellement à partir du diagramme précédent. Il est encore à lignes exactes.
Démonstration. Comme B n (G, A) ⊂ Ker(dn,A ) et Im(dn,A ) ⊂ Z n+1 (G, A), on a naturellement
un ∂n,A induit.
i
n
On a clairement que C n (G, A) →
C n (G, B) C n (G, B)/B n (G, B) s’annule sur B n (G, A) (car le
diagramme du lemme 1 commute) ce qui définit i0 et similairement p0 .
On a nettement p0 ◦ i0 = 0
On a
pn
/ / C n (G, C) πC / / C n (G, C)/B n (G, C)
C n (G, B)
2
0
πB
p
C n (G, B)/B n (G, B)
d’où la surjectivité de p0 .
,→ Montrons Ker(p0 ) ⊂ Im(i0 )
Soit x ∈ Ker(p0 ) et x0 ∈ C n (G, B) tq πB (x0 ) = x
On a p0 ◦ πB (x0 ) = 0 donc πC (pn (x0 )) = 0 et pn (x0 ) ∈ B n (G, x)
d’où pn (x0 ) = dn−1,C (φ), avec φ ∈ C n−1 (G, C)
comme pn−1 surjective, pn (x0 ) = dn−1,C (pn−1 (ψ)) = pn (dn−1,B (ψ)), avec ψ ∈ C n−1 (G, B)
D’où x0 − dn−1,B (ψ) ∈ Ker(pn ) et x0 − dn−1,B (ψ) = in (y), y ∈ C n (G, A)
donc x = πB (x0 ) = πB ◦ in (y) = i0 (y), avec y ∈ C n (G, A)/B n (G, A), d’où l’exactitude de la
première ligne.
Celle de la ligne du bas est évidente en Z n+1 (G, A).
,→ Montrons donc le seul point non trivial, à savoir que : Ker(p00 ) ⊂ Im(i00 )
Soit x ∈ Z n+1 (G, B) tq p00 (x) = 0. On a Z n+1 (G, B) ⊂ C n+1 (G, B)
donc, pn+1 (x) = 0 et x = in+1 (y), avec y ∈ C n+1 (G, A)
Comme in+2 ◦ dn+1,A (y) = dn+1,B ◦ in+1 (y) = dn+1,B (x) = 0, on a, par injectivité de in+2 que
dn+1 (y) = 0 et que y ∈ Z n+1 (G, A) d’où x = i00 (y)
26
En appliquant le lemme du serpent au diagramme du lemme 2, on en déduit une suite exacte :
δ
Ker(∂n,A ) → Ker(∂n,B ) → Ker(∂n,C ) → Coker(∂n,A ) → Coker(∂n,B ) → Coker(∂n,C )
On
voit alors immédiatement que :
Ker(∂n,· ) = Ker(dn,· )/Im(dn−1,· ) = H n (G, ·)
Coker(∂n,· ) = Ker(dn+1,· )/Im(dn,· ) = H n+1 (G, ·)
δ
D’où la suite exacte H n (G, A) → H n (G, B) → H n (G, C) → H n+1 (G, A) → H n+1 (G, B) →
H n+1 (G, C), ce qui conclut.
7
Bibliographie
Références
[1] N. Bourbaki. Éléments de mathématique. Algèbre. Chapitres 1 à 3. Hermann, Paris, 1970.
[2] N. Bourbaki. Éléments de mathématique. Fasc. XXXVII. Groupes et algèbres de Lie. Chapitre
II : Algèbres de Lie libres. Chapitre III : Groupes de Lie. Hermann, Paris, 1972. Actualités
Scientifiques et Industrielles, No. 1349.
[3] John Paul Labute. CLASSIFICATION OF DEMUSHKIN GROUPS. ProQuest LLC, Ann
Arbor, MI, 1965. Thesis (Ph.D.)–Harvard University.
[4] Michel Lazard. Sur les groupes nilpotents et les anneaux de Lie. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup.
(3), 71 :101–190, 1954.
[5] Jean-Pierre Serre. Structure de certains pro-p-groupes (d’après Demuškin). In Séminaire
Bourbaki, Vol. 8, pages Exp. No. 252, 145–155. Soc. Math. France, Paris, 1995.
27