Chapitre 4 Circuits linéaires en régime sinusoïdal forcé

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Chapitre4
Circuitslinéairesenrégime
sinusoïdalforcé
4.1.Lerégimesinusoïdalforcé
4.1.1.Lesignal sinusoïdal
Paragraphetraité enclasse:dé…nition del’amplitude,delaphase,delafréquence,pulsa-
tion,période....
4.1.2.Position du problème
L’objectifestd’étudierle comportementd’un circuitlinéairealimentéparun générateur
detensionsinusoïdale. Onsouhaite calculerlatensionu(t)auxbornesd’un composant,oule
couranti(t)circulantdansun composant.
L’écrituredesloisdeKirschho¤pourun circuitne comportantquerésistances,bobines
etcondensateurspermetd’aboutiràune(ou des)équation(s)di¤érentielle(s)linéaire(s)à
coe¢cientsconstantsdelaforme:
an
dng(t)
dtn+an
dn¡1g(t)
dtn¡1+:::::: +a1
dg(t)
dt+a0g(t)=e(t);
oùg(t)peutêtreunetensionu(t)ouuncouranti(t).
Lasolutionestdelaforme:
g(t)=sol(ESSM)+sol:particuliµere:
Nousavonsvu dansle chapitreprécédentquesi le circuitcontientaumoinsunerésis-
tance, lasolution del’équationsans second membretend toujoursvers0quand letempst
devientsu¢sammentimportant (terme enexponentielledécroissante). On peutdoncséparer
l’évolutiondusignalen deuxpériodes.
-Dansle courtinstantquisuitl’allumagedu GBF,seproduitun régimetransitoire.Vou-
loirledécrire complètementnécessited’écrirelasolutioncomplèteg(t)(soldel’ESSM+sol
particulière).Cettesolution dépend desconditionsinitiales: lasolution del’équationsans se-
cond membre comporteuneou desconstantesquisontdéterminéesàl’aidede cesconditions
initiales.
-Au boutd’un certaintemps(généralement trèscourt,trèsinférieuràlaseconde),un
régime établi estobservé.Mathématiquement,ce régime établi correspond àlasolution par-
ticulièreseule: lasolution del’équationsans second membre estdevenuenulle.Lerégime
établi, quel’onappelle égalementrégimesinusoïdalforcé dansle casd’unesource sinusoïdale,
nedépend doncpasdu toutdesconditionsinitiales.
L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans23 novembre2003

48 Chapitre4Circuitslinéairesenrégimesinusoïdalforcé
Enconclusion:un régimepermanent (ouétabli, ousinusoïdalforcé)estatteintrapi-
dementaprèsavoirallumélegénérateurdesignalsinusoïdal. L’objectifde ce chapitre estde
calculerlatension(oule courant) auxbornes(ou dans)descomposantslinéaires(R,LouC)
enrégime établi, quand le circuitestalimentéparunesource detensionsinusoïdale.
4.1.3.Exempledu circuitR,L
Considéronsun dipôle constituéd’unerésistance notée Retd’unebobinenotée L,alimenté
parun générateurdetensionsinusoïdale:e(t)=Emcos!t:
L
R
i(t)
e(t)
Fig.4.1.CircuitRL
Laloidesmailles s’écrit:
Emcos!t=Ldi
dt+Ri:(1)
Unesolution particulièredelaforme
i(t)=Imcos(!t+')(2)
estrecherchée.Pourvéri…erque cettefonctionestbiensolution particulière,ilsu¢tdela
reporterdansl’équation(1)etdelevéri…er:
Emcos!t=¡LIm!sin(!t+')+RImcos(!t+')
=¡LIm!sin'cos!t¡LIm!cos'sin!t
+RImcos'cos!t¡RImsin'sin!t
=(¡LIm!sin'+RImcos')cos!t
+(¡LIm!cos'¡RImsin')sin!t:
Cette égalitédoitsevéri…erquelquesoit t ; lestermesencos!td’unepartdoiventêtre
égalisés,ainsiquelestermesensin!td’autrepart:
Em=¡LIm!sin'+RImcos'(3)
0=¡LIm!cos'¡RImsin':(4)
Larelation(4)imposequelafonction(2)n’estsolution del’équation di¤érentielle(1)du
circuitquesi laphase'véri…e:
tan'=¡L!
R:(5)
23 novembre2003 L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans

Section4.2Lanotationcomplexe etl’impédance complexe49
Larelation(3)devientalors:
Im=Em
¡L!sin'+Rcos':(6)
Sachantquecos2'=1=(1+tan2'),puissin2'=1¡cos2',ilvient:
cos'=R
pR2+L2!2
sin'=¡L!
pR2+L2!2:
Les signesdecos'etdesin'sontdéterminésdelamanièresuivante:tan'estnégatif;
donclecos'etlesin'sontdesignesdi¤érents;en…n sachantqueImestpositif(vuesles
conventionsdesigneschoisies surla…gure4.1),cos'estnécessairementpositifetsin'négatif.
Toutcecipermetde conclurequelarelation(6)imposequelafonction(2)n’estsolution
del’équation di¤érentielle(1)du circuitquesi l’amplitudeImvéri…e:
Im=Em
pR2+L2!2:(7)
Lasolution particulière est…nalement,comptetenu desrelations(5)et (7):
i(t)=Em
pR2+L2!2cos(!t+'):(8)
avec tan'=¡L!=R:
Enconclusion,cetexempleàprioritrès simple(2composants seulement:RetL! !)montre
quelescalculsnesontpastrès simples.Ilfautdansun premiertempsdéterminerune équa-
tion di¤érentielle,rechercherensuiteunesolution particulière enl’injectantdansl’équation
di¤érentielle,eten…n utiliserdesrelationstrigonométriquespourobtenirl’amplitude etla
phasedu signalrecherché.Ilestaiséde comprendreque cescalculs(eten particulierlapartie
trigonométrie)deviennentinextricablespourdescircuitspluscompliqués!L’objectifdu pa-
ragraphequisuitestalorsdeproposeruneméthodequiéviteladétermination d’équations
di¤érentielles,etlimiteaumaximumlescalculs,en particulierl’utilisation delatrigonomé-
trie.Lescalculsenseront,commenousallonslevoir,considérablementsimpli…és.C’estune
méthodequiutilisedesnotationscomplexes.
4.2.Lanotationcomplexe etl’impédance
complexe
4.2.1.La notationcomplexe
Soitunefonctionsinusoïdalequelconque:
e(t)=Emcos(!t+');(9)
Emestl’amplitude et'laphase.
L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans23 novembre2003

