4.5 Exercices sur le chapitre 4

4.5. Exercices sur le chapitre 4
Preuve. On consid`ere l’application suivante :
θ:Z/pqZ→Z/pZ×Z/qZ
m(mod pq)7→ (m(mod p), m(mod q))
Cette application est bien d´efinie : si m≡m′(mod pq) alors m=m′+pqk
pour k∈Zdonc m≡m′(mod p) et m≡m′(mod q). Φ est clairement un
homomorphisme de groupes. Il est injectif car si m≡0(mod p) alors m= 0
ou pdivise met si m≡0(mod q) alors m= 0 ou qdivise m. Comme pet q
sont premiers entre eux, on a m= 0 ou pq divise mdonc m≡0(mod pq).
On conclut que θest un isomorphisme en remarquant que les ordres des deux
groupes sont les mˆemes.
Ce th´eor`eme correspond bien au th´eor`eme 2.3.5 dans le sens o`u dire que
le morphisme θest surjectif revient ´enoncer le th´eor`eme 2.3.5 dans le cas
n= 2 (ce qui est suffisant pour prouver le th´eor`eme en toute g´en´eralit´e).
4.5 Exercices sur le chapitre 4
Exercice 1 :
Soit G=SL2(R) le sous-groupe de GL2(R) des matrices de d´eterminant 1.
On consid`ere les sous-groupes Het Kde Gengendr´es respectivement par
0 1
−1 0 et 1 1
0 1 
D´eterminer les ´el´ements des ensembles de classes G/H,H\G,G/K,K\G.
Exercice 2 :
Montrer que si Het Ksont deux sous-groupes de Get si Hest distingu´e
dans Galors HK est un sous-groupe de G.
Exercice 3 :
Soit Gun groupe et Hun sous-groupe. On suppose que le produit de deux
classes `a gauche modulo Hest une classe `a gauche modulo H. Montrer que
Hest distingu´e dans G.
Exercice 4 :
1. Montrer que Zest distingu´e dans R
2. Comment identifier si deux ´el´ements de Rsont dans la mˆeme classe mo-
dulo Z? en d´eduire un repr´esentant naturel de chacune de ces classes.
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4.5. Exercices sur le chapitre 4
Exercice 5 :
1. Montrer que Rest distingu´e dans C
2. A quoi le groupe C/Rest-il naturellement isomorphe ?
Exercice 6 :
On dit qu’un sous-groupe Hd’un groupe Gest caract´eristique s’il est stable
par tout automorphisme. Soit Hun tel sous-groupe. Montrer que Hest
distingu´e dans G.
Exercice 7 :
Soit n∈N.
1. D´eterminer tous les sous-groupes de Z/nZet montrer qu’ils sont cy-
cliques (on donnera un g´en´erateur de chacun d’entre eux).
2. D´eterminer tous les morphismes de groupes de Zdans Z/nZet tout
ceux de Z/nZdans Z.
Exercice 8 :
Soient Get Hdeux groupes. On consid`ere la projection canonique
π:G×H→H
(g, h)7→ h
Utiliser ce morphisme pour montrer que G×H/G ×{0}est isomorphe `a H.
Exercice 9 :
Etant donn´es deux entiers met n, d´eterminer tous les morphismes de groupes
de Z/mZdans Z/nZ.
Exercice 10 :
Soit ϕ:G→G′un morphisme de groupes surjectif et Hun sous-groupe
distingu´e du groupe G.
1. Montrer que ϕ(H) est un sous-groupe distingu´e de ϕ(G).
2. On note πla projection canonique de G′dans G′/ϕ(H)
(a) D´eterminer Ker(π◦ϕ) et Im(π◦ϕ).
(b) En d´eduire que
G/(H.Ker(ϕ)) ≃ϕ(G)/ϕ(H)
Exercice 11 :
Soit ϕ:G→Het π:G→Kdeux morphismes de groupes. On suppose de
plus que πest surjectif et que Ker(π)⊂Ker(ϕ). On note s:G→G/Ker(π)
la projection canonique et π:G/Ker(π)→Kl’unique morphisme obtenu
par factorisation.
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4.5. Exercices sur le chapitre 4
1. Montrer qu’il existe un unique morphisme de groupes ϕ⋆de G/Ker(π)
dans Htel que ϕ=ϕ⋆◦s. Donner son image et son noyau.
2. En d´eduire qu’il existe un unique morphisme de groupes ψde Kdans
Htel que ϕ=ψ◦π.
3. Montrer que Ker(ψ) = π(Ker(ϕ)) et que Im(ϕ) = Im(ψ).
Exercice 12 :
Soit Hun sous-groupe distingu´e d’un groupe Get soit s:G→G/H la
projection canonique.
1. Soit ϕun automorphisme de Gv´erifiant ϕ(H) = H.
(a) Montrer qu’il existe un unique morphisme Φ : G/H →G/H tel
que
Φ◦π=π◦ϕ
(b) Montrer que c’est un automorphisme
2. On note Fix(H) le sous-ensemble de Aut(G) form´e des automorphismes
ϕsatisfaisant ϕ(H) = H. Montrer que c’est un sous-groupe de Aut(G).
Montrer que l’on peut d´efinir un morphisme de groupes Fde Fix(H) dans
Aut(G/H).
Exercice 13 :
Soit Gun groupe, Het Kdeux sous-groupes distingu´es de G. On suppose
que G=HK. On consid`ere l’homomorphisme ϕ:G→G/K ×G/H d´efini
par ϕ(g) = (gK, gH) pour tout g∈G.
1. Quel est le noyau de ϕ?
2. Soit h∈Het k∈K, montrer que ϕ(hk) = (hK, kH).
3. En d´eduire que ϕest surjectif puis qu’il existe un isomorphisme entre
G/(H∩K) et G/K ×G/H.
4. Montrer que H/(H∩K)≃G/K (on pourra calculer l’image et le noyau
de la restriction de l’homomorphisme ϕau sous-groupe H.)
5. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que G/(H∩K)≃H/(H∩K)×K/(H∩K).
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