4.5 Exercices sur le chapitre 4

4.5. Exercices sur le chapitre 4
Preuve. On considère l’application suivante :
θ:
Z/pqZ
→
Z/pZ × Z/qZ
m(mod pq) 7→ (m(mod p), m(mod q))
Cette application est bien définie : si m ≡ m′ (mod pq) alors m = m′ + pqk
pour k ∈ Z donc m ≡ m′ (mod p) et m ≡ m′ (mod q). Φ est clairement un
homomorphisme de groupes. Il est injectif car si m ≡ 0(mod p) alors m = 0
ou p divise m et si m ≡ 0(mod q) alors m = 0 ou q divise m. Comme p et q
sont premiers entre eux, on a m = 0 ou pq divise m donc m ≡ 0(mod pq).
On conclut que θ est un isomorphisme en remarquant que les ordres des deux
groupes sont les mêmes.
Ce théorème correspond bien au théorème 2.3.5 dans le sens où dire que
le morphisme θ est surjectif revient énoncer le théorème 2.3.5 dans le cas
n = 2 (ce qui est suffisant pour prouver le théorème en toute généralité).
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Exercices sur le chapitre 4
Exercice 1 :
Soit G = SL2 (R) le sous-groupe de GL2 (R) des matrices de déterminant 1.
On considère les sous-groupes H et K de G engendrés respectivement par
1 1
0 1
et
0 1
−1 0
Déterminer les éléments des ensembles de classes G/H, H \ G, G/K, K \ G.
Exercice 2 :
Montrer que si H et K sont deux sous-groupes de G et si H est distingué
dans G alors HK est un sous-groupe de G.
Exercice 3 :
Soit G un groupe et H un sous-groupe. On suppose que le produit de deux
classes à gauche modulo H est une classe à gauche modulo H. Montrer que
H est distingué dans G.
Exercice 4 :
1. Montrer que Z est distingué dans R
2. Comment identifier si deux éléments de R sont dans la même classe modulo Z ? en déduire un représentant naturel de chacune de ces classes.
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4.5. Exercices sur le chapitre 4
Exercice 5 :
1. Montrer que R est distingué dans C
2. A quoi le groupe C/R est-il naturellement isomorphe ?
Exercice 6 :
On dit qu’un sous-groupe H d’un groupe G est caractéristique s’il est stable
par tout automorphisme. Soit H un tel sous-groupe. Montrer que H est
distingué dans G.
Exercice 7 :
Soit n ∈ N.
1. Déterminer tous les sous-groupes de Z/nZ et montrer qu’ils sont cycliques (on donnera un générateur de chacun d’entre eux).
2. Déterminer tous les morphismes de groupes de Z dans Z/nZ et tout
ceux de Z/nZ dans Z.
Exercice 8 :
Soient G et H deux groupes. On considère la projection canonique
π : G×H → H
(g, h) 7→ h
Utiliser ce morphisme pour montrer que G × H/G × {0} est isomorphe à H.
Exercice 9 :
Etant donnés deux entiers m et n, déterminer tous les morphismes de groupes
de Z/mZ dans Z/nZ.
Exercice 10 :
Soit ϕ : G → G′ un morphisme de groupes surjectif et H un sous-groupe
distingué du groupe G.
1. Montrer que ϕ(H) est un sous-groupe distingué de ϕ(G).
2. On note π la projection canonique de G′ dans G′ /ϕ(H)
(a) Déterminer Ker(π ◦ ϕ) et Im(π ◦ ϕ).
(b) En déduire que
G/(H.Ker(ϕ)) ≃ ϕ(G)/ϕ(H)
Exercice 11 :
Soit ϕ : G → H et π : G → K deux morphismes de groupes. On suppose de
plus que π est surjectif et que Ker(π) ⊂ Ker(ϕ). On note s : G → G/Ker(π)
la projection canonique et π : G/Ker(π) → K l’unique morphisme obtenu
par factorisation.
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4.5. Exercices sur le chapitre 4
1. Montrer qu’il existe un unique morphisme de groupes ϕ⋆ de G/Ker(π)
dans H tel que ϕ = ϕ⋆ ◦ s. Donner son image et son noyau.
2. En déduire qu’il existe un unique morphisme de groupes ψ de K dans
H tel que ϕ = ψ ◦ π.
3. Montrer que Ker(ψ) = π(Ker(ϕ)) et que Im(ϕ) = Im(ψ).
Exercice 12 :
Soit H un sous-groupe distingué d’un groupe G et soit s : G → G/H la
projection canonique.
1. Soit ϕ un automorphisme de G vérifiant ϕ(H) = H.
(a) Montrer qu’il existe un unique morphisme Φ : G/H → G/H tel
que
Φ◦π =π◦ϕ
(b) Montrer que c’est un automorphisme
2. On note Fix(H) le sous-ensemble de Aut(G) formé des automorphismes
ϕ satisfaisant ϕ(H) = H. Montrer que c’est un sous-groupe de Aut(G).
Montrer que l’on peut définir un morphisme de groupes F de Fix(H) dans
Aut(G/H).
Exercice 13 :
Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes distingués de G. On suppose
que G = HK. On considère l’homomorphisme ϕ : G → G/K × G/H défini
par ϕ(g) = (gK, gH) pour tout g ∈ G.
1. Quel est le noyau de ϕ ?
2. Soit h ∈ H et k ∈ K, montrer que ϕ(hk) = (hK, kH).
3. En déduire que ϕ est surjectif puis qu’il existe un isomorphisme entre
G/(H ∩ K) et G/K × G/H.
4. Montrer que H/(H ∩K) ≃ G/K (on pourra calculer l’image et le noyau
de la restriction de l’homomorphisme ϕ au sous-groupe H.)
5. Déduire de ce qui précède que G/(H ∩ K) ≃ H/(H ∩ K) × K/(H ∩ K).
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