50 Chapitre4Circuitslinéairesenrégimesinusoïdalforcé
Lareprésentationcomplexedee(t)est:
e=Emexpj(!t+')
=Emexp(j')exp(j!t)
=Emexp(j!t):
Em=Emexp(j')estl’amplitude complexedee.
Remarque4.1Lepassage dusignalcomplexeeausignalréele(t)s’e¤ectuetoutsimplement
enremarquantque:
e(t)=Re(e):
On peutremarquerégalementquel’amplitude complexeEmcontient touteslesinformations
utiles surlesignalsinusoïdal : l’amplitudedu signal(9)estlemoduledeEm,etlaphase'
estl’argumentdeEm:
Em=¯¯Em¯¯;
'=arg(Em):
Concrètement, larecherchedelasolution particulières’e¤ectue commesuit.Toutesles
équationsetles signauxsont transformésenécriture complexe.Lescalculs sonte¤ectués sur
lescomplexesainsi introduits,jusqu’àl’obtention delasolution.Pourconnaîtrelasolution
réelle(laseulequiaitunesigni…cation physique),ilsu¢tdeprendrelapartieréelledela
solutioncomplexeobtenue.Unexemple estdonnésurle circuitRLdanslapartiequisuit.
Remarque4.2Rappel:représentationdeFresnel(AREDIGER)
Remarque4.3Enquoil’introductiondelanotationcomplexesimpli…elesrésolutions?
Lepremierélémentderéponsevientdu faitquel’onabesoin demanipulerdenombreuses
dérivéesàcausedesrelationsentreu(t)eti(t)relativesauxcondensateursetauxbobines.
Onrechercheunesolution particulièredelaformei(t)=Imcos(!t+'),quis’écriten
notationcomplexes:Imexp(j')exp(j!t)=Imexp(j!t).Lescalculs sonte¤ectués surles
grandeurscomplexes,enremarquantque:
di
dt=d dt(Imexp(j')exp(j!t)) =j!Imexp(j')exp(j!t)
=j!¤i:
Dériverpar rapportautempsrevientdonctoutsimplementparmultiplierpar(j!).Une
équation di¤érentielleavec desdérivéestemporelles setransformesimplementen une équation
sansdérivées(uniquementdesmultiplicationspar(j!)).
Ensuite,touteslesgrandeurscontiennentletermeexp(j!)enfacteur:on pourralesim-
pli…eraisémentdansleséquationspourneplusavoiràmanipulerdetemps.
4.2.2.Retoursurl’exempledu circuit (R,L)
Considéronsànouveaule circuitdela…gure4.1delasection4.1.3constituéd’unerésistance
notée R,d’un condensateurnotéCetd’un générateurdetensionsinusoïdale:e(t)=Emcos!t:
23 novembre2003 L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans

Section4.2Lanotationcomplexe etl’impédance complexe51
L’équation desmailles s’écrit:
Emcos!t=Ldi
dt+Ri:(10)
Cette équationestréécritesousforme complexe:
Emexpj!t=Ldi
dt+Ri:(11)
L’équation(10)estlapartiederéelledel’équation(11),carEm,R,Lsontréels,et
Re(expj!t)=cos(!t)etRe(i)=i.
Unesolution particulièredelaforme
i=Imexp(j!t+j')=Imexp(j')exp(j!t)=Imexp(j!t)(12)
estrecherchée.
Pourvéri…erque cettefonctionestbiensolution particulière,ilsu¢tdelareporterdans
l’équation(11)etdelevéri…er:
Emexp(j!t)=Ldi
dt+Ri
L(j!)Imexp(j')exp(j!t)+RImexp(j')exp(j!t)
soit,après simpli…cation parexp(j!t):
Em=L(j!)Im+RImexp(j')
donc
Im=Em
R+jL!:
Commenousl’avonsécritprécédemment, l’amplitudedu signalrecherché estlemodulede
Imetlaphase'estl’argumentdeIm.
Lasolutionest…nalement
i(t)=Imcos(!t+')
avec
Im=¯¯¯¯
Em
R+jL!¯¯¯¯=Em
pR2+L2!2
et
'=argµEm
R+jL!¶=arg(Em)¡arg(R+jL!)=0¡arctanµL! R¶
'=arctanµL!
R¶:
Cettesolutionestbiensûridentiqueàlasolution(8)obtenueprécédemment. On peutremar-
querque cetteméthoderéduitsensiblementlalongueurainsiqueladi¢cultédescalculs.
4.2.3.L’impédancecomplexe
Nousallonsvoirquepourlabobine, le condensateuretlarésistance, il estpossibled’écrire
unerelation desimpleproportionnalité entrelatensioncomplexe etle courantcomplexe:
u=Zi.C’estlaloid’ohmcomplexe.Z=(u=i)estappelée impédance complexe.
L.Menguy,Lycée Montesquieu,LeMans23 novembre2